工程弹塑性力学教学课件第三章应变状态理论

第三三章章应应变变状状态态理理论论3.1位移移分分量量和和应应变变分分量量两两者者的的关关系系3.2相对对位位移移张张量量转转动动分分量量3.3转轴轴时时应应变变分分量量的的变变换换3.4主应应变变应应变变张张量量不不变变量量＊3.5应变变二二次次曲曲面面3.6体应应变变3.7应变变协协调调方方程程＊3.8有限限变变形形的的几几何何浅浅析析第三三章章应应变变状状态态理理论论由于于我我们们只只是是从从几几何何学学观观点点出出发发分分析析研研究究物物体体的的变变形形本本身身，，而而并并不不涉涉及及到到产产生生变变形形的的原原因因和和物物体体的的物物理理性性能能，，所所以以本本章章所所得得的的结结果果对对一一切切连连续续介介质质都都是是适适用用的的。。任务务(1)分析一点点的应变变状态(2)建立几何何方程和和应变协协调方程程§3-1位移分量量和应变变分量两两者者的关系系设原来占占据空间间某一位位置D的物体，，在外力力或温度度变化的的作用下下占据空空间另一一位置D1（如图））。在这过程程中，物物体可能能同时发发生两种种变化：：一种是是位置的的变化（（这部分分相当于于刚体运运动），，另一种种是形状状的变化化。由物体的的连续性性假设，，要求在在变形前前连续的的物体变变形以后后仍保持持为连续续体。这一物理理的要求求，反映映在数学学上，则则要求区区域D内每一点点，连续续变化到到区域D1内的相应应点，而而且两者者成一一一对应的的关系。。具体地说说，如果果P点为D内的任意意一点，，在物体体变形后后，它经经过一个个位移而而变到D1中的一点点P1；若分别别用（x,y,z）和（x1,y1,z1）表示P点和P1点的坐标标，则根根据上述述要求，，这里的的x1,y1,z1必须是x,y,z的单值连连续函数数。称为位移矢量投影于坐坐标轴位移分量量位移分量棱边的相对伸长和缩短为称正应变用来表示棱边间所夹直角的改变量称为剪应变用来表示应变分量3.2相对位移移张量转转动动分量3.3转轴时应应变分量量的变换换应应变张张量1.转轴时应应变分量量的变换换老坐标系应变分量新坐标系应变分量设为3个新坐标对老坐标轴的方向余弦（1）转轴时位位移分量量的变换换新坐标轴单位矢量（2）转轴时应应变分量量的变换换利用方向向导数公公式于是新坐坐标系中中的应变变分量为为代入几何方程程，可得应变分量量的变换公公式：上式可以以写成2.应变张量量物体内某某一点沿沿任意方方向微分分线段的的相对伸伸长率l,m,为该微分分线段的的方向余余弦3.4主应变应应变变张量不不变量对任一确确定点M，可找到到一个坐坐标系，，在这个个坐标系系下，只只有正应应变分量量，而所所有的切切应变分分量为零零。即过过点可找找到这样样3个相互垂垂直的方方向，使使沿这3个方向的的微分线线段在物物体变形形后只是是各自地地改变了了长度，，而其夹夹角仍保保持为直直角。但但要注意意的是在在变形以以后，主主方向的的微分线线段由于于单元体体的刚性性转动而而转动了了一个角角度。1、应变主方方向与主主应变同样，主应变方向余弦有非零解的条件为展开后得得以上称为为应变张量量不变量量（依次称称为第一一、第二二和第三三不变量量）。不不变含义义同应力力张量其中三次方程程有3个实根，，代入入方程，，并利用用，，可可以求出出3个主应变变，并当当总之，过过物体体内的一一点至少少可以找找到3个互相垂垂直的方方向，沿沿这3个方向的的微分线线段在物物体变形形后仍保保持垂直直（1）3个主应变互相垂直（2），同时垂直，而方向任意（3）则任意方向均为主方向3.6体应变3.7应变协调调方程AB从数学的的角度看看：几何方程中的6个应变分量是通过3个位移分量表示的，显然6个应变分量之间应满足一定的关系从几何的的角度看看：Ac1.应变协调调方程几何方程程左列第一式和第二式分别对和求二阶偏导数，相加，再利用右列第三式把几何方程的右列第一、第二、和第三式分别对和求一阶偏导数，得把后两式式相加再再减去它它们的前前一式，，则有应变协调调方程又称圣维南方方程轮换这样总共得到6个关系式，现综合如下：2.讨论（1）应变分分量满足足应变协协调方程程，是保保证物体体连续的的一个必必要条件件。（2）如果物物体是单单连通的的，应变变分量满满足应变变协调方方程是物物体连续续的充分分条件。。如位移分分量可以以通过对对其一阶阶偏导数数积分求求解：其中

不能直接应用应变分量表示出来，它们对求一阶偏导数，便