2020届二轮(理科数学) 三角函数与解三角形 专题卷(全国通用)

2020届二轮（理科数学）三角函数与解三角形专题卷（全国通用）1.已知函数f(x)＝sinx－2sin2(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最小值.解(1)因为f(x)＝sinx＋cosx－＝2sin－，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为0≤x≤，所以≤x＋≤π.当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值.所以f(x)在区间上的最小值为f＝－.

2.(2019·济南调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asinA＝4bsinB，ac＝(a2－b2－c2).(1)求cosA的值；(2)求sin(2B－A)的值.解(1)由asinA＝4bsinB，及＝，得a＝2b.由ac＝(a2－b2－c2)，及余弦定理，得cosA＝＝＝－.(2)由(1)，可得sinA＝，代入asinA＝4bsinB，得sinB＝＝.由(1)知，A为钝角，所以cosB＝＝.于是sin2B＝2sinBcosB＝，cos2B＝1－2sin2B＝，故sin(2B－A)＝sin2BcosA－cos2BsinA＝×－×＝－.3.已知函数f(x)＝sin2x－cos2x＋2sinxcosx(x∈R).(1)求f(x)的最小正周期；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝2，c＝5，cosB＝，求△ABC中线AD的长.解(1)f(x)＝－cos2x＋sin2x＝2sin.∴T＝＝π.∴函数f(x)的最小正周期为π.(2)由(1)知f(x)＝2sin，∵在△ABC中f(A)＝2，∴sin＝1，∴2A－＝，∴A＝.又cosB＝，∴sinB＝，∴sinC＝sin(A＋B)＝×＋×＝，在△ABC中，由正弦定理＝，得＝，∴a＝7，∴BD＝.在△ABD中，由余弦定理得，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcosB＝52＋－2×5××＝，因此△ABC的中线AD＝.4.(2018·湘中名校联考)已知函数f(x)＝cosx(cosx＋sinx).(1)求f(x)的最小值；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(C)＝1，S△ABC＝，c＝，求△ABC的周长.解(1)f(x)＝cosx(cosx＋sinx)＝cos2x＋sinxcosx＝＋sin2x＝＋sin.当sin＝－1时，f(x)取得最小值－.(2)f(C)＝＋sin＝1，∴sin＝，∵C∈(0，π)，2C＋∈，∴2C＋＝，∴C＝.∵S△ABC＝absinC＝，∴ab＝3.又(a＋b)2－2abcos＝7＋2ab，∴(a＋b)2＝16，即a＋b＝4，∴a＋b＋c＝4＋，故△ABC的周长为4＋.5.已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sinB，－)，n＝(cos2B，2－1)，B为锐角且m∥n.(1)求角B的大小；(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值.解(1)∵m∥n，∴2sinB＝－cos2B，∴sin2B＝－cos2B，即tan2B＝－.又∵B为锐角，∴2B∈(0，π)，∴2B＝，∴B＝.(2)∵B＝，b＝2，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得a2＋c2－ac－4＝0.又a2＋c2≥2ac，代入上式，得ac≤4，故S△ABC＝acsinB＝ac≤，当且仅当a＝c＝2时等号成立，即S△ABC的最大值为.6.(2019·上海徐汇区二模)已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足(a＋b＋c)(sinB＋sinC－sinA)＝bsinC.(1)求角A的大小；(2)设a＝，S为△ABC的面积，求S＋cosBcosC的最大值.解(1)∵(a＋b＋c)(sinB＋sinC－sinA)＝bsinC，∴根据正弦定理，知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝bc，即b2＋c2－a2＝－bc.∴由余弦定理，得cosA＝＝－.又A∈(0，π)，所以A＝π.(2)根据a＝，A＝π及正弦定理得＝＝＝＝2，∴b＝2sinB，c＝2sinC.∴S＝bcsinA＝×2sinB×