大一大二-大一数学复习

第三章一元函数积分学及其应用第一节

定积分的概念第二节

微积分基本公式与基本定理第三节

两种基本积分法第四节

定积分的应用第五节

反常积分第六节

几类简单的微分方程第一节定积分的概念定积分问题举例定积分的定义定积分的存在条件定积分的性质习题3.1(A)

3,4,10

,11(3),12(2),14(B)3时

间

间

隔[a,b]

上

t

的续函数，且v(t

)

0，求物体在这段时间内所经过的路程.

ti

1ti

tina

t0

t1

t2

L

tn1

tn

b,si

v(i

)tis

v(i

)ti合i

1d

max{t1

,

t2

,

L

,

tn

}n精

s

limv(i

)tid

0

i

1分匀1.1

定积分问题举例例1

（求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度v

v(t

)是例2.

曲边梯形的面积问题设曲边梯形是由连续曲线y

f

(

x) (f

(

x)

0)x

轴

以及两直线x

a

,

x

b所围成

,

求其面积

A

.xyo

ax1xi1i

xixn1

by

f

(

x)a

x0

x1

x2

L

xn1

xn

b,

xi

xi

xi

1;在区间[a,

b]内

若干个分点，分匀合ni

1任取i

[xi

1

,xi

]，AiA

f

(i

)xi

f

(i

)xi精记d

max{x1

,x2

,L

xn

},nd

0

i

1A

lim

f

(i

)xixoi1

ix

xi1a

x

x2n2xn1a

x0

x1

x2

L

xi

xi

1

L

xn1

xn

b分i

1,2,L,

nmi

(i

)xi匀nxi

xi

xi

1

,任取i

[xi1,xi

],m

(i

)xii

1合i

1nii精m

limimax

x

0

(

)x棒上各点线密度为例3

（求物质非均匀分布的细棒质量）设一质量非均匀分布的细棒，长为l

，细，求该细棒的质量mx

b上述三个问题的共性:解决问题的方法步骤相同:“分”，“匀”，“合”，“精”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限抛开各个问题的具体含义，仅保留其数学结构，便抽象出定积分的定义。1.2

定积分的定义设函数f

(x)定义在[a,b]上，在[a,b]内任意2010-11-78/22定积分的概念与性质n-1

个分点:0

1

2

n1

na

x

x

x

L

x

x

bxi

xi

xi

1，(i

1,2,L)，在各小区间上任取一点i

（i

[xi

1

,xi

],），作乘积f

(i并)作x和i(i

1,2,L)ni

1定义1.1S

f

(i

)xi

，记d

max{x1

,x2

,L

,xn

}，如果不论对[a,b]怎样分割，也不论i

怎样选取，当d

0时，和S

总趋于同一个常数I,那么称这个在区间 上的定积分，极限I

为函数f

(x)[a,

b]baf

(

x)dx记为nd

0

i

1

lim

f

(i

)xi此时称

f

(

x

)在

[a,

b

]上可积.ba

f

(

x)dx即band

0

i

1f

(

x)dx

I

lim

f

(i

)xi[a

,b

]积分区间积分上限积分下限积分和注意：baf

(

x)dx

baf

(t

)dt

baf

(u)du(2)f和积分区间[a,b]有关，而与积分变量x无关.f(x)dx是一个确定的数，它的值仅与被积函数(1)

不能用n

代替d

0.d

0

n

,但是n

不能保证d

0.babanf

(

)xi

if

(

x)dx

limd

0

i

1（3）定义中区间的分法和i

的取法是任意的.例如，Dirichlet函数D(x)

{1,x为有理数，在[0,1]上不可积.0,x为无理数，证明：将区间[0,1]任意分割为n个子区间.若取i为子区间[xi

1

,xi

]中的有理数，则D(i

)

1.n

nd

0

i

1

d

0

i

1lim

D(i

)xi

lim

xi

1nd

0

i

1若取i为子区间[

xi

1

,

xi

]中的无理数

则lim

D(i

)xi

0因此，D(x)在[0,1]上不可积.补充规定:（1）当a

b时，f

(

x)dx

0；ba（2）当a

b时，f

(

x)dx

abbaf

(

x)dx

.根据定积分的定义，做变速直线运动物体在时间区间[a,b]内通过的位移可以表示为定积分s

bav(t

)dt曲边梯形的面积与细棒的质量分别为A

baf

(

x)dx

和

m

b(

x)dxa定积分的几何意义:baf

(

x)dx

Af

(

x)

0,曲边梯形面积f

(

x)dx

f

(

x)

0,ba曲边梯形面积的负值abyxA1A3A4A5baA2f

(

x)d

x

A1

A2

A3

A4

A5各部分面积的代数和

A1.3定积分存在的条件定理1.1（可积的必要条件）函数f

(x)在区间[a,b]上可积的必要条件是

f

在[a,b]上有界。定理1.2（可积的充要条件）设函数f

(x)在区间[a,b]上有界，则f

在区间[a,b]上可积的充要条件是：

0,

0,当最大子区间的长度d

时ni

xi

i

1其中i

Mi

mi

Mi

sup{

f

(

x)

x

[

xi

1

,

xi

]},mi

inf{

f

(

x)

x

[

xi

1

,

xi

]}.定理1.3（可积的充分条件）设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则

f

(x)在区间[a,b]上可积.定理1.4

（可积的充分条件）如果有界函数f

(x)在区间[a,b]上只有有限个第一类间断点或者在[a,b]上单调，则

f

(x)在[a,b]上可积.例1

利用定义计算定积分102x

dx.解ni将[0,1]n等分，分点为x

i

，(i

1,2,

L

,

n)ni

1

i

i小区间[

x

,

x

]的长度x

1

，(i

1,2,L,

n)iii

1iif

(

)x

2i

1

x

n

nnx

x

i

ii

121n取i

xi

，(i

1

,

2

,

L

,

n

)，d

0

n

ni

2

i

1

n

61

n(n

1)(2n

1)n3x

dx102n2d

0

i

1

lim

in

1

n

2

1

n

6

1

xi

lim

1

.13Q

x2在[0,1]上连续，定积分01x2dx存在1.4定积分的性质定积分的上述定义是由德国数学家Riemann

给出的，因而称为Riemann积分，简称为R积分。记

[a,b]

{

f

(

x)

f

(

x)在[a,b]上Riemann可积}性质1.1(线性性质）设f

,g

[a,b],,

R,则f

g

[a,b],并且a[f

(

x)

g(

x)]dx

bab

baf

(

x)dx

g(

x)dx1.4定积分的性质性质1.2(单调性）设f

,g

[a,b],且f

(x)

g(x)，x

[a,b]b

ba

ag(

x)dxf

(

x)dx

则推论1.1

设f

[a,b],且m

f

(

x)

M

,x

[a,b]其中m,M为常数，则f

(

x)dx

M

(b

a)m(b

a)

ba1.4定积分的性质性质1.3设f

[a,b],则

f

[a,b],且b

ba

af

(

x)

dxf

(

x)dx

性质1.4(对区间的可加性）设I是一个有限闭区间，a,b,c

I

.若f在I上可积，则f在I的任一闭子区间都可积，且

bb

ca

a

cf

(

x)dx

f

(

x)dxf

(

x)dx

性质1.5（乘积性质）设f

,g

[a,b],则fg

[a,b].1.4定积分的性质性质1.6（积分中值定理）设f

C[a,b],

g

[a,b],且g在[a,b]上不变号则至少存在一点

[a,b]，使b

ba

af

(

x)g(

x)dx

f

()g(

x)dx推论1.2设f

C[a,b],则至少存在一点

[a,b]，使f

(

x)dx

(b

a)

f

()ba积分中值公式在区间[a,b]上至少存在一个点

，使得以区间[a,b]为积分中值公式的几何解释：xoabyf

(

)以曲线

y

f

(

x)底边，为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f

(

)的一个矩形的面积。baf

(

x)dx

f

(

)(b

a).f

(x)dx为函数f在区间[a,b]上的积分中(均)值.1b

a称ba它表示连续函数f在区间[a,b]上的平均值.x20e

dx

和20xdx

的大小.例

2

比较积分值解exx,e

dxx当x

[2,0]时0202

xdx,xe

dx

于是20xdx.20例

3

估计积分0

3

sin3

x1dx的值.0

sin3

x

1,解

1

,dxdx

0

114033

sin

xdx

03

1

41

14 3

sin3

x

3

3所以思考题1.

将下列和式极限表示成定积分：n

n

nn

n

lim

1

sin

sin

2

L

sin

(n

1)n

n

n

nn

n

原式

lim

1

sin

sin

2

L

sin

(n

1)

sin

nnn

ni

1n1sini

limnn

in

n

i

1

lim

sin110s