2019数学浙江省学业水平考试专题复习必修51

2021版数学浙江省学业水平考试专题复习必修512021版数学浙江省学业水平考试专题复习必修512021版数学浙江省学业水平考试专题复习必修51知识点一正弦定理在△ABC中，假定角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，那么定理正弦定理abc内容(1)＝2R＝＝sinAsinBsinC(2)a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；变形ab，sinB＝，sinC＝2R2R(3)sinA＝c；2R(4)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(5)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA知识点二余弦定理定理余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos_A；内容2＝c2＋a2－2cacos_B；b2＝a2＋b2－2abcos_CccosA＝b2＋c2－a2；2bc变形cosB＝c2＋a2－b2；2cacosC＝a2＋b2－c22ab知识点三三角形面积公式11．Sah(h表示边a上的高)．△ABC＝212．S2absinC＝△ABC＝12bcsinA＝12acsinB.13．S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆的半径)．2知识点四解三角形1．两角和一边，如A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.2．两边和这两边的夹角，如a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，此后利用A＋B＋C＝π求另一角．3．两边和此中一边的对角，如a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种状况．4．三边a，b，c，可以应用余弦定理求A，B，C.5．判断三角形的形状平常利用正、余弦定理进行边角互化，依据边的关系或角的关系确立三角形的形状．6．在△ABC中，a＞b＞c?A＞B＞C?sinA＞sinB＞sinC.题型一正、余弦定理的应用例1(1)(2021年4月学考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假定a＝3，A＝60°，B＝45°，那么b的长为( )A.22B．1C.2D．2(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.假定a＝2，c＝23，cosA＝3且b＜c，2那么b等于( )A．3B．22C．2D.3答案(1)C(2)C解析(1)由正弦定理ab＝得，sinAsinBasinBb＝＝sinA3sin45°＝2.sin60°(2)由b2＋c2－2bccosA＝a2，得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4，由于b＜c＝23，所以b＝2.感悟与点拨(1)一般地，假如式子中含有角的余弦或边的二次式，就要考虑用余弦定理；如果碰到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，就考虑用正弦定理；以上特点都不显然时，那么要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．追踪训练1(1)(2021年4月学考)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，那么cosC的取值范围是________．答案5，13解析设BC＝a，由22＝a2＋32－2×3×acosC，得cosC＝a2＋9－4a＝＋6a65≥26aa5×＝66a5，3当且仅当a＝5时，等号建立．∴5≤cosC＜1.3(2)(2021年10月学考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2C＝3cosC，C为锐角．①求角C的大小；②假定a＝1，b＝4，求边c的长．解①由sin2C＝3cosC，得2sinCcosC＝3cosC，由于C为锐角，所以cosC≠0，进而sinC＝3.2故角C的大小是π.3②由a＝1，b＝4，依据余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosπ3＝13，所以边c的长为13.题型二判断三角形的形状例2(2021年4月学考)在△ABC中，A＝30°，AB＝3，BC＝2，那么△ABC的形状是( )A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不可以确立答案A解析由正弦定理BC＝sinAAB，得sinCsinC＝AB·sinA＝BC3sin30°3＝，24cosC＝±1－342＝±7，4当cosC＝－7时，C为钝角，4那么△ABC为钝角三角形．当cosC＝7时，4cosB＝cos[180－°(A＋C)]＝－cos(A＋C)＝－(cosAcosC－sinAsinC)＝－3×271×－4234＝－21－3<0，8∴B为钝角．故△ABC为钝角三角形．感悟与点拨依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种方法：(1)利用正、余弦定理把条件转变为边边关系，经过因式分解、配方等得出边的相应关系，进而判断三角形的形状．(2)利用正、余弦定理把条件转变为内角的三角函数间的关系，经过三角函数恒等变形，得出内角的关系，进而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．追踪训练2在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.假定sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．解∵sinC＋sin(B－A)＝sin2A，∴sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sinAcosA，∴2sinBcosA＝2sinAcosA，∴cosA(sinA－sinB)＝0，∴cosA＝0或sinA－sinB＝0.π①当cosA＝0即A＝时，△ABC为直角三角形．2②当sinA－sinB＝0时，sinA＝sinB，∴a＝b，此时△ABC为等腰三角形．综上，△ABC的形状为直角三角形或等腰三角形．题型三与三角形面积相关的问题例3在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；a2，求角A的大小．(2)假定△ABC的面积S＝4(1)证明由正弦定理得，b＋c＝2acosB?sinB＋sinC＝2sinAcosB，所以2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，那么sinB＝sin(A－B)，又A，B∈(0，π，)故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，即A＝π舍(去)或A＝2B，所以A＝2B.2a(2)解由S＝得，41a22absinC＝，由正弦定理及(1)得4112A，2sinAsinBsinC＝4sin1sinBsinC＝sin2B＝sinBcosB，2由于sinB≠0，得sinC＝cosB．又B，C∈(0，π，)所以C＝π±B.2ππ当B＋C＝2；2时，A＝ππ当C－B＝时，A＝.24π综上，A＝或A＝2π.4感悟与点拨相关三角形面积问题的求解方法：(1)灵巧运用正、余弦定理实现边角转变．(2)合理运用三角函数公式，忧如角三角函数的根本关系式、二倍角公式等．追踪训练3(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.假定sinA＝2sinB，c＝4，π，那么△ABC的面积为( )

C＝381616383

A.3B.3C.3D.3答案D解析由sinA＝2sinB，得a＝2b，由c2＝a2＋b2－2abcosC，得b＝4383，a＝3.31∴S＝2absinC＝833.(2)a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC.①假定a＝b，求cosB；②设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积．解①由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.a2＋c2－b21由余弦定理可得cosB＝.

2ac＝4②由题意知，b2＝2ac.由于B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝2.1所以△ABC的面积S＝ac＝1.2题型四解三角形应用举例例4A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，那么A，C两地间的距离为( )A．10kmB．103kmC．105kmD．107km答案D解析以以下列图，由余弦定理可得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·coBs＝700，所以AC＝107(km)．感悟与点拨(1)依据题意画出表示图，将实诘问题抽象成解三角形问题的模型．(2)依据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(3)将三角形问题还原为实诘问题，注意实诘问题中的相关单位问题、近似计算的要求等．追踪训练4如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后抵达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，那么此山的高度CD＝________m.答案1006解析由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得600BC＝，sin45°sin30°解得BC＝3002m.在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30＝3°002×33＝1006(m)．一、选择题1．(2021年6月学考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.B＝45°，C＝30°，c＝1，那么b等于( )A.22B.32C.2D.3答案C2．△ABC中，假定a＝1，c＝2，B＝60°，那么△ABC的面积为( )12A.B.32C．1D.3答案B解析S＝11×1×2×ac·sinB＝223＝23.23．△ABC中，a＝4，b＝43，A＝30°，那么B等于( )A．60°B．30°C．60°或120°D．30°或150°答案C解析依据正弦定理absinA＝sinB，得sinB＝32，又a＜b,0＜B＜180，°∴B＝60°或120°.2＝b2＋bc＋c2，那么角A为( )

4．在△ABC中，aπA.3πB.62πC.3D.π或32π3答案C解析由a2＝b2＋bc＋c2，得b2＋c2－a2＝－bc，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a2＝－2bc12，∵0＜A＜π，∴A＝2π.35．以以下列图，为测一树的高度，在地面采纳A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60m，那么树的高度为( )A．(30＋303)mB．(30＋153)mC．(15＋303)mD．(15＋153)m答案A解析由正弦定理可得ABsin45°－30°PB＝sin30，°1260×解得PB＝sin45°－30°，6－2又sin(45－°30°＝)sin45°co－s3c0os4°5°sin＝30°4，30所以h＝PB·sin45＝°sin45°－30°·sin45°＝(30＋303)m.6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.8b＝5c，C＝2B，那么cosC的值为( )7A.25B．－7257C．±25D.2425答案A解析由正弦定理b＝sinBc，sinC将8b＝5c及C＝2B代入得8bb5＝，sinBsin2B8化简得1＝sinB5，2sinBcosB那么cosB＝45，∴cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝2×4572－1＝..25A7．在△ABC中，sin2＝2c－b，那么△ABC的形状为( )2cA．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形答案BA解析由于sin22＝c－b2c，所以1－cosAc－b.＝22c利用正弦定理得1－cosAsinC－sinB＝，22sinC化简得sinC－sinCcosA＝sinC－sinB，所以sinCcosA＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，所以sinAcosC＝0.又sinA≠0，所以cosC＝0，π又C∈(0，π，)所以C＝，2所以△ABC为直角三角形．8．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，假如2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为32，那么b等于( )1＋3A．1＋3B.22＋3C.2D．2＋3答案A解析由132ac·sin30＝°，得ac＝6，22ac·sin30＝°，得ac＝6，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos30°＝(a＋c)2－2ac－3ac＝4b2－12－63，∴b＝3＋1.9．在△ABC中，假定a2＋b2＝2c2，那么cosC的最小值为( )A.32B.2212C.D．－12答案C解析∵在△ABC中，a2＋b2＝2c2，∴由余弦定理得，cosC＝a2＋b2－c22＋b2－c2＝2aba2＋b22＋b2a2＋b2－22aba2＋b22＋b22ab＝≥＝4ab4ab12(当且仅当a＝b时取等号)，∴cosC的最小值为1.210．△ABC的面积为3π，AC＝3，∠ABC＝，那么△ABC的周长等于( )23332A.B．33C．2＋3D．3＋3答案D解析由题意，可得12AB·BC·si∠nABC＝32，12AB·BC·即3＝23，2所以AB·BC＝2.再由余弦定理可得πAC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos3＝AB2＋BC2－2，即AB2＋BC2＝5，得(AB＋BC)2＝AB2＋BC2＋2AB·BC＝5＋4＝9，所以AB＋BC＝3.所以△ABC的周长等于AB＋BC＋AC＝3＋3，应选D.二、填空题11．在△ABC中，假定角A，B，C成等差数列，那么B＝________，ac＝________.b2sinAsinC答案π343π解析由A＋C＝2B且A＋B＋C＝π，∴B＝，3acsinAsinCb2sinAsinC＝sin2BsinAsinC＝1sin2B＝4.312．a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，假定a＝3，b＝1，cosC＝3，3那么sinB＝________.答案33解析由题意和余弦定理可得，c2＝a2＋b2－2abcosC＝(3)2＋1－23×1×33＝2，∴c＝2，∵0＜C＜π，cosC＝33，∴sinC＝63，