利用空间向量解立体几何(完全版)

向量法解立体几何引言立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。屋本思路与方法一、基本工具数量积：a-b=a|b|cos0射影公式：向量a在b上的射影为乜K直线Ax+By+C=0的法向量为（A,B），方向向量为（-B,A）平面的法向量（略）平行关系线线平行o两线的方向向量平行线面平行o线的方向向量与面的法向量垂直面面平行o两面的法向量平行垂直关系

线线垂直(共面与异面)O两线的方向向量垂直线面垂直O线与面的法向量平行垂直O两向的法向量垂直点P(点P(X,y,z)与Q(x1距离为2,y2,J的111|PQ|=\：（x一x）线线夹角(共面与异面)线线夹角o两线的方向向量的夹角或夹角的补角线面夹角+（y一y）2+（z-线线夹角(共面与异面)线线夹角o两线的方向向量的夹角或夹角的补角线面夹角212121点线距离求点P(x,y)到直线l:Ax+By+C=0的距离：00方法：在直线上取一点Q(x,y),贝。向量pQ在法向量n=(A,B)上的射影PQ*"1nA2+B2即为点p到l的距离.一3•点面距离求点P(X,y)到平面a的距离：00方法：在平面a上去点Q(x,y)，得向量pq,计算平面a的法向量n,计算PQ在a上的射影，即为点P至晒a的距离.

求线面夹角的步骤：①先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；②再求其余角，即是线面的夹角.面面夹角（二面角）若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.实例分析一、运用法向量求空间角向量法求空间两条异面直线a,b所成角0,只要在两条异面直线a,b上各任取一向量AA和BB'，则角<AABB'>=0或n-0,因为0是锐角，所以cos0二AA'•BB',不需要用法向量。1、运用法向量求直线和平面所成角|a^bb^-1、运用法向量求直线和平面所成角设平面a的法向量为n=（X,y,1）,则直线AB和平面a所成的角0的正弦值为sin©=cos(‘-0)=|cos<AB,n>|=2AB•nAB•n2用用法向量求二面角

设二面角的两个面的法向量为n,n，则<n,n>或n-<n,n>是所121212求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定<n,n>12是所求，还是n-<n,n>是所求角。一一一12二、运用法向量求空间距离1、求两条异面直线间的距离设异面直线a、b的公共法向量为n=（x,y,z），在a、b上任取一点A、B，则异面直线a、b的距离一d二AB・coszBAA'=1AB•n1InI略证：如图,EF为a、b的公垂线段,a'为过F与a平行的直►—►线，—A在a、b上任取一点A、B，过A作AA'纟EF,交a'于A'，则AA「//n，所以zBAA<BA,n>（或其补角）・••异面直线a、b的距离d=AB・coszBAA'=1AB•n1InI—►►—►其中，n的坐标可利用a、b上的任一向量a,b（或图中的AE,BF）,►―►及n的定义得-n丄n丄a〜n•a=0

nvn丄b[n•b=0解方程组可得no2、求点到面的距离求A点到平面a的距离，设平面a的法向量法为n=（x,y,1）,在a内任取一点B,则A点到平面a的距离为d=1AB•n1，n的坐标由n与InI平面a内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组(类似于前面所►—►述，若方程组无解贝步去向量与XOY平面平行此时可改设n=(1,y,o)，下同)。3、求直线到与直线平行的平面的距离求直线a到平面a的距离’设平面a的法向量法为n=(x,y,i),在直线a上任取一点A，在平面a内任取一点B，则直线a到平面a的距离d=1AB•n1InI4、求两平行平面的距离►―►设两个平行设平面a、B的公共法向量法为n=(x,y,1),在平面ap内各任取一点A、B，则平面a到平面p的距离d=1AB•n1_InI三、证明线面、面面的平行、垂直关系►—►设平面外的直线a和平面asp,两个面a、p的法向量为n,n，则a//aoa丄n1a//Pon//n1212a丄aoa//n1a丄Pon丄n一一12、应用举例：例1:如右下图，在长方体ABCD—A1B1C1D】中，已知AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1.求二面角C—DE—C］的正切值；⑵求直线EC】与FD］所成的余弦值.解：(I)以A为原点，ab,ad,AAi分别为X轴，y轴,Z轴的正向建

立空间直角坐标系，则D(O,3,O)、D则D(O,3,O)、D1(O,3,2)、E(3,O,O)、F(4,1,O)、于是，DE=(3,一3,0),EC=(1,3,2),FD=(一4,2,2)设法向量n=(x,y,2)与平面CtDE垂直，则有n丄DEn丄EC1n=(一1,-1,2),向量AA=(0,0,2)与平面CDE垂直，in与AA所成的角6为二面角C-DE-C的平面角TOC\o"1-5"\h\zii_cn•AA-1x0-1x0+2x2V6cos6=1==InIx|AAIV1+1+4xj0+0+43——►_162/.tan6=2(II)设EC1^FD1所成角为P，则EC•FD1x(-4)+3x2+2x211IECIxIFDI11J12+32+22xJ(-4)2+22+22cos卩=14.•.zEDB=3Oo,zBDC=6Oo,.・.zEDC=9Oo,14如图建立坐标系D-ECP，设AD=AB=1,则PF=FD=1,21,0)2P(0,0,1),E(应,O,O),B(iI1,0)222二PB=(,1,-1).PE=(I3,0,-1)/222平面PED的一个法向量为dc=(0,1,0)，设平面PAB的法向量为n=(x,y,1)由Jn丄PB由Jn丄PB»

In丄PE31—、(x,y,1)•(+巧，-D=0_n<(x,y,i)•,0,-1)=0迈x-1y-1=022逅x-1=0〔2n=Gz2•・•DC・n=0即DC丄n••平面PED丄平面PAB解：由(1)知：平面PAB的法向量为n=(A,0,1),设平面FAB的法向量为n1=(x,y,-1),由(1)知：F(0,0,1),fb=(应,1，-1几FE=(遛,0,22222―►-1几2一一由一一n丄FB1nn丄FB1n丄FE1(x,yT)•(孚刍-2)=0(x,y,-1)•,°,-—)-0L/31丄——x-—y+_222品丄10〔22x=nsy=0•4]=(吉,o,D•••二面角P-AB-F的平面角的余弦值cos9=|cos<n,n1>|iin•ni5/7

~T4~例3:在棱长为4的正方体ABCD-AfHF]中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC]上，且CC]=4CP.(I)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)；(口)设O点在平面D1AP上的射影是H求证:D]H丄AP;(皿)求点P到平面ABD1的距离.解:(I)如图建立坐标系D-ACD],•••棱长为4•••A(4,0,0),B(4,4,0),P(0,4,1)・・・AP=(-4,4,1),显然DC=(0,4,0)为平面BCC1B1的一个法向量••直线AP与平面BCC1B1所成的角6的正弦值sine二|cos<ap,DC>1=TOC\o"1-5"\h\z16_4预DC>1=<42+42+1•\：'4233•・・e为锐角，•直线AP与平面BCC.B.所成的角e为arcsin4/331133(皿)设平面ABD1的法向量为n=(x,y,1),•AB=(0,4,0),AD=(-4,0,4)1由n丄AB,n丄ad得<y_°•-n=(1/0/1),1[-4x+4_0・••点P到平面ABD］的距离d=3f2例4：在长、宽、高分别为2，2，3的长方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面中心，求Af与B1C的距离。解：如图，建立坐标系D-ACD1，则0（1，1，0）,A解：如图，建立坐标系D-ACD1，则0（1，1，0）,A1（2，2，3），C（0，2，0）••AO—(-1,1,-3)BC—(-2,0,-3)AB—(0,2,0)1111设A]O与B1C的公共法向量为n-(x,y,1),则n丄AO13Vn丄BC1(x，y,i)•(-1,1,-3)—03J-x+y-*3—0、(x,y,1)•(-2,0,-3)—03[-2x-3—03x—-23

y——2CiDC・•・z33“n—(—，7；，1)22・・・A1O与B1C的距离为33_3伍_"IFd—IAB•nI^-4—InI(020)•〔-3,3,1'22丿例5歪棱长为1的正方体ABCD-AF&D］中，E、F分别是B&、C1D1的中点，求\到面BDFE的距离。解：如图，建立坐标系D-ACD1，则B（1,1,0）ZA1（1,0,1),E(1，1，1)2・•・BD—(・•・BD—(-1,-1,0)BE—(-2,0,1)设面BDFE的法向量为n-(x,y,1)AB=(0,1,-1)1，则Bn丄BDn丄BE(x,y,l)•(-1,-1,0)=0—x—yn丄BDn丄BE(x,y,l)•(-1,-1,0)=0—x—y=01亠1(x,y,1)•(-2,0,1)二0-2x+1二0zIzx=2y=-2…n=(2,-2,1)A1到面BDFE的距离为—IAB•nI——1InIv；22+(-2)2+13五■课后练习：1、如图,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AB=1,AA]=2,点E为CC1中点，点F为BD】中点.(1)证明EF为BD】与CC1的公垂线；(2)求点D】到面BDE的距离.2、已知正方形ABCD，边长为1,过D作PD丄平面ABCD，且PD=1,E、F分别是AB和B