C10精英(修复的)(一)

快乐新思维数学（奥数精英版）初中C段使用说明如果说诗歌是文学中的文学,那么数学则是理科中的理科。数学是ー门很神奇的学科,它不仅是很多其他学科的基础,而且对数学本身的学习也有着无尽的价值。尤其是当“创新”被提到教育日程上来的时候,被誉为思维体操的数学,更凸显其在培养学生学习能力和思维能力方面的作用。快乐新思维数学是卓众教育引进湖北黄冈中学数学独家教材,结合杜郎口中学卓越互动课堂教学模式,组织数位ー线资深名师精心改编而成。该教材自面世以来,以其独到的新思维教材编写,优于传统的创新卓越互动教学模式，让枯躁的数学灵动了起来,学习更简单,学得更轻松,已经帮助数以万计的学生昂首迈入了尖子生行列,圆了名校梦;在2012年被四川省培训联盟评为优秀教材奖和教法奖。本套教材（奥数精英版）定位于培养初中数学尖子生和特尖生。从高端入手,既遵循教学大纲,又超越教学大纲;既源于教材，又不拘泥于教材;以最新教学大纲和最新课程标准为依据,以新课标教材内容编排顺序为脉络,将初中数学剖分为12级,共104讲。C1-C8级为新课,全面覆盖初中数学主要基本知识点,方法与思维和创新与应用（2年学完3年初中内容）；C9-C12为初升高名校冲刺。本套教材既可供各中学和各种培训学校作为课堂教学的教材,又可供教师和学生作为第二课堂的补充教材,以弥补课堂学习的不足。在课堂安排上,每讲又分为知识起跑、应用拓展、方法与思维总结,我行我秀、芝麻开门五大部分。每个部分都有2-5项任务,每部分由易到难、环环相扣。每讲除了这五部分外,还有课前宣誓、幽默笑话、课间诵读和小组合作探究活动等内容,这些内容都紧扣本课的中心,对学习起辅助作用。快乐新思维数学全面涵盖小学、初中和高中,分为丫系列（适用于小学ー、二年级共ハ级,含幼小衔接）、X系列（适用于小学三、四、五、六年级共十六级,含小升初名校冲刺）、C系列（适用于初中一、二、三年级共十二级,含小升初衔接和初升高名校冲刺）、G系列（适用于高中一、二、三年级共十二级,含初升高衔接和高升大名校冲刺）。每级又分为培优提分版和奥数精英版,每版均配有教师用书,学生用书,教学视频,题库,教案和课件。每年暑假、秋季、寒假、春季分别学ー级。快乐新思维数学编委2017.9快乐新思维数学编委2017.9卓众教育学生誓词我非常聪明,我潜力无穷我坚信自己的理想我以我高尚的人格,郑重宣誓抛弃一切杂念,一心只想学习在这宝贵的课堂上,我将这样度过我要用最响亮的口号去迎接课堂上的每个环节,我要用最勤快的双手去描绘每次前逬的步伐,我要用最积极的心态响应老师布置的每次任务,思起来,我们深思熟虑,系统周密动起来,我们合作探讨、激情飞扬!练起来,我们学以致用,一丝不苟牢记父母嘱托,严守课堂纪律培养吃苦精神,磨练坚强意志用信念战胜困难,用勤奋战胜惰性,用效率创造成功卓众学子,未来栋梁中国灵魂,世界眼光我行,我能行,我ー定能行卓众教师寄语同学们,欢迎你们来到卓众培训学校,在新的学期里,学校的全体教职员エ祝你们天天拥有:蓬勃的激情,执着的热情,甜美的友情,愉快的心情!人生就像ー个等式。它的左边是不思进取,它的右边就是一事无成。它的左边是付出的艰辛,它的右边就是收获的快乐。它的左边是少壮不努力,它的右边就是老大徒伤悲。它的左边是锐意进取,它的右边就是学有所成。要学好数学,要有一个良好的学习习惯。良好的学习习惯包括:1、预习的习惯。预习时要学会用笔在课本上做不同的标记,如:重点内容在文字下面标ふ,有疑问的地方在文字下面画线并在旁边写上“？”等,以便在课堂学习时多留心。2、认真听课的习惯。上课前要调整好心态,一定不能想,哎,又是数学课,上课时听讲心情就很不好,这样当然学不好!上课时一定要认真听讲,作到耳到、眼到、手到!3、做笔记的习惯。有实验表明：上课光听不记,仅能掌握当堂内容的30%,一字不落的记也只能掌握50%,而上课时在书上勾画重要内容,在书上记有关要点的关键的语句,课下再去整理,则能掌握所学内容的80%。“不动笔墨不读书”,这个很重要。上课时如果老师讲的快,一定静下心来听,不要记,下课时再整理到笔记本上!保持高效率！4、多思善问、大胆质疑的习惯。“学习很简单,多问为什么”“多思善问、大胆质疑”就是在学习过程中对有疑问的,需要升华的知识,多问自己几个为什么,同时还虚心地向老师、同学及他人询问。要知道“最愚蠢的问题是不问问题”。5、课后先复习后作业的习惯。做作业前我们要先复习,梳理、强化作业所对应的知识点。做作业时要专心,不边玩边写,不边吃边写,书写时想好再下笔,要“边读、边想、边做”。6、建立错题集的习惯。学习理科要有错题集,我们要把平时遇到的好题记下来,错题记下来,并多看,多思,不能让自己在同一个地方绊倒!！家长同志们,100年前,西方的发达国家建立了让孩子们进行《小组合作学习》的学习模式,所以,孩子们快乐了,也不再厌学了,也真正学到知识了。我们卓众学校已引进这种模式,相信我们卓众,相信你们的眼光,相信孩子们!你们的信任是我们的动カ!同学们,你们手中的讲义是我市一线教师多年教学经验之精华,这本讲义对知识点的提炼、经典例题的选择、近几年的中考热点、重点、难点的把握等都做得精之有精、细之又细。同学们,珍惜手中的讲义,练好内功。同学们,莫负父母心,莫负朋友心,莫负卓众心。最后,卓众培训学校真心勉励同学们:也许我跑的并不是最快的,但我却是最坚持的ー个;也许我思维并不是最敏捷的,但我是最认真思考的ー个;也许我的成绩没有排在前列,但我是最努力的ー个。我们相信,同学们只要有学好数学的信心,决心和恒心,不怕难,不怕累,不怕问!你们一定会将数学学得多姿多彩。快乐新思维数学（CIO级精英版）第一讲二次根式第二讲一元二次方程（一）第三讲一元二次方程（二）第四讲相似三角形（一）第五讲相似三角形（二）第六讲解直角三角形（一）第七讲解直角三角形（二）第八讲二次函数的图像及基本性质（上）第九讲二次函数的图像及基本性质（下）第十讲二次函数的基本解析式与图像变换（上）第十一讲二次函数的基本解析式与图像变换（上）第十二讲二次函数的实际应用学科总结与蓝图规划第一讲二次根式知识起跑ー、二次根式的概念:.二次根式:形如五（a20）的式子叫做二次根式,“、厂”称为二次根号。.式子中,被开方数（式）必须大于等于零。.4a（aス0）是ー个非负数。.（4a）2=a（aユ〇）；7a，=a（aユ〇）.二次根式的乘：.一般的,有五・栃=4ab.（a2〇,b2O）.反过来,有ッ姉=4aX4b（aN0,b20）.二次根式的除:.一般地,对二次根式的除法规定:乌巴（aユ0,b>0）,4b1b.反过来，（a》O,b>0）.二次根式的加减法则:二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并。应用拓展（★ガ例1.①.己知y=，2-x+，x-2+5,求土的值.y.已知“一y+l+>/x-3=0,求ズ的值..当x〉2,化简・一2>-"1一2x>.

(★★★)例2.若I1995-aI+，a-2000=a,求a-1995Z的值.(★★★★)例3.探究过程:观察下列各式及其验证过程.3'—3+3验证:32-1通过上述探究你能猜测出(a>0),并验证你的结论.3'—3+3验证:32-1通过上述探究你能猜测出(a>0),并验证你的结论.(★★★★)例4.已知とゆ=2ー匕,其中a、b是实数,且a+bWO,化简但!一夕+但!十ド,ab 5/x+l+Jx5/x+1—y/x并求值。(★★★★★)例5.【阅读理解与创新探究】我国著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好，隔裂分家万事非”.数与形是数学中的两个最古老,也是最基本的研究对象,它们在一定条件下可以相互转化.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.【思想应用】实数与数轴上的点ーー对应,为了在数轴上找到近这个点的位置,可以借助于勾股定理来构造直角三角形来解决.请你利用勾股定理在下图的数轴上找出点、/ラ.-3-2-1 0 1 2 3【思想类比!]试比较ヽ石一•与で-y(x>y>0)的大小，并说明理由.小明受此启发,想用数形结合的思想来处理,联想到勾股定理,分别以6，Jx-y为直角边作如图（1）所示的直角三角形,则其斜边长为五，就能轻松解决上述问题，你能说明里面的道理吗?图（1） 图（2）【思想类比2】已知/","均为正实数，且が上2.求«2+1+ンガ+4的最小值.如图（2）,ス住2,AC=l,除2,ACLAB,ゆ丄四,点ム是线段相上的动点，且不与端点重合，连接CE,DE,试表达四和龙的长度，并据此解决上述最小值问题.【探究迁移】代数式＞//+4+血2-》）2+9的最小值是.当x是多少时,J2X+3+丄在实数范围内有意义?X+1.把（a-l）J一一、一中根号外的（a-1）移入根号内得（）.Va-\C.-y/a—1D.—a

.化简ノザ+ギザ=.（xN0）5.已知4x2+y2-4x-6y+l0=0,求(.若x、y5.已知4x2+y2-4x-6y+l0=0,求(的值..若最简根式3"守4。+3b与根式イ2次Zーガ+6び是同类二次根式,求a、b的值.（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）.已知所引，且X为偶数，求（l+x）k25x+4的值,

yx-6y/x-6 Vx2-1.若一3Wx<2时,试化简|x-2|+4(x+3)2+lx?-10x+25。.观察下列各式，通过分母有理数,把不是最简二次根式的化成最简二次根式:1_1x(竝-1) 五一15]V2+1(V2+1)(V2-I)-2-11 lx(^-V2) _V3-V2V3+V2(V3+V2)(V3-V2)-3-2同理可得:」l=--5V4+V3从计算结果中找出规律，并利用这ー规律计算(72002+1)(72002+1)的值.V2+1V3+V2V4+V3 72002+72001

.同学们,我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b?=(a±b)2,你一定熟练掌握了吧!现在,我们又学习了二次根式,那么所有的正数(包括〇)都可以看作是ー个数的平方,如3=(G)ヽ5=(J?)ゝ你知道是谁的二次根式呢?下面我们观察:(>/2-1)2=(V2)2-2•1•&+Y=2-2&+l=3-2&反之,3-20=2-2竝+1=(>/2-1)2/.3-2>/2-(y[2-1)" ^3—2y[2-y/2~1求:(1)マ3+2ま: (2)ル+2ノ3； (3)你会算〃ーJ行吗?(4)若《±2"=Jふ土«,则m、n与a、b的关系是什么?并说明理由.芝麻开门.比较のー&与拒ー]的大小〇.已知遅+1的整数部分为a,小数部分为b,求a-b=.3化へ**'^3+24—VI1-2a+/17a-1—ー1)_4.若x=&+3,则ゼー6》+7= .5.化简 5.化简 V5+V7

Vio+Vu+Vis+Vn6.ー个数的平方根是巒+が和4a-6か43,求这个数..若あ6为实数,且满足，1+。ーe-1)J!ーハ=0,则メ。”ー/。いニ..当xnhJー时,求"+1+ヤ+*+"+1ーザ「へ的值.(结果用最简二次根式表示)V2—1x+l-\x2+xx+I+a/jJ+x.实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示:b a0化简:冋+水Cーびーk+耳+ホ4一C),.第二讲一元二次方程（一）知识起跑要点ー、一元二次方程的有关概念.一元二次方程的概念:通过化简后,只含有个未知数（一元）,并且未知数的最高次数是的整式方程,叫做一元二次方程..一元二次方程的一般式:.一元二次方程的解:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做ー元二次方程的根.要点二、一元二次方程的解法.基本思想一元二次方程降次一〉一元一次方程.基本解法法、法、法、法.要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系.一元二次方程根的判别式一元二次方程如2+云+。=〇（4。〇）中,レ2一4双叫做通常用“△”来表示，即△=パ一4①（1）当△>0时，一元二次方程有的实数根;（2）当△=0时，一元二次方程有的实数根;（3）当△<0时，一元二次方程实数根..一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a^0）的两个实数根是る,x2,那么,.注意它的使用条件为aWO,A^O..掌握数学思想方法，以不变应万变。本章内容蕴涵了丰富的数学方法,主要有转化思想、类比思想、降次法、配方法等。应用拓展（★★★H列l.a是方程デー5イ+1=0的ー根,求経+二・的值;a

(★★外例2.解方程(1)4x(★★外例2.解方程(1)4x2 1—1

x+2x—42—x=12x3—12x~+18x=0(2)(★★★★”列3.阅读下列材资:为解方程(x2+1)2-5(x2+1)+6=0,我们可以将x2+1看作一个整体,设x2+l=y,则原方程可化为メー5y+6=0,解得:y=2,必=3.当メ=2时,x2+1=2,二x=±1;当ル=3时,x2+1=3,/.x=±\[2.因此原方程的解为:，X,=l,x2=-1.x3=VI,x4=-y[l⑴已知方程ノー=づー2スー3,如果设づー2イ=丁,那么原方程可化为x2-2x ~(写成关于y的一元二次方程的一般形式)⑵根据阅读材料,解方程:x(x+3)(V+3ス+2)=24(★★★★シ列4.求4デ+y2_2y_4x+15的最小值(★★★★★)例5.若方程ピ+px+q=0的两根分别是ムあ>那么X+ち=ー。,%ス2=q,请根据以上结论,解决下列问题:⑴已知关于ス的方程ズ+如+〃=6(〃エ0),求出ー个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程两根的倒数;r r Clh(2)已知ムわ满足。2-15a-5=0,从ー15万ー5=0,求セ+セ的值;ba⑶己知。,"c满足。+b+c=0,出?c=16,求正数c的最小值.我行我秀1.已知m、n是二次方程ピ+1999イ+7=0的两个根,求。ガ+1999加+6)(ガ+2000〃+8)的值。2セ是方程x?-x-1=〇的ー根,求ペー3。ー2的值,3、若ス2ースー1=0,求 )—的值。4.化简5/7-2jf0 5.解方程ザー15ゼ+10ス+24=0.小红和小明一起做作业,在解一道一元二次方程时,小明在化简过程中写错了常数项,因而得方程的两个根是8和2;小红在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是ー9和一］你知道原来的方程是什么吗?..回答下列问题:(1)若方程(，を—2)ゼー1=0有一个根是1,则m的的值是多少?(2)已知2和一1是方程2ゼ+皿+〃=0的两个根,求m和れ的值。3)若方程—5x—2=0有一个根是a,则6/—10a的值是多少?(4)已知方程内ユ+ハ+以“マ〇)的ー个根是1,那么a+b+c的值是多少?⑸若(x2+びー(3x2+3)=4,则ーズー1的值是ス的值是.⑹已知方程(ギ+2Xー3)°=/+*-5,则x的值为. —.(7)己知び一4a+が一ク+竺=0,求。2-4栃.216.解方程(1)(厂+f—1)(/"+f+2)=4 (2)ゼー5x+2."\l一5x=3 (3)(V^+1)〜+ —1=0.试证:不论x为何实数，多项式2ズー4/-1的值总大于ザー2づ一4的值..已知关于x的方程ズ+("?+3)x+m+l=0⑴求证:无论加为何值时,原方程总有两个不相等的实数根.⑵若ムち是原方程的两根,且国一ち|=20,求加的值和此时方程的两根.第三讲一元二次方程(二)知识起跑1、一元二次方程的概念注:如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时,则需要讨论字母的取值范围。一元二次方程求根方法及步骤: (2) (3) (4)3、一元二次方程根的判别式与根的关系_-b+Jb?-4ac①△>0=方程の2+6x+c=0(a*0)有两个不相等的实数根入2 2a__b②A=0o方程+服+c=O(aホ〇)有两个相等的实数根へあ2a.③A<Oo方程加+bx+c=O("0)没有实数根.4、韦达定理及逆定理_b c定理:如果以ユ+云+‘二0但カ⑴的两根是大,々,则ル+上ー_ム,リカーZ,(隐含的条件:A>0)特别地,当一元二次方程的二次项系数为1时，设メ，ち是方程ザ+。ス+夕=°的两个根,则Xj+x2=-p%•ス2=q逆定理:以两个数る,ち为根的一元二次方程(二次项系数为1)是〈ー(傾+モ・+ルち=°_b_c一般地,如果有两个数士,ち满足ヘ+七一a,A,V?"a,那么ム必定是奴ユ+か+c=°(ax°)的两个根.5、一元二次方程的应用(1),求代数式的值;.可化为ー元二次方程的分式方程。步骤:1)去分母,化分式方程为整式方程(一元二次方程)。2)解一元二次方程。3)检验(3),列方程解应用题步骤:审、设、列、解、验、答应用拓展(★★★例1、(1)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=Q(a^0)的系数满足a+c=b,则此方程必有一根为。(2)已知2ゼー3町-2y2=0,则刊:2的值为 0(3)已知ザ+ユースー丄一4=0,则ス+丄=.X X X(4)已知二次三项式9ギー(加+6)x+/n-2是ー个完全平方式,则nt=.(5)若I=2-+12x-9,则t的最大值为,最小值为〇(★★★m(12、已知关于x的方程x2-2(k-1)乂+1^=0有两个实数根セx2(1)求k的取值范围;(2)若卜|+メ2|=ス山2-1,求女的值.(★★★娟例3、阅读下面的例题:解方程:バー|了|_2=0.解:(1)当尤20时,原方程化为づ-x—2=0,解得ル=2,ム=-1(不合题意,舍去)，(2)当x<0时,原方程化为V+x-2=0.解得べ=1,(不合题意,舍去)宀=-2....原方程的根是占=2,ち=-2请参照ピー卜-3|-3=0,则方程的根是 .(★★★★★用(|4、(1)设为、的是方程ア+>4=0的两个实数根,求代数式ズー5ボ+10的值.(2)若・.y是实数,且，〃=デ-4孙+6ザー4x-4y确定/7?的最小值.(3)如果a+。+Ia/c"-1—1卜4>/a—2+2>/b+1—4,那么a+2b—3c的值カ(★★★対例5.(1)如图,要建一个面积为»。，/?的长方形养鸡场,为了节约材料,鸡场的ー边靠着原有的一条墙,墙长为a米,另三边用竹篱笆围成,如果篱笆的长为35米.① 求鸡场的长与宽各为多少?②题中,墙的长度。对题目的解起着怎样的作用?(2)将进货单价为40元的商品按50元出售时,能卖500个,已知该商品每涨价1元,其销售量就要减少10个,为了赚8000元利润,售价应定为多少,这时应进货多少个?我行我秀1、已知方程V+ほー10=0的ー根是2,贝リk为,另一根是02、已知”是.d—3x+l=0的根,贝リ2ア-6。=.3、若ゼ+町+y=14,y2+xy+x=28»则x+y的值为.4、已知2デー3町-2y2=0,且ス＞〇丿＞〇,则ケ2的值为 5、当k时,关于x的二次三项式ザ+ほ+9是完全平方式。6、某工厂第三年的产量比第一年的产量增长21%,平均每年比上一年增长的百分率为7、已知x、y为实数,求代数式ザ+ザ+2x-4y+7的最小值。8、已知バ+ザ+4スー6ギ+13=0,ス、ダ为实数,求ジ的值。（2）X"+2|x+2|-4=09、解关于X的方程:（1（2）X"+2|x+2|-4=010、某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率.芝麻开门.若实数x、y满足（x+y-3）（x+y）+2=0,则x+y的值为（ ）A、ー1或ー2 B、T或2C、1或-2 D、1或2.已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2I一弘+7=0的两根,则这个直角三角形的斜边是（）A.V3 B.3C.6 D.V63,方程x2+ax+l=0和x2-x-a=0有一个公共根,则a的值是（）A.0 B.1C.2D.34.已知关于x的方程x2+2（a+l）x+（3a2+4ab+4b2+2）=0有实根,则a、I）的值分别为..已知（バ+ア2+1）（ズ+ア2ーみ=5,则メ+ア2的值等于,.已知ズー3X+2=0,那么代数式（一）一x十1的值为.スー17I“比'中,二"BC=a,AC=b,AB=c,且满足ガ+ガ+gc"=。2c°+b2c2,试判定AABC的形状8.(新思维)已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0(1)求证:无论“取任何实数值,方程总有实数根;(2)若等腰三角形/む的一边长a=l,另两边长b、c恰好是这个方程的两个根,求△カ比•的周长.9.(新思维)某水果批发商场经销ー种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?10.(新思维)如图,某农户打算建造ー个花圃,种植两种不同的花卉供应城镇市场,这时需要用长为24米的篱笆,靠着一面墙(墙的最大可用长度a是10米),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽A8为ATT),面积为5m2.(1)求・与S的函数关系式;(2)若要围成面积为45m2的花圃,48的长是多少米?(3)花圃的面积能达到48m2吗?如果能,请求出此时/16的长;如果不能,请说明理由.第四讲相似三角形(一)知识起跑ー、比例线段1、定义:对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另外两条线段长度的比 即那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段。2、比例线段的基本性质:-=£, ざ巴ーレ:ad=bcbd cda-b_Zb2=ac其中b为比例中项bc合比顒:•”=£.•・空=包bdbd等比14sl•••a-c-e-,n・a+c+e+m_a+c_abdfnみ+d+/+〃b+db3、黄金分割:一条线段AB,点P是线段AB上的ー个点,如果满足:更=竺,那么称线段ABAPAB被P点黄金分割,点P为线段AB的黄金分割点,AP与AB的比值约为0.618,这个比值称为黄金比。二、相似图形的性质三、相似三角形1、定义:对应 相等,且对应 成比例的三角形,叫做相似三角形。2、表示方法:用符号"s”表示,读作〃相似于〃。3、相似三角形的相似比:相似三角形对应边的比叫做相似比.4、定理:平行于三角形ー边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截成的三角形与原三角形相似。5、判定三角形相似的思路：6、相似三角形的判定定理：7、相似三角形性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。⑹相似三角形内切圆、タト接圆直径比和周长比都和相似比相同,内切圆、外接圆面积比是相似比的平方8、中位线：(1)定义:我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。(2)定理:三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。(3)重心定理:三角形三条边上的中线交与一点,这个角就是三角形的重心,重心与一边中点的连线长是对应中线的1。(4)梯形的中位线定理:梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半。应用拓展(★対例1、(1)已知三条线段a=1cm,b=2cm,c=3cm,若线段d与a、b、c成比例,请求出线段d的长度。(2)若a:3=b:7,则(a+3b):2b=.

⑶已知アトチ=!,""3…,求渭畳的值.(★★刈⑶已知アトチ=!,""3…,求渭畳的值.(★★刈例2、等腰三角形A4BC中,AB=AC,ZABC=72°,ク钻C的角平分线BD交AC于D,且D是线段AC的黄金分割点,若AB=8cm,求BC的长。(★★★H列3、已知:如图,E是BA的延长线上的一点,F是BC的中点,连接EF交AC于D.求证:四=殷DCEB列4、如图,在aABC中,AD是NBAC的平分线,求证：AB:AC=BD:DC.如图,某同学想测旗杆高度AB,他在某ー时刻得1米的竹竿直立时影长为1.5米,在同一时刻,测得旗杆影长时,影子不全落在地面上,有一部分落在墙上,他测得落在地面上的影长AC为21米,留在墙上的影高CD为2米,求旗杆AB的高?

(★★★★対例6、如图所示,在"BC中,BA=BC=20CM,AC=30CM,点P从A点出发,沿着AB以每秒4CM的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3CM的速度向A点运动,设运动时间为X。(1)当x为何值时»PQ//BC?(2)当ヨ=；,求經的值;(3)aAPQ能否与位QB相似?若能,求出AP的长;若不能,请说明理由。1、若x+3y-5z=0,x-2y+3z=0,且孙zコ0,求x:y:z的值。2、已知f2、已知fはラキ。,求2x+3y+4z

5x—3y+z的值。3、已知a、b、c为AABC的三边,且。+b+c=60cm,a:h:c=3:4:5»求れABC的面积。.已知"=牛=—=m,求m的值,并判断直线y=nvc+m经过哪些象限?b

0）.如图,线段AB=2,点C是AB的黄金分割点,点D在AB上,且AO?=80・A8,求J的值。AC1 Ap6、如图,MBC中,D是BC边上的中点,E在AD上,且A£=—/求——的值。6 FB7.如图,在"BC中,AF:FC=l:2,G是BF的中点,AG的延长线交BC于E,求6E:EC。8、如图（DE//BC,む班:%ob=4：9,求AD:BD。9、在ー次数学活动课上,老师让同学们到操场上测量旗杆的高度,然后回来交流各自的测量方法.小芳的测量方法是:拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆2?米的C处（如图）,然后沿BC方向

走到D处,这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上,又测得C、D两点的距离为3米,小芳的目高为L5米,这样便可知道旗杆的高.你认为这种测量方法是否可行?请说明理由.ー、填空题1.在れABC中,ZB=25",AD是BC边上的高,并且AD2=BD»DC,则/BCA的度数为ー 2.己知:如图,2.己知:如图,在れABC中,AB=15m,AC=12m,AD是/BAC的外角平分线,DE〃AB交AC的延长线于点E,那么CE= m.如果那么霊如果那么霊.如图，已知Rt4ABC中，AC=3,BC=4,过直角顶点C作CAi丄AB,垂足为Ai,再过Ai作A,C|±BC,垂足为Ci，过Ci作C1A2丄AB,垂足为A2,再过A2作A2c2丄BC,垂足为C2，...,这样ー直做下去,得到了一组线段CAi，AiCi，GA2,…,则CA尸 ,一2= .A5c5.如图，在梯形ABCD中,AD〃BC,AC,BD交于点〇,Saaod：Sacob=1：9，则S/\doc：Saboc=.如图,在平行四边形ABCD中,E是边BC上的点,AE交BD于点F,.如图，在ふABD中，ZADB=90",C是BD上一点,若E、F分另!!是AC、AB的中点，ZkOEF的面积为3.5,则4ABC的面积为.在矩形ABCD中,E、F分别是边AD、BC的中点,点G、H在DC边上,且GH=2DC.若AB=10,2BC=12,则图中阴影部分的面积为..如图，在^ABC中，EF/7BC,AE=2BE,则れAEF与梯形BCFE的面积比.二、解答题L已知x:y:z=2:3:4,x+y+z=50,y=ax-5,求a的值。ーy, qti-k宀»ハ»、士・一1ろ—ca—b+c-a+b+c (a+b)(b+c)(c+a)2,若a、b、c是非零实数,并满足 =—•一= (且——ハ,ハ——-,c b a abc求x的值。3.在平面直角坐标系内,已知点A(0,6)、点B(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点〇移动,同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒.(1)求直线AB的解析式;(2)当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与^AOB相似?(3)当t=2秒时,四边形OPQB的面积多少个平方单位?第五讲相似三角形(二)知识起跑要点ー、相似图形及比例线段1•相似图形:在数学上,我们把的图形称为相似图形..相似多边形如果两个多边形的相等,相等,我们就说它们是相似多边形..比例线段:对于四条线段a、b、c、イ,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a-.b-c-.d,我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段..比例的基本性质:如果q=£,那么㈤=be.bdac a+b d.比例的性质:(1)性质:如果-=-,那么巴二セ二J3;bdbdメ、 ec mz,. ハ、エ“ノ〇+。+・・・+かa性质:如果一=—=...=—（b+d+...+〃ヰ0）,那么 =一bdn b+d+…+〃b要点二、相似三角形.相似三角形的判定:判定方法（一）：判定方法（二）: 判定方法（三）：.相似三角形的性质:；..相似多边形的性质:（1）相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.（2）相似多边形的周长比等于相似比.（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方.要点三、黄金分割1.定义:如图,将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB,若小段与大段的长度PBAP之比等于大段的长度与全长之比,即——=——（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项）,则P点APAB就是线段AB的黄金分割点（黄金点）,这种分割就叫黄金分割.2.黄金三角形:顶角为36°的等腰三角形,它的底角为72°,恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形.黄金三角形性质:底角平分线将其腰黄金分割.要点四、射影定理在RtZ\ABC中，ZACB=90°,CD丄AB于D,/.△ABC^AACD^ACBD（“角角”）（射影定理）；应用拓展Ans【例1](★★★攻口图,在aABC中,AB=14cm,—=-,DEllBC,BD9CD±AB,CD=12cm,求3DE的面积和周长。

(★★刈例2:如图,在"ABC中,有矩形DEFG,G、F在BC上,D、E分别在AB、AC上,AH丄BC交DE于M,DG:DE=1:2,BC=12cm,AH=8cm,求矩形的各边长。(★★★★)［例3］如图,已知P为aABC内一点,过P点分别作直线平行于AABC的各边,形成小三角形的面积与、S［、S.,分别为4、9、49,求AABC的面积。A(★★★対例4坟ロ图,在aABC中,ZBAC=90°,AD丄BC于D,E为AC中点,DE交BA的延长A线于F,求证:AB:AC=BF:DF0(★★★★対例5、如图所示,在MBC中,线于F,求证:AB:AC=BF:DF0平分/BAC,BD±AE的延长线于D,且交AM延长线于F,求证:EF//AB0我行我秀.已知如图,在3BC中,AD=AE,AO丄DE于。,DE交AB于D,交AC于E,BO平分nABC。求证:BO1=BDBCaBD相交于G,AC、.如图,梯形ABCD中,ADIIBC,BE±CD于E,且BC=BD,BD相交于G,AC、BE相交于F。求证:FC2=FGFAq.如图，已知,在边长为1的正方形ABCD的ー边上取ー点E,使AE七AD,从AB的中点F作HF丄EC于H。(1)求证:FH=FA；(2)求EH:HC的值。

.已知:如图,在矩形ABCD中,E为AD的中点,EF丄EC交AB于F,连接FC.(AB>AE).(1)"EF与aECF是否相似?若相似,证明你的结论;若不相似,请说明理由;(2)设黑=k,是否存在这样的k值,使得川EF与"FC相似?若存在,证明你的结论并求出k的值;若不存在,说明理由.B C.如图所示,在“比'中,DEWBC,若4?=1,DB=2,则段的值为()B C第3题图 第4题图.如图所示,“宏中DEW比,若力ク:クg=1:2,则下列结论中正确的是()AOEIbMOE的周长1じん1。ビ的面积1dん4。^的周长丄•BC2 •A4BC的周长2 'A4BC的面积3 ''A4BC的周长33.如图所示,在“8c中N函C=90°,ク是纪中点,ノど丄カク交由延长线于ど点,则下歹リ结论正确的是（）A."EDiACBB.aAEB^ACDC.BAE-ACED.^AEC-^DAC.如图所示,在△/死中ク为ズC边上一点,若NクタC=N/,BC=遅,2C=3,则C9长为（）A.1 B.- C.2 D.-ノ、TOC\o"1-5"\h\z.若。是的斜边8c上异于B,C的一点,过点P作直线/ ,截△ズ比,截得的三角形与原“人:相似,满足这样条件的直线共 "D C有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条的小华站在距路灯杆5m的C点处,测得她在灯光下的影长CD为2.5m,则路灯的高度AB.如图所示,"比'中,カク是比边上的中线"是ノ。边上一点,且・=丄,射线な交EB6A8于ど点,则绦等于 .rD.如图所示，"比'中，DEWBC,AE.EB=2.3,若"中的面积是4m2,则四边形DEBC的面积为..已知:如图,"史中,Z^IC=90o,AB=AC=1,点ク是比边上的ー个动点（不与ド，C点重合），"クど=45°.⑴求证:"如△OCF;（2）设BD=x,AE=y,求ノ关于x的函数关系式;（3）当△/£?ご是等腰三角形时,求ズど的长..【问题ニ】已知如图,正方形ABCD的边长为1,P是CD边的中点,点Q在线段BC上,设BQ=攵,是否存在这样的实数え,使得Q、C、P为顶点的三角形与aADP相似,若存在,求出ん的值;若不存在,请说明理由。BQC

问题ニ图.已知:如图,MBCD中,カタ=4,BC=3,厶BAD=120°,ど为比＜上ー动点（不与d点重合）,作ア丄ズク于F,FE,比＜的延长线交于点G,设BE=x,△ク&的面积为S.⑴求证:△BEF^CEG：（2）求用・表示S的函数表达式,并写出x的取值范围;（3）当ど点运动到何处时,S有最大值,最大值为多少?B

第六讲解直角三角形（一）知识起跑考点ー、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下:NC=90°=NA+NB=90°2、在直角三角形中,30。角所对的直角边等于斜边的一半。3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即メ+ゲ=°?5、摄影定理/ ハン AンAYCD±AB丿=> / ハン AンAYCD±AB丿=> AC2=AD•ABJ6、常用关系式由三角形面积公式可得: AB•CD=AC•BC考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形.2、如果三角形ー边上的中线等于这边的一半3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a,b,c有关系。2+グ考点三、锐角三角函数的概念］、如图,在"BC中,ZC=9O°2 / \A D B那么这个三角形是直角三角形。=c2,那么这个三角形是直角三角形。斜边ノ/|B</ NA«对边/ aNB的邻访A b じNA的邻边NB的对边zACB=90°①锐角A的对边与斜边的比叫做NA的正弦,记为sinA,即sinA=—1斜边②锐角A的邻边与斜边的比叫做②锐角A的邻边与斜边的比叫做/A的余弦,记为cosA,即cosA=N4的邻边b斜边CNA的对边NA的对边a厶的邻边bム的邻边ムt的对边③锐角A的对边与邻边的比叫做/A的正切,记为tanA,即tanA=④锐角A的邻边与对边的比叫做/A的余切,记为cotA,即cot4=2、锐角三角函数的概念锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做/A的锐角三角函数3、一些特殊角的三角函数值三角函数 0° 30° 45° 60° 90°n 1 V2 V3 .sma 0 — —— — 12 2 2, V3 V2 1 ハcosa 1 — — - 02 2 2tana u — i J3 イ、存在3cota 不存在 1 —— 034、各锐角三角函数之间的关系(1)互余关系sinA=cos(90°一A),cosA=sin(90°一A) tanA=cot(90°—A),cotA=tan(90°—A)(2)平方关系 sin2A+cos2A=1(3)倒数关系 tanA・tan(90°—A)=l(4)弦切关系 tanA=-^cosA5、锐角三角函数的增减性

当角度在。。〜90。之间变化时,(1)正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)(2)余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)(3)正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)(4)余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)考点四、解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中,除直角外,ー共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理论依据在RfABC中,nC=90°,nA,nB,NC所对的边分另リ为a,b,c(1)三边之间的关系:グ+が=(勾股定理)(2)锐角之间的关系:ZA+ZB=90°(3)边角之间的关系:.,a,b,a,b,ハb„a„b„asinA=—,cosA=-JanA=—,cotA=—;sino=—,cosB=—,tanB=—,cotB=—ccbaccab应用拓展(★外例1.求值(1)cos60°+sin'45°—tan34°•tan56° (2)已知tanA=2,求——； 的值。4sinA-I-5cosA(★★★)例2.如图,在AABC中,AB=AC,ZA=135°求tanB。 △

(★★★)例3.如图,在RtZ\ABC中,ZC=90°,sinB=—,D在BC边上,且/ADC=45。,AC=5„例3图BA求/BAD例3图BA(★★★★卄列4.在ー次数学活动课上,胡老师带领九(3)班的同学去测一条南北流向的河宽。如图所示,张ー凡同学在河东岸点A出测到河对岸边有一点C,测得C在A的北偏西31°的方向上，沿河岸向北前进21m到达B处，测得C在B的北偏西45°的方向上。请你根据以上的数据,帮助该同学计算出这条河的宽度。(tan31°=-)(★★★★★)例5、如图,已知△4比・是边长为6cm的等边三角形,动点P、。同时从48两点出发,分别沿AB、比匀速运动,其中点タ运动的速度是!cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为Ms),解答下列问题:(1)当上2时,判断△8セ的形状,并说明理由;(2)设△8セ的面积为S<cm2),求S与1的函数关系式;(3)作QRHBA交ズC于点??,连结承，当t为何值时,XAPRsXPRQ?（★★★★幻例6.将一副三角板按如图的方式摆放在ー起,连接AD,求/ADB的正弦值例6图 C我行我秀TOC\o"1-5"\h\z.在RNABC中,各边的长度都扩大2倍,那么锐角A的正弦、余弦（ ）（A）都扩大2倍 （B）都扩大4倍（C）没有变化 （D）都缩小一半.在正方形网格中,mbc的位置如图所示,则cosN8的值为（ ）A.1B.也C.立 D.立.在RtAABC中,ZC=90°,ZA=15°,AB的垂直平分线与AC相交于M点,则CM：MB等于()A.2：V3B.V3：2C.V3：1D.1：V3

4.等腰三角形底边与底边上的高的比是2:6,则顶角为（ ）A.60"B.90°C.120°D.150°'5..如图,ー渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60”方向,这艘渔船以28km/时的速度向正东航行,半小时到B处,在B处看见灯塔M在北偏东15”方向,此时,灯塔M与渔船的距离是（）A.142km B.1442kmC.1km D.\4km6,在Rt“比"中,zO90°,AB=4,AC=1.贝リcos4的值是（）A.恒B.-C.V15D.4.如图,正方形ABC。中,E是3C边上一点,以E为圆心、EC为半径的半圆与以A为圆心,AB为半径的圆弧外切,则sinNEAB的值为（）.河堤横断面如图所示,堤高BC=5米,迎水坡AB的坡比1:百（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比）,则AC的长是（）A.5石米 A.5石米 B.10米 C.15米 D.loけ米.如图,两个高度相等且底面直径之比为1:2的圆柱形水杯,甲杯装满液体,乙杯是空杯.若把甲杯中的液体全部倒入乙杯,则乙杯中的液面与图中点P的距离是（）

.如图,铁路MN和公路PQ在点〇处交汇,ZQON=30°.公路PQ上A处距离。点240米.如果火车行驶时,周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时,A处受噪音影响的时间为A.12秒.B.16秒.C.20秒. D.24秒11..已知等腰梯形ABCD中,AD+BC=18cm,sinZABC=1V3,AC与BD相交于点〇,ZBOC=120°»试求AB的长..某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度.如示意图,由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为ガ,在A和C之间选一点B,由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为a.测得A,B之间的距离为4米,tana=1.6,tan〃=L2,试求建筑物CD的高度..ー副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上（ABIICF,zF=zACB=90°,zE=45°,zA=60°,AC=10,除CD的长..在直角坐标系xOy中,点尸（4,y）在第一象限内,且。P与x轴的正半轴的夹角为60。,则y的值是（）TOC\o"1-5"\h\zA.— B.4G C.8 D.2.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将れABC如图那样折叠,使点A与点8重合,折痕为。E,则tanNCBE的值是（）AiBg ” D,17 3 24 33.如图,在RfABC中,NC=90°,NA=30°,E为AB上一点且AE：EB=4:1,EF丄AC于F,连结FB,则tan/CFB的值等于（ ）ん石口26 い〈6A、—Bヽ Cヽ Dヽ5,33 3 32题图 3题图 4题图.如图,小雅家（图中点〇处）门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东60度500m处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（ ）.A.250mB.250a/3mC.^^5/3mD.2500m.3.在ン8c中，zC=90°,tan4=；，则sin8=（ ）Vio 2 3 3V10A.I。 B.3 C.4 D.1。.（2008浙江金华）把两块含有30"的相同的直角尺按如图所示摆放,使点C、B、E在同一条直线上,连结CD,若AC=6cm,贝必BCD的面积是

.ZVI8C中,匕C=90°,AB=1,tan/I=-,过/8边上一点P作PELACTE,所!8c于F,E、4尸是垂足,则宁的最小值等于 .. —4sin45°4-(3—n)°+1—41=.在SBC中,zA=30°,tanB=|rBC=V10»贝リAB的长为.锐角A满足2sin(AT5°)=G,则nA= .已知tanB=V5,则sinO=.2.如图,某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30。方向直线延伸,测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市东偏北60。方向,测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处,测得小区M位于C的北偏西60。方向,请你在主输气管道上寻找支管道连接点N,使到该小区铺设的管道最短,并求AN的长..女口图,在梯形/16CZ7中,ADWBC,BDA.DC,zC=60°,カク=4,BC=6,求/ク的长.BDBD.某船向正东航行,在A处望见灯塔C在东北方向,前逬到B处望见灯塔C在北偏西30",又航行了半小时到D处,望灯塔C恰在西北方向,若船速为每小时20海里,求A、D两点间的距离。(结果不取近似值)第七讲解直角三角形（二）知识起跑解直角三角形的应用丨、一一角三角形的定义:已知边和角《两个,其中必有条边）ー求所冇未知的边和角.依据:①边的关系:か+ガ=：②角的关系:NA+/B=90"：③边加关系:（见前由I51函数的定义）.已知条件解法ー边及ー锐角直角边a及锐角AB=90°-A,b=a•tanA,c=-a.sinA斜边c及锐角AB=90°-A,a=c•sinA,b=c•cosA两边两条直角边a和bc・げ+/,B=90°-A,b■Q2_q2直角边a和斜边csinA=-,B=90°-A,b=¢1ーJc

2、应用举例:(I)何角:在线右水，I’絞上方的角:痢角:视线れ水干线ド方的年.(2)班曲的附门髙度人和水ず宽度ノ的比叫轴坡度(坡比)•川アノリjん示・即，=；•坡度殷弓成1：，”的形式•如，=1:5等.把坡面，水屮面的火"J记fla(叫做坡角).歩么i=，=1ana.应用拓展TOC\o"1-5"\h\z(★ザ例1、(1)当锐角A>45°时,sinA的值( )A.小于亚 B.大于』Z C.小于立 D.大于立2 2 2 2(2)若/A是锐角,且sinA=—,则( )4A.0°<ZA<30°B.30°<ZA<45°C.45°<ZA<60°D.60°<ZA<90°百(3)当ZA时锐角，且tanA的值大于左时,ZA( )3A.小于30° B.大于30° C小于60°D.大于60°(★★娟例2、如图,在顶角为30°的等腰三角形ABC中,AB=AC,若过点C作CD丄于点D,则NBCD=15°,根据图形计算tanl5°等于多少。

(★★★★)例3、某旅游区有一个景观奇特的望天洞,D点是洞的入口,游人从入口进洞游览后,可经山东到达山顶的出口凉亭A处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB返回上脚下的B处，在同一平面内,若测得斜坡BD的长为100米，坡角/DBC=10°,在B处测得A的仰角/ABC=40°,在D处测得A的仰角ZADF=85°,过点D作地面BE的垂线。垂足为C.(1)求/ADB的度数:(2)求索道AB的长。(结果保留根号)(★★★対例4、水坝的横断面是梯形，迎水坡BC的坡角/B=30°,背水坡AD的坡度为1:后，坝顶DC宽25米,坝高CE是45米，求坝顶AB的长，迎水坡BC的长及BC的坡度。(答案可带根号)(★★★★★例5、如图,某居民小区内ん3两楼之间的距离MN=30米,两楼的高都是20米,A楼在8楼正南,B楼窗户朝南。B楼内ー楼住户的窗台离小区地面的距离ON=2米,窗户高CO=L8米。当正午时刻太阳光线与地面成30角时,A楼的影子是否影响B楼的ー楼住户采光?若影响,挡住该住户窗户多高?若不影响,请说明理由。（参考数据:72=1.414,73=1.732,75=2.236）.若太阳光线与地面成35°角,ー棵树的影长为10米,则树高h的范围是（ ）(73=1.7)A.3<h<5B.5</z<10C.10</z<15D./z>15.如图,钓鱼竿AC长6米,露出水面的鱼线BC长3&米,某钓者想看看鱼钓上的情况,把鱼竿AC转动至!]AC的位置,此时露出水平的鱼线BC长3け米,则鱼竿转过的角度是（）A.60°B,45°C,15°D.90°.如图,先锋村准备在坡角为a的山坡上栽树,要求相邻两树之间的水平距离为5米,那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）A.5cosaB.5_C.5sinaD._cosa sina.如图,在一块三角形空地上种草皮绿化环境,已知AB=20米,AC=30米,ZA=150°,草皮的售价为a元/米2,则购买草皮至少需要（ ）A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元

.如图,沿AC方向开山修隧道,为了加快施工进度,要在小山的另ー边同时施工,从AC上取一点B使/ABD=145°,BD=500米»ZD=55°«要使A、B、C、E成一条直线,那么开挖点E离A.500sin550米B.500cos55"米C.500tan55°米D.500米cos550.如图,当太阳光与地面上的树影成45。角时,树影投射在墙上的影高CD等于2米,若树根到墙的距离BC等于8米,则树高AB等于米。.如图,要测量山上石油钻井的井架高BC,先从山脚A处测得AC=48米,塔顶B的仰角a=45°,已知山坡的坡角ガ=30°,则井架高BC为米。.如图,线段AB,CD分别表示甲、乙两栋楼的高,AB丄BD,CD丄BD.从甲楼顶部A测得乙楼顶C的仰角a=30°,乙楼底部D的仰角万=60°,已知甲楼的高AB=24米,则乙楼高CD为一米。.某ー拦水坝的横断面是ー个等腰梯形,它的上底长为6米,下底长为10米,高为26米,那么拦水坝的坡度和坡角分别为（ ）B.73,30° C.V3,B.73,30° C.V3,60D.30.当太阳光线与地面成45°角时,在坡度i=l:2的斜坡上的一根树AB落在坡面上的影子AC长为5米,落在水平线上的影子CD长为3米,求这棵树的高度（参考数据6=2.24,73=1.73,71=1.41,结果保留两个有效数字）

1L如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽2米,坡度由原来的1:2改为1:2.5,已知坝高6米,坝长50米。(1)求加宽部分横断面AFEB的面积;(2)完成这ー工程需要多少方土?1.酒店在装修时,在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯,已知这种地毯每平方米售价30元,主楼梯宽2米,其侧面如图21所示,则购买地毯至少需要 元。.如图,一艘轮船向正东方向航行,上午9时测得它在灯塔P的南偏西30°方向,距离灯塔!20海里的M处,上午11时到达这座灯塔的正南方向的N处,则这艘轮船在这段时间内航行的平均速度是 海里/时。.小明去爬山,在山脚看山顶角度为30°,小明在坡比为5：12,的山坡上走1300米,此时小明看山顶的角度为60°,求山高（ ）A.600-250eB.60（）\/5-250C.3SO+350VD.500vz5.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,这时,海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）A.40市海里 B.404海里 C.80海里D.40vG海里.在中，AB=AC,48的垂直平分线産与/IC所在的直线相交于点£,垂足为ク，连接8£已知AE=5, 则8£+绥=..钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理.如图,某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B,B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离,某ー时刻两海监船同时测得在A的东北方向,B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C,求此时船C与船B的距离是多少.（结果保留根号）7.如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB的坡角NBAD=60。,坡长AB=206m,为加强水坝强度,将坝底从A处向后水平延伸到F处,使新的背水坡的坡角NF=45。（求AF的长度（结果精确到1米,参考数据:V2«1.414,V3=1.732）.第八讲二次函数的图像及基本性质（上）知识起跑题型ー:二次函数图象与其解析式系数的关系图象性质:二次函数图象主要掌握开口方向、对繃、顶点坐标、与坐标轴的交点、単调性和量值等方面,若二次鹹解析式加=N+bx+c（勒=《・ー杼+打响,则:开口方向[a＜（）=向下‘冋越大’开口越小対称轴x=-：（或kA）la顶ヨ坐标hAac-b2（$隼ー、或。,k）2a4a

S！象与X车由白勺交点个数0）当人^ろ2—4«c?>OB7tr0 P65*4^gpg〇（g）当八=O时,画象与ペ钿只有 T交点。③当人VO时,图象与“钿没有交点。!当〃〉。时,国象落在“轴白勺上方,无论X为任イ可实数,者R有»AO；I!当"VO时,国象落桂”轴白勺下方,无论”为任何实数•都有ソVO。单调性单调性当a>0时,在对称轴的左倒）隨1的増大而减小:在对称轴的右勒,1隨t的増大而増大（如如）；V图:当a<0时,在对称输的左晶層的地大而增大;在对称轴的右制..「随K的増大而减小（如图2）f/图2ヽ姆桐交点:C）;殷讎®与询般点:（卬ル（孙〇）,的就其隔,噎方程加+加ん=0（喇嘛机应用拓展（★★H列1、二次函数尸的图象如图所示,判断a,b,c,6—4ac,2a+bfa+b+c9a—b+c的符（★★★H列2、如图1,抛物线尸oa=oc,下列关系中正确的是（A.ac+l=b B.ab+l=c C.bc+l=a D.—+1=cb（★★★★）例3、如图2是二次函数尸af+H+cgナ0）图象的一部分,图象过点ん（-3,0）,对称轴为アー1。给出四个结论:①が>4ac；②2a+b=0；③マー6+c=0；®5a<b,其中正确结论是（ ）A.②@B.①④C.②③ D.①③（★★★★★）例4、小明为了通过描点法作出函数尸ザース+i的图象,先取自变量ス的7个值满足:莅ー汨=吊ース2=-=*7ー施=",再分别算出对应的ダ值,列出表1：

表I:X*1x2*3ムX5%必己か，=度—y”nk=y-}—y2f私=%一％,nh=ys—yi,…；3=/¢—価,s?=恥ーnt,0=g一加，…⑴判断0、团、S3之间关系;⑵若将函数“y=f—x+l"改为"yuaV+Ar+cEWO）”,列出表2:其他条件不变，判断q、攵、s3之间关系,并说明理由;表2：XXx2*3*4*5*6Xiyyyi必乂为，6yi⑶小明为了通过描点法作出函数y=af+6ス+c（a#O）的图象，列出表3：由于小明的粗心,表3中有一个y值算错了,请指出算错的y值（直接写答案）。表3：Xx2X3ムX5%Xly1050110190290420550我行我秀1、如图3,抛物线尸af+Ar+c与x轴的ー个交点Z1在点（-2,0）和（-1,0）之间（包括这两点），顶点C是矩形龙アで内（包括边界和内部）的ー个动点,则①aん0（填“〉"或‘'V”）；②a的取值范围是\I/ズ图\I/ズ图3 图4 图52、如图4,抛物线ア=a?+6*+c与x轴交于点ス、ヤユれ图6 芝麻开门4题B,与y轴交于点C,若OB=OC=、OA,则。的值为23、已知二次函数ダ=マザ+6x+c(aW0)的图象如图5所示,有下列8个结论:①己ん>0；②6Va+c；③4a+2か+c>0；④2cV36；⑤a+b>m(am+か,(/zz^l的实数)；(6)2a+Z?=0；⑦〃ー4acV0,⑧(a+c)“>况其中正确的结论有( )A.2个B.3个C.4个D.5个交ダ轴于ク,当线段ス6最短时,4、如图6所示,二次函数y=ズー(a—2)x+a—交ダ轴于ク,当线段ス6最短时,求线段ル的长。芝麻开门.下列函数中,y是x的二次函数的是()A.yーバ=0 B.y=(x+2)(x—2)—(x—1)，C.y=x2+— D.y—-Jx2+2x—3x.已知函数y=(加+2)ゼ+ユい是关于ス的二次函数,则布=()A.2 B.-4 C.2或-4 D.0.对于任意实数m,下列函数一定是二次函数的是()A.y=(w-l)2x2 B.y=(m+l)2x2 C.y=(m2+l)x2 D.y=(m2-l)x2.抛物线图象如图所示,根据图象,抛物线的解析式可能是()A.y=x2-2x+3 B.y=-x2-2x+3 C.y=-x2+2x+3D.y=-x2+2x-3.二次函数y=-x2+6x-5,当x()时，y<0,且y随x的增大而减小。A.>3 B.<3 C.N5 D.W5.已知抛物线メ=奴ユ+6x+c(a>0)的对称轴为直线x=1,且经过点(-1,yj,(2,%)，试比较X和ya的大小:y,一y2(填“>”，或“=”)A.>B.<C.=D.不确定.已知二次函数y=3(x-l『+&的图象上有三点4(竝,yj,B(2,y2), 则y、y2,y3的大小关系为«a.y2<yi<y3B-%<ド2<% c-ス<%<y2D-%<%<%.二次函数y=ar2+bx+c的图象如图7所示，下列结论:①わ>0,②c<0,③3a+厶<0,④4a+2b+c>0,⑤(a+c)2>み2其中正确的有( )

1个2个3个41个2个3个4个图7.已知抛物线y=Y-x-l与x轴的ー个交点为（め,0）,则代数式ガーm+2O15的值为（）A.2015B.2016C.2017D.2018.设。、ル是常数,且ケ>0,抛物线ぎ=収2+法+イ一5°-6为下图中四个图象之ー,则。的值为（）A.6 B.1 C.-6 D.-1.二次函数y=の2+bx+c图象如图8所示，则下列。、b、c关系判断正确的是（）A.ab<0 B.be<0 C.a+b+c>0 D.a-b+c<0.函数y=ox+l与y=奴2+bx+I（aX0）的图象可能是（ ）第九讲二次函数的图像及基本性质（下）知识起跑题型ー:二次函数的最值对于二次函数尸aV+bx+c（a>0）（%］表示ダ的最大值,外〃表示ダ的最小值）⑴若自变量X的取值范围为全体实数，如图①,函数在顶点处x=-2时，取到最值。(2)若mWxく〃< ,如图②,当x=勿,当ス=〃,y=ynina2a⑶若一"りvmWxW”,如图③,当l勿,y=y«in\当ズ=〃,y=y^2a⑷若/7yく且mW W〃，如图④,当ス= ,ダ=丹ル;当x=a,y=ymax02a 2a应用拓展(★★)1、若x为任意实数,求函数y=2/—x+1的最小值;(★★★)2、若1〈后2,求/=2f—x+1的最大值、最小值;(★★★)3、若〇く启1,求ダ=2ザーx+1的最大值、最小值;(★★★)4、若实数ふ。满足a+Z/=l,则24+7が的最小值是(★★★★)5、己知实数xー满足方程(み2小)紋+2")=:则x+尸ー(★★★★)6、二次函数尸aV+わス+c的图象的一部分如图所示,求a的取值范围。

（★★★★★）7、如图抛物线弘=-（★★★★★）7、如图抛物线弘=-aバ—ax+!经过点イー；,看），且与抛物线y-i=ax—ax-X相交于两点。⑴求a值;⑵设メ=-ax"-ax+1与x轴分别交于〃、ル两点（点材在点ル的左边）,必=aV—ax-1与・轴分别交于反タ两点（点ゼ在点尸的左边）,观察机N,E,尸四点的坐标,写出一条正确的结论,并通过计算说明;⑶设んタ两点的横坐标分别记为れX"、若在x轴上有一动点。（x,0）,且あWxW检,过0作一条垂直于”轴的直线,与两条抛物线分别交于C,ク两点,试问当ス为何值时,线段の有最大值?其最大值为多少?我行我秀1、若一2〈后〇,求/=2f—*+1的最大值、最小值;2、若ス为整数，求函数尸2x°—x+1的最小值。3、二次函数尸af+か"+c的图象的一部分如图所示，试求a+6+c的取值范围。4、设二次函数尸af+Ax+c（aWO）的图象如图所示,若0A=08,求"G的取值范围。.在同一坐标系中一次函数y=ar+い和二次函数y=5ユ+か:的图象可能为（）TOC\o"1-5"\h\zA B C D.已知ペ+2ザ=1,求2ス+5ザ的最大值为（）a27 D29 r31 n35A.— D.— し•— U.—10 10 10 10.用列表法画二次函数y=x?+か+c的图象时先列ー个表,当表中对自变量x的值以相等间隔的值增加时,函数y所对应的值依次为:20,56,110,182,274,380,506,650。其中有一个值不正确,这个不正确的值是（）A.506 B.380 C.274 D.182.二次函数y=gx?-2x与x轴的ー个交点为点4（非坐标原点），顶点为点6,则A4OB（0为坐标原点）的面积为（）A.18B.12C.9D.6.设ヅ=ゼ+以+3ー。,当x取任意实数时,メ恒为非负数，则a的取值范围是，）A.-6WaW2B.-6Wa《ー2C.-2Wa<6 D.2《a《6

.二次函数y=aス之+ん叶。,炉=ac,且・=0时y=-4,则ダ的最值是( )A,最大值ー4 B.最小值ー4 C,最大值ー3D,最小值ー3.己知二次函数y=丘2+(22-1)スー1与ス轴交点的横坐标为丹、x2(%,<x2)»则对于下列结论:⑴当ズ=一2时,y=1；(2)当ス>そ时,>>0;⑶方程点2+(2セー1)スー1=0有两个不相等的实数根X、x2；⑷玉<-1,X2>-1；(5)ち3=W,其中所有正确的结论是()kA.(1X3X4) B.(1X3) C.(1)(4) D.(1).y=(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)+5在ー3くx《3的最小值是()A.1 B.4 C.2 D.3.如图1是ー个供滑板爱好者滑行使用的U型池,图2是该U型池的横截面(实线部分)示意图,其中四边形AMN。是矩形,弧ん“。是半圆。若半圆ん”。的半径是