2022-2023学年福建省南平市职业高级中学高三数学理期末试题含解析

2022-2023学年福建省南平市职业高级中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数等于A．1+2i

B．1—2i

C．2+iD．2一i参考答案：D【知识点】复数的基本概念与运算L4=2-i【思路点拨】两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质进行准确化简运算．2.已知数列{an}是等比数列，且a2013+a2015=dx，则a2014（a2012+2a2014+a2016）的值为（）A．π2 B．2π C．π D．4π2参考答案：A【考点】等比数列的性质；定积分．【专题】等差数列与等比数列．【分析】求定积分可得a2013+a2015=π，由等比数列的性质变形可得a2014（a2012+2a2014+a2016）=（a2013+a2015）2，代值计算可得．【解答】解：由定积分的几何意义可得dx表示圆x2+y2=4在第一象限的图形的面积，即四分之一圆，故可得a2013+a2015=dx=×π×22=π，∴a2014（a2012+2a2014+a2016）=a2014?a2012+2a2014?a2014+a2014?a2016=+2a2013?a2015=（a2013+a2015）2=π2故选：A【点评】本题考查等比数列的性质，涉及定积分的求解，属中档题．3.已知直线l丄平面a，直线平面，则“”是“”的(A)充要条件

（B)必要条件

(C)充分条件

（D)既不充分又不必要条件参考答案：C略4.一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为的三条线段，则ab的最大值为

A．

B．

C．

D．3参考答案：C略5.已知三棱锥的主视图与俯视图如下图，俯视图是边长为2的正三角形，那么该三棱锥的左视图可能为（

）参考答案：B略6.对于任意x∈R，同时满足条件f（x）=f（﹣x）和f（x﹣π）=f（x）的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=sinxcosxC．f（x）=cosx D．f（x）=cos2x﹣sin2x参考答案：D考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：直接利用已知条件，判断函数的奇偶性，以及函数的周期性，然后判断选项即可．解答：解：对于任意x∈R，满足条件f（x）=f（﹣x），说明函数是偶函数，满足f（x﹣π）=f（x）的函数是周期为π的函数．对于A，不是偶函数，不正确；对于B，也不是偶函数，不正确；对于C，是偶函数，但是周期不是π，不正确；对于D，f（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，是偶函数，周期为：π，正确．故选：D．点评：本题考查抽象函数的奇偶性函数的周期性的应用，基本知识的考查．7.已知，，且，则的最大值是(

)A．3

B．3.5

C．4 D．4.5参考答案：C略8.函数的零点个数为（

）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：B略9.已知命题，命题，若命题“”是真命题，则实数的取值范围是A.

B.C.

D.参考答案：A由，得，所以.要使成立，则有，即，解得或.因为命题“”是真命题，则同时为真，即，即或，选A.10.复数

A.

B.

C.

0 D.

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知a=，则二项式的展开式中的常数项为

．参考答案：﹣672【考点】二项式系数的性质．【分析】==，则二项式即，利用通项公式即可得出．【解答】解：==×+=，则二项式即，通项公式Tr+1==（﹣1）r29﹣2rx9﹣3r，令9﹣3r=0，解得r=3．∴展开式中的常数项为：﹣23=﹣672．故答案为：﹣672．12.如果复数为纯虚数，那么实数的值为

参考答案：-213.对于数列{an}，若?m，n∈N*（m≠n），都有≥t（t为常数）成立，则称数列{an}具有性质P（t）．（1）若数列{an}的通项公式为an=2n，且具有性质P（t），则t的最大值为

；（2）若数列{an}的通项公式为an=n2﹣，且具有性质P（10），则实数a的取值范围是

．参考答案：2;[36，+∞）.【考点】数列与函数的综合．【专题】新定义；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可得≥0，即数列{2n﹣nt}单调递增，运用单调性的定义，计算即可得到t的最大值；（2）由题意可得≥10，即有≥0，即为数列{n2﹣10n﹣}为单调递增，由单调性即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意可得≥t恒成立，即有≥0，即数列{2n﹣nt}单调递增，即有2n+1﹣（n+1）t﹣（2n﹣nt）≥0，即t≤2n，由于2n的最小值为2，则t≤2．故t的最大值为2；（2）由题意可得≥10，即有≥0，即为数列{n2﹣10n﹣}为单调递增，即有（n+1）2﹣10（n+1）﹣﹣（n2﹣10n﹣）≥0，即为﹣a≤n（n+1）（2n﹣9），由f（n）=n（n+1）（2n﹣9，n=3时，取得最小值﹣36，则﹣a≤﹣36，即有a≥36．故答案为：2，[36，+∞）．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的单调性的判断和运用，考查运算能力，属于中档题．14.设不等式组表示的平面区域为M，则平面区域M的面积为；若点P（x，y）是平面区域内M的动点，则z=2x﹣y的最大值是． 参考答案：1,2.【考点】简单线性规划． 【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式． 【分析】由约束条件作出可行域，由三角形面积公式求得平面区域M的面积；化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 联立，解得A（1，1）， 联立，解得C（1，3）， 联立，解得B（2，2）， ∴平面区域M的面积为； 化z=2x﹣y，得y=2x﹣z，由图可知， 当直线y=2x﹣z过B时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2×2﹣2=2． 故答案为：1，2． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 15.已知全集U=R，集合A={x|x2+3x≥0}∪{x|2x＞1}，则CuA=．参考答案：（﹣3，0）略16.等差数列中，则该数列的通项公式_________..参考答案：【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2【答案解析】3n-5

∵等差数列{an}中，a5=10，a12=31，∴，

解得a1=-2，d=3，∴an=-2+3（n-1）=3n-5．故答案为：3n-5．【思路点拨】由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项和公差，由此能求出该数列的通项公式．17.执行如右图所示的程序框图，若输入的的值为10，则输出的

.参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别在三边AB、BC和CA上，D为AB的中点，．（1）当时，求的大小；（2）求的面积S的最小值及使得S取最小值时的值．参考答案：（1）（2）当时，S取最小值试题分析：本题主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，在中，，①，而在中，利用正弦定理，用表示，在中，利用正弦定理，用表示，代入到①式中，再利用两角和的正弦公式展开，解出，利用特殊角的三角函数值求角；第二问，将第一问得到的和代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦函数的有界性确定的最小值．试题解析：（1）在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得．由，得，整理得，所以．（2）＝．当时，取最小值．考点：1．正弦定理；2．两角和的正弦公式；3．倍角公式．【易错点晴】本题主要考查的是正弦定理、两角和的正弦公式、同角的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式和三角形的面积公式，解题时一定要注意对公式的正确使用，否则很容易失分．高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，期中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式．19.已知椭圆C:(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上一点，直线TA，TB的斜率之积为.（1）求椭圆C的方程；（2）设O为原点，过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求的取值范围.参考答案：（1）（2）20.（12分）如图，椭圆Q：（a>b>0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点（1）求点P的轨迹H的方程（2）在Q的方程中，令a2＝1＋cosq＋sinq，b2＝sinq（0<q￡

），确定q的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？参考答案：解析：如图，（1）设椭圆Q：（a>b>0）上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则1°当AB不垂直x轴时，x11x2，由（1）－（2）得b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0

\b2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3）2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）故所求点P的轨迹方程为：b2x2＋a2y2－b2cx＝0（2）因为，椭圆

Q右准线l方程是x＝，原点距l的距离为，由于c2＝a2－b2，a2＝1＋cosq＋sinq，b2＝sinq（0<q￡）则＝＝2sin（＋）当q＝时，上式达到最大值。此时a2＝2，b2＝1，c＝1，D（2，0），|DF|＝1设椭圆Q：上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），三角形ABD的面积S＝|y1|＋|y2|＝|y1－y2|设直线m的方程为x＝ky＋1，代入中，得（2＋k2）y2＋2ky－1＝0由韦达定理得y1＋y2＝，y1y2＝，4S2＝（y1－y2）2＝（y1＋y2）2－4y1y2＝令t＝k2＋131，得4S2＝，当t＝1，k＝0时取等号。因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大。21.已知函数 （1）当a=-3时，求函数的极值； （2）若函数的图像与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围。参考答案：

略22.（本小题满分12分）已知命题p：函数在内有且仅有一个