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2020届二轮(理科数学)三角函数与解三角形专题卷(全国通用)1.已知函数f(x)=sinx-2sin2(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最小值.解(1)因为f(x)=sinx+cosx-=2sin-,所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为0≤x≤,所以≤x+≤π.当x+=π,即x=时,f(x)取得最小值.所以f(x)在区间上的最小值为f=-.
2.(2019·济南调研)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=(a2-b2-c2).(1)求cosA的值;(2)求sin(2B-A)的值.解(1)由asinA=4bsinB,及=,得a=2b.由ac=(a2-b2-c2),及余弦定理,得cosA===-.(2)由(1),可得sinA=,代入asinA=4bsinB,得sinB==.由(1)知,A为钝角,所以cosB==.于是sin2B=2sinBcosB=,cos2B=1-2sin2B=,故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=×-×=-.3.已知函数f(x)=sin2x-cos2x+2sinxcosx(x∈R).(1)求f(x)的最小正周期;(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=2,c=5,cosB=,求△ABC中线AD的长.解(1)f(x)=-cos2x+sin2x=2sin.∴T==π.∴函数f(x)的最小正周期为π.(2)由(1)知f(x)=2sin,∵在△ABC中f(A)=2,∴sin=1,∴2A-=,∴A=.又cosB=,∴sinB=,∴sinC=sin(A+B)=×+×=,在△ABC中,由正弦定理=,得=,∴a=7,∴BD=.在△ABD中,由余弦定理得,AD2=AB2+BD2-2AB·BDcosB=52+-2×5××=,因此△ABC的中线AD=.4.(2018·湘中名校联考)已知函数f(x)=cosx(cosx+sinx).(1)求f(x)的最小值;(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若f(C)=1,S△ABC=,c=,求△ABC的周长.解(1)f(x)=cosx(cosx+sinx)=cos2x+sinxcosx=+sin2x=+sin.当sin=-1时,f(x)取得最小值-.(2)f(C)=+sin=1,∴sin=,∵C∈(0,π),2C+∈,∴2C+=,∴C=.∵S△ABC=absinC=,∴ab=3.又(a+b)2-2abcos=7+2ab,∴(a+b)2=16,即a+b=4,∴a+b+c=4+,故△ABC的周长为4+.5.已知△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(2sinB,-),n=(cos2B,2-1),B为锐角且m∥n.(1)求角B的大小;(2)如果b=2,求S△ABC的最大值.解(1)∵m∥n,∴2sinB=-cos2B,∴sin2B=-cos2B,即tan2B=-.又∵B为锐角,∴2B∈(0,π),∴2B=,∴B=.(2)∵B=,b=2,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得a2+c2-ac-4=0.又a2+c2≥2ac,代入上式,得ac≤4,故S△ABC=acsinB=ac≤,当且仅当a=c=2时等号成立,即S△ABC的最大值为.6.(2019·上海徐汇区二模)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,且满足(a+b+c)(sinB+sinC-sinA)=bsinC.(1)求角A的大小;(2)设a=,S为△ABC的面积,求S+cosBcosC的最大值.解(1)∵(a+b+c)(sinB+sinC-sinA)=bsinC,∴根据正弦定理,知(a+b+c)(b+c-a)=bc,即b2+c2-a2=-bc.∴由余弦定理,得cosA==-.又A∈(0,π),所以A=π.(2)根据a=,A=π及正弦定理得====2,∴b=2sinB,c=2sinC.∴S=bcsinA=×2sinB×
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