地震分析振型分解反应谱法

工程抗震原原理PrinciplesofSeismicEngineering土木工程专专业本科专专业课第三章建建筑结构抗震原理§1概述§2单自由度体体系地震反反应分析§3单自由度体体系水平地地震作用§4多自由度体体系地震反反应分析§5地震分析振振型分解反反应谱法§6水平地震作作用的底部部剪力法§7考虑扭转的的水平地震震作用§8结构竖向地震作作用§9建筑结构抗震验验算§10结构自振周周期和频率率的实用计计算方法§11工程结构地地震反应的的时程分析析方法§12地基与结构构动力相互互作用效应应第三章建建筑结构抗震原理上次课重点点回顾：多自由度体体系地震反反应分析动力方程的建立振型、频率率振型的正交性求解多自由度反应的振型型分解法§4多自由度体体系地震反反应分析4.2地震反应分分析的振型型叠加法1.振型与自振振频率求解弹性体系的自振频率和和振型称为为自振特性性分析。由于体系的的固有频率率和相应的的振型都仅仅取决于体体系自身的的性质，而而与时间无无关，所以以从广义的的观点，自自振特性分分析的基本本手段是变变量分离法法，即把时时间因素与与结构位置置因素分离离后，利用用特征方程程具有非零零解的充分分必要条件件求取自振振频率及相相应的振型型。§4多自由度体体系地震反反应分析无阻尼多自自由度弹性性体系的自自由振动方方程为：设结构作简简谐振动，，其位移反反应为：式中，ω—自振频率率；θ—初始相位角;{ϕ}—仅与位位置坐标有有关的向量量。可以得到特特征方程：：根据线性代代数的知识识，特征方方程存在非非零解的充充要条件是是系数行列列式等于零零，即得到频率方程：§4多自由度体体系地震反反应分析根据特征方程：对应于频率率方程中的的每一个根根，都存在在特征方程程的一个非非零解{ϕj}，称为振型向向量，或叫叫特征向量量，或叫模模态向量。。由于特征方方程的齐次次性，该非零解是不不定的，即振型向量幅幅值是任意意的，但形状是唯一一的。因此，振型型定义为结结构位移形形状保持不不变的振动动形式。根据可知，若结结构体系按按某一振型型振动，则则体系的所所有质点将将按同一频频率作简谐谐振动。§4多自由度体体系地震反反应分析2.振型的正交交性根据特征方程：分别对振型型i、j列出运动方方程：左式(a)两边乘以向向量{ϕj}的转置{ϕj}T，右式两边乘以以向量{ϕi}的转置{ϕi}T，则有：左式不变，，而对右式式进行转置置运算可得得8/180§4多自由度体体系地震反反应分析2.振型正交性对ωj≠ωi，则有：同时有：分别称为振型对质量量矩阵的正正交性和振振型对刚度度矩阵的正正交性。§4多自由度体体系地震反反应分析振型的两两两正交特性性说明它们们具备作为一类线线性空间基基底的基本本条件。事实上，由由振型向量量所张成的的线性空间间正是一般般动力反应应空间，在在这空间的的任一点表表示一个特特定的动力力反应，并并且这一点点的坐标值值可由关于于基底（振振型）的广广义坐标给给出。§4多自由度体系系地震反应分分析一般的多自由由度线弹性体体系，式(3-59)可写成如下形形式其中：----位移向量----广义坐标向量量----振型矩阵----为体系的第j个振型向量。。(3-60)§4多自由度体系系地震反应分分析利用振型关于于质量矩阵的的正交性及式式(3-60)，可以导出广广义坐标(qj(t))与一般位移(ui(t))反应的关系。。将式(3-60)两端分别前乘乘在水平地震运运动作用下，，多自由度弹弹性体系的运运动方程为：：将式(3-60)代入式(3-40)，并前乘振型型向量的转置置，，利用用振型向量对对质量矩阵、、阻尼矩阵和和刚度矩阵的的正交性，可可得：（3-40）（3-61）§4多自由度体系系地震反应分分析注意到，，，，上式可化成成其中称为第第j振型的振型参与系数数。利用单自由度体系的杜哈美美积分公式，，广义坐标可表示为假定定初始条件为为,（3-62）（3-63）（3-64a）§4多自由度体系系地震反应分分析可简记为其中式中，δj(t)—阻尼比和和自振频率分分别为ξj和ωj的单自由度弹弹性体系的位位移反应。（3-64b）（3-64c）第三章建筑筑结构抗震原理§1概述§2单自由度体系系地震反应分分析§3单自由度体系系水平地震作作用§4多自由度体系系地震反应分分析§5地震分析振型型分解反应谱谱法§6水平地震作用用的底部剪力力法§7考虑扭转的水水平地震作用用§8结构竖向地震作用用§9建筑结构抗震验算算§10结构自振周期期和频率的实实用计算方法法§11工程结构地震震反应的时程程分析方法§12地基与结构动动力相互作用用效应§5地震分析振型型分解反应谱谱法采用振型分解解法可求得体体系各质点的的位移、速度和绝对加速度度时程曲线，，但对于工程程实践而言，，振型分解法法还是较为复杂，且运用用不便。注意到工程抗抗震设计时仅仅关心各质点点反应的最大大值，给合单单自由度体系系的反应谱理理论，在振型型分解法的基基础上，可导导出更实用的的振型分解反应应谱法。§5地震分析振型型分解反应谱谱法思路：利用各振型相相互正交的特特性，将原来来耦联的微分分方程组变为为若干互相独独立的微分方方程，从而使使原来多自由由度体系的动动力计算变为为若干个单自自由度体系的的问题；求解：在求得了各单单自由度体系系的解后，再再将各个解进进行组合，从从而可求得多多自由度体系系的地震反应应。§5地震分析振型型分解反应谱谱法5.1水平地震作用的确定多自由度弹性性体系的水平平地震作用可可用各质点所所受惯性力来来代表，故质点i上的水平地震作用用为：可以证明：因此：其中称为i质点对应j振型的水平地地震作用。11.6181-0.618(3-67)§5地震分析振型型分解反应谱谱法根据前述反应谱的概念，由此可得，因此，结构的的水平地震作用用按下式计算：---体系j振型i质点水平地震震作用标准值值计算公式式中，Fji—j振型i质点的水平地地震作用；αj—相应于j振型自振频率率ωj和阻尼比ξj的水平地震影影响系数；Sja—相应于j振型自振频率率ωj和阻尼比ξj的水平向地震震加速度反应应谱值；(3-68)§5地震分析振型型分解反应谱谱法φji—j振型i质点的水平相对位移移；γj—j振型的参与系系数；Gi—集中于i质点的重力荷荷载代表值。。据此，结合抗震设计计规范给出的的设计反应谱Sa或α曲线，可方便地求求得对应于某某一振型各质质点的最大水水平地震作用用，再按照一一般的结构力力学原理，把把地震作用视视为静力荷载载，可求得对对应于各振型的地震震作用效应（弯矩、剪力力、轴力、位位移等）Sj。课堂堂讨讨论论：：由式式计计算算地地震震效效应应，，其其中中利用用单单自自由由度度模模型型计计算算出水水平平地地震震影影响响系系数数—αj，水水平平地地震震作作用用Fji是值值，，对对应应于于j单自自由由度度模模型型时时刻刻的的反反应应。。1、A.最大大值值；；B.第j模态态i质点点处处峰峰值值；；C.平均均值值；；D.第j单自自由由度度体体系系最最大大值值；；2、A.第j周期期Tj；B.任意意；；C.峰值值点点；；D.某特特定定；；§5地震震分分析析振振型型分分解解反反应应谱谱法法BC§5地震震分分析析振振型型分分解解反反应应谱谱法法5.2振型型组组合合方法法根据据前述述结构构在在任一一时时刻刻所受受的的地震震作作用用等等于于结结构构对对应应于于各各振振型型的的地地震震作作用用之之和和。应该该注注意意到到，，当某某一一振振型型的的地地震震作作用用达达到到最最大大值值时时，，其其余余各各振振型型的的地地震震作作用用不不一一定定也也达达到到最最大大值值，，因而而结结构构地地震震作作用用的的最最大大值值并并不不等等于于各各振振型型地地震震作作用用最大大值值之和和。因此此，，如如果果要要利利用用对对应应于于各各振振型型的的最最大大地地震震作作用用效效应应来来求求结结构构总总的的地地震震作作用用效效应应，，将将存存在在各振振型型最最大大反反应应如如何何组组合合的问问题题。。§5地震震分分析析振振型型分分解解反反应应谱谱法法假定定地震震地地面面运运动动为为平平稳稳随随机机过过程程，，根根据据随随机机振振动动理理论论可可知知，，结结构构总总的的地地震震作作用用效效应应S与各各振振型型的的地震震作作用用效效应应Sj的关关系系近近似似描描述述为：：即为为振型型组组合合公式式，，称称为为完全全二二次次项项组合合法法，，简简称称CQC法（CompleteQuadraticCombination）。式中中，S—水水平平地地震震作作用用效效应应；；m—参参与与组组合合的的振振型型数数，，可可取取3~5个个振振型型；；如结果果较较复复杂杂，，振振型型个个数数可可适适当当增增加加；；ρij—振振型型互互相相关关系系数数。。§5地震震分分析析振振型型分分解解反反应应谱谱法法一般般情情况况下下，，当任任意意两两个个振振型型频频率率之之比比大大于于2或小小于于0.5时，，可可以以不不考考虑虑振振型型之之间间的的相相关关性性。。此外外，，当阻阻尼尼比比ξ≤0.1时，，工工程程设设计计中中通通常常取取振振型型阻阻尼尼比比ξi=ξj=ξ，如如满满足足则可可以以认认为为ρij近似似为为零零，此此时时振振型型组组合合公公式式可可改改写写为为：：称为为“平平方方和和开开平平方方””法法，，简简称称SRSS法(SquareRootofSumofSquares)。§5地震震分分析析振振型型分分解解反反应应谱谱法法《建建筑筑抗抗震震设设计计规规范范》》规规定定，，结结构构的的水水平平地地震震作作用用效效应应（（弯弯矩矩、、剪剪力力、、轴轴向向力力和和变变形形））按按下式计计算算：：式中中，SEk—水平平地地震震作作用用标标准准值值的的效效应应；；Sj—j振型型水水平平地地震震作作用用标标准准值值的的效效应应。一般般可可取取2~3个振振型型,当基基本本自自振振周周期期T1>1.5s或房房屋屋高高宽宽比比大大于于5时，，振振型型个个数数可可适适当当增增加加。§5地震震分分析析振振型型分分解解反反应应谱谱法法总的的：：---体系系j振型型i质点点水水平平地地震震作作用用标标准准值值计计算算公公式式αj---相应应于于j振型型自自振振周周期期的的地地震震影影响响系系数数；；xji---j振型型i质点点的的水水平平相相对对位位移移；；γj---j振型型的的振振型型参参与与系系数数；；Gi---i质点点的的重重力力荷荷载载代代表表值值。。m1m2mi1振型地震作用标准值2振型j振型n振型地震震作作用用效效应应（弯弯矩矩、、位位移移等等））Sj--j振型地震震作用产产生的地地震效应应；m--选取振型型数一般只取2-3个振型，当基本自振周期大于1.5s或房屋高宽比大于5时，振型个数可适当增加。例：试用用振型分分解反应应谱法计计算图示示框架多多遇地震震时的层层间剪力力。抗震设防防烈度为为8度，Ⅱ类场地，，设计地地震分组组为第二二组。解：已知体系系的自振振周期和和振型（1）计算各各振型的的地震影影响系数数1.400.90(1.20)0.50(0.72)-----罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震9876地震影响烈度地震影响系数最大值（阻尼比为0.05）查表得地震特征周期分组的特征周期值（s）0.900.650.450.35第三组0.750.550.400.30第二组0.650.450.350.25第一组ⅣⅢⅡⅠ场地类别例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。（1）计算各振型的地震影响系数查表得第一振型型第二振型型第三振型型解：已知体系系的自振振周期和和振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。（1）计算各振型的地震影响系数（2）计算各各振型的的振型参参与系数数第一振型型第二振型型第三振型型解：已知体系系的自振振周期和和振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。（1）计算各振型的地震影响系数（2）计算各振型的振型参与系数（3）计算各各振型各各楼层的的水平地地震作用用第一振型型第一振型解：已知体系系的自振振周期和和振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。（1）计算各振型的地震影响系数（2）计算各振型的振型参与系数（3）计算各各振型各各楼层的的水平地地震作用用第一振型第二振型第二振型型解：已知体系系的自振振周期和和振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。（1）计算各振型的地震影响系数（2）计算各振型的振型参与系数（3）计算各各振型各各楼层的的水平地地震作用用第一振型第二振型第三振型型第三振型解：已知体系系的自振振周期和和振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。（1）计算各振型的地震影响系数（2）计算各振型的振型参与系数（3）计算各各振型各各楼层的的水平地地震作用用第一振型第二振型第三振型（4）计算各各振型的的地震作作用效应应（层间间剪力））第一振型型1振型解：已知体系系的自振振周期和和振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为8度，Ⅱ类