武汉大学线性代数3-1课件

第三章线性方程组向量组的秩及其极大线性无关组

矩阵的秩齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构非齐次线性方程组有解的条件及解的结构维向量及其线性相关定义1：数域F上的n个有次序的数所组成的有序数组称为数域F上的一个n维向量,其中称为第i个分量，

以后我们用小写希腊字母来代表向量。而用小写拉丁字母来代表数。维向量及其线性相关3.1维向量3.1.1分量全为零的向量称为零向量。向量组,

,…，称为矩阵A的行向量组．

反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.数域F上全体n元向量组成的集合，记为3.1.2向量的运算及性质定义

向量相等：如果和

是数域F上的两个n维向量，如果他们的对应分量都相等，即则称向量定义

向量的和：如果和

是数域F上的两个n维向量负向量：向量称为向量的负向量向量的差加法运算满足性质注：零向量和负向量是唯一的加法的逆运算是减法。线性运算：上述向量的加法及数乘运算称为向量的线性运算注：满足上述的运算称为线性运算。

(5)向量方程有唯一解两个特殊的子向量空间和称为平凡子空间例1：3维向量的全体是一个向量空间。的一个子向量空间。成的向量空间,是平面上所有向量全体构由xoy例2：RyxyxV},|)0,,({Î==a解：所以V是一个向量空间。例4：设a，b为两个已知的n维向量，判断集合是否为向量空间.（这个向量空间称为由向量a，b生成的向量空间）一般地，由向量组所生成的向量空间为记作保留方程组多余方程例5：求解非齐次线性方程组解：方程组（1）对应着向量组由此可抽象出定义：设是数域F上的n维向量组，

3.1.4线性组合与线性表示对P中的任何一组数向量称为向量组A的一个线性组合，若记作：则称向量是向量组A的线性组合（表示）称为这个线性组合的系数。例如：有所以，称是的线性组合，或可以由线性表示。定义：3.1.5线性相关,线性无关注意例7

讨论向量组的线性相关性。例8

设问能否由线性表示。3.1.6线性相关性的刻画

至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示

向量组线性相关定理1存在一组不全为零的数使证明：1）不妨设线性相关，于是例81）如果向量组中有一部分向量组线性相关，则整个向量组必线性相关。

2）如果向量组线性无关，则其任一部分向量组线性相也必线性无关。从而有一组不全为零的数使由定义知线性相关。所以如果向量组中有一部分向量组线性相关，则整个向量组必线性相关。2）用反证法，若任一部分组线性相关，则由1）知整体组线性相关，矛盾，故整体组无关，部分组必线性无关。线性方程组的向量表示（*）3.1.7线性相关性的判断.定理2

设向量组则向量组线性相关的充分必要条件是：以为系数列向量的齐次线性方程组有非零解，且它的一个非零解就是线性表示的一组不全为零的系数。有非零解，且它的一个非零解就是线性表示的一组不全为零的系数。推论2

n个n维向量线性无关的充分必要条件是它们构成的方阵的行列式不等于零推论3

n个n维向量线性相关的充分必要条件是它们构成的方阵的行列式等于零推论4：当m>n时，m个n维向量一定线性相关。证明：若向量组线性相关，则线性相关。若向量组线性无关，则方程组系数矩阵行列式故方程组有唯一非零解，故向量组线性相关，故线性相关。

则向量必能由向量组A线性表示，且表示式唯一.定理3向量组线性无关,而向量组线性相关,且所以可由线性表示。两式相减下面证明惟一性，设能由向量组线性表示，推论5则表示式唯一的充要条件是向量组线性无关。向量证明：充分性，由定理5即得必要性，由能由向量组线性表示向量故存在一组数使由表示式唯一性知：（1）又存在一组数使（2）（1）+（2）得故所以，向量组线性无关

则向量组，必线性无关。推论6向量组线性无关,而向量不能由向量组A线性表示，定理与推论都是重要的！例10:证明n维基本向量组线性无关.解:只有零解故线性无关。例11

判断向量组由故线性无关解：设数使得成立。即未知量为系数行列式齐次线性方程组有非零解，所以向量线性相关。向量对应分量不成比例，所以线性无关。例12:试讨论向量组及向量组的线性相关性.例13已知向量组线性无关,证明:用定义设只有零解.所以,证明：记由于方程组的前n个方程即是的n个方程。故的解一定是的解。由于线性无关，故方程组只有零解，从而也只有零解，因此也是线性无关的，反之，如果线性相关，即有非零解，则也有非零解，故线性相关。定理4如果一组n维向量线性无关，那么，将

这组向量各任意添加m个分量所得新（m+n维）向

量

组也线性无关；

如果线性相关，那么其各去掉相同

的若干个分量所得新向量组也线性相关。推论7

如果在数域P上的n维向量空间中，有n个向量线性无关，则中的任一向量都可由线性表示，且表法惟一。？定理咋这多哎！难！例14已知向量组线性相关，线性无关，

证明：1）可以由线性表示，2）不能由线性表示。证明：1）因为线性相关，线性无关，

故线性无关，所以可由线性表

示。所以可由线性表示。

故可由线性表示，故线性相关，与题设矛盾，所以不能由线性表示2）由1）知，可由线性表示，即存在一组

不全为零的数使

若可由线性表示，则存在一组不

全为零的数使：例15设A是n阶方阵，是n维列向量，如果证明：线性无关。证明：设是一组数，且（1）将（1）式两边同时左乘则此时有：（2）将（2）式两边同时左乘依次类推得：故（1）式只有在时才成立。所以线性无关。例16设向量线性无关，又

讨论向量组的线性相关性。解：设有数使（1）即由线性无关，故有：

（2）又所以（2）只有零解，所以线性无关。例17设1）问t为何值时，向量组线性相关；2）问t为何值时，向量组线性无关；3）当线性相关时，将表示为的线性组合。解：设有数使得即得：此方程组的系数行列式为：1）当t=5时，方程组有非零解，故线性相关；2）当t5时，方程组只有零解，故线性无关；3）当t=5时，向量组构成的矩阵为：

（1）故上例告诉我们：矩阵的行初等变换不改变列向量组的线性关系；矩阵的列初等变换不改变行向量组的线性关系。在求解向量线性组合时，可用上例方法求解，即将向量表成矩阵的列，对矩阵进行行初等变换，将矩阵变换成行最简形即可写出向量的线性组合。其理论证明后面给出。

由以上例题,你可得出什么结论?例18A是矩阵，B是矩阵，其中，若AB=I

证明：B的列向量组线性无关。证明：设其中是B的列向量。

若（1）式两边左乘A得：故只有当时，才有：（1）成立，所以线性无关，所以B的列向量线性无关。例19设A是n阶矩阵，是n维线性无关向量，证明A可逆的充分必要条件是线性无关。证明：必要性设A可逆，且（1）（1）式两边左乘由线性无关，故只有时（1）式才成立。所以线性无关。充分性若线性无关，故由所以A可逆。例20设A是n阶矩阵，是n