机械原理 第十章

第十章齿轮机构及其设计

1一个齿轮不同圆上的压力角和模数是否相同？是否都是标准值？

2为什么模数值要标准化？3标准为什么规定压力角为20°？

4如果齿轮的五个基本参数中，除模数以外其余四个基本参数都相同，齿轮的几何尺寸有何不同？

5确定蜗杆头数叼和蜗轮的齿数勺要考虑哪些问题？

6何谓蜗杆蜗轮机构的中间平面？在中间平面内，蜗杆蜗轮传动相当于什么传动？

7确定蜗杆直径系数W的目的是什么？堺的大小对蜗杆蜗轮机构有什么影响？它与蜗杆分度圆直径是什么关系？

8何谓圆锥齿轮的背锥和当量齿轮？引入背锥和当量齿轮的目的是什么？当量齿数如何计算？

9在直齿圆锥齿轮中何处为标准值？

10渐开线标准齿轮是指m、a、h*、c*均为标准值，且分度圆齿厚

a

等于齿槽宽的齿轮。

11渐开线直齿圆柱齿轮与齿条啮合时，其啮合角恒等于齿轮分度圆上的压力角。

12用标准齿条型刀具加工标准齿轮时，刀具的中线与轮坯的分度圆

之间作纯滚动。

一对渐开线圆柱齿轮传动，其节圆总是相切并作纯滚动，而两轮的中心距不一定等于两轮的分度圆半径之和。

一对渐开线标准直齿圆柱齿轮按标准中心距安装时，两轮的节圆分别与其分度圆重合。

15用同一把刀具加工m、z、«均相同的标准齿轮和变位齿轮，它们

的分度圆、基因和齿距均相等。

16正变位齿轮与标准齿轮比较其齿顶高增大，齿根高减小。

17要求一对外啮合渐开线直齿圆柱齿轮传动的中心距略小于标准中

心距，并保持无侧隙啮合，此时应采用负传动。

18斜齿圆柱齿轮的齿顶高和齿根高，无论从法面或端面来看都是

相同的。

19一对外啮合斜齿圆柱齿轮的正确啮合条件为m二m二m，

TOC\o"1-5"\h\z

n1n2

a=a=a，B>

nln212

20蜗杆的标准模数和标准压力角在轴面，蜗轮的标准模数和标准压力角在轴面。

21直齿锥齿轮的几何尺寸通常都以大端作为基准。

22渐开线直齿圆柱齿轮正确啮合的条件是：两齿轮的模数相等和压力角相等

一对平行轴斜齿圆柱齿轮的正确啮合条件是:两轮法面上的模数和压力角分别相等，螺旋角大小相等，方向相反（外啮合）或相同（内啮合），

一对直齿圆锥齿轮传动的正确啮合条件是两轮大端的模数和压力角相等

25蜗杆蜗轮传动的正确啮合条件是：其中间平面内蜗轮与蜗杆的模数和压力角分别相等，当两轴交错为90度时，还应使蜗杆的导程角等于涡轮螺旋角

26标准渐开线直齿圆锥齿轮的标准模数和压力角定义在大端。

27一对渐开线直齿圆柱齿轮啮合传动时，两轮的卫圆总是相切并相互作纯滚动的，而两轮的中心距不一定总等于两轮的分度—圆半径之和。

28共轭齿廓是指一对能满足齿廓啮合基本定律的齿廓。

29用齿条刀具加工标准齿轮时，齿轮分度圆与齿条中线相切，加

工变位齿轮时，中线与分度圆不相切。被加工的齿轮与齿条刀具相"啮合"时，齿轮节圆与分度圆重合

30有两个模数、压力角、齿顶高系数及齿数相等的直齿圆柱齿轮，

一个为标准齿轮1，另一个为正变位齿轮2,试比较这两个齿轮的下

列尺寸，哪一个较大、较小或相等:d=d；d<d；d=d；d<dblb2ala21^2flf2

s>s；s>sO

al——a212

31标准齿轮除模数和压力角为标准值外，还应当满足的条件是分度

圆上齿厚等于齿槽宽，即s二e

32斜齿轮在法面上具有标准模数和标准压力角。

33若两轴夹角为90度的渐开线直齿圆锥齿轮的齿数为Z=25,

1

Z=40，则两轮的分度圆锥角4=32度；爲=58度

2-

34一对直齿圆锥齿轮传动时的分度圆锥角应根据齿轮齿数和两轴

交角来决定。

35如图所示两对蜗杆传动中，（a）图蜗轮的转向为逆时针；（b）图蜗

杆的螺旋方向为右旋

（3）

35用标准齿条型刀具加工标准齿轮时，其刀具的线与轮坯圆之间做纯滚动；加工变位齿轮时，其刀具的线与轮坯的圆之间作纯滚动

2-(19+42)X5(舲-1)=3-mm

36已知一正常齿标准外啮合直齿圆柱齿轮传动：a-20。,m-5mm,z-19,z-42。试求其重合度£，并绘出单齿及双齿啮合区；如果

12a

将其中心距a加大直至刚好连续传动，试求：（1）啮合角a，；（2）两

轮的节圆半径k及X；（3）两分度圆之间的距离；（4）顶隙和侧隙。

12

解：（1）啮合区及重合度：

dzcosa19xcos20。

a

al

二arccos^bi二arccos—二arccos二26。14

dz+2h*19+2x1

TOC\o"1-5"\h\z

al1a

dzcosa42xcos20。

二arccos^b^二arccos—二arccos二31。16

dz+2h*42+2x1

a22a

1

£-[z(tana-tana)+z(tana-tana)]

a2兀1a12a1(*)

故£-丄[19(tan31°16‘-tana20。)+42(tan26。14'-tan20。)]-1.63

故a2兀

此传动的单齿及双齿啮合区如题10-2图解所示。

I0.阳內

a.S3AI

11\HI

/"1

'B±

（2）在刚好连续传动情况下:

a）啮合角

af:

刚好连续传动时，£=1,于是由式（*）得

a

a-arctan[(ztana+ztana一2兀)(z+z)]-

1a12a2^12

arctan[(19xtan31°46r+42xtan26。14'-2兀)(19+42)]-23.229。

b)

两分度圆的距离:

(z+z)m/cosa八=12(-1)cosa

3）两轮节圆直径:

cosa

d=zm

11cosaf

=19x5x

cos20。

cos23.229。

97.146

mm

7.cosaaclcos20c

d=zm=42x5x=214.743

22cosafcos23.229mm

o

顶隙:

c=m(c*+y)=5x(0.25+3.442)=4.692mm

侧隙：

5=p-(s1+s2)，而

p'=p叱=kx5xcos20=16.063

cosa'cos23.229mm

rf

s'=s"-2r'(inva'-inva)

1

=知-97"466的皿29。-inV20)=7"69mm

r1

=s亠-2r'(invaf-inva)r2

2

<1r\nQn

=十卞-217743x⑷皿29。-inV20)=6"25mm

故§=16・063-(7.169+6.125)=2・769mm

本题应注意，两标准齿轮在非标准中心距安装的情况下，其顶隙和侧隙的求解方法。

37标准渐开线直齿圆柱齿轮与齿条相啮合。已知它们的参数为:

a=20。，h*=1，c*=0.25，m=5mm，z=20。由于安装误差，齿条的分度a

线与齿轮的分度圆分离0.1mmo

（1）试求有安装误差时下列参数：

1）齿轮与齿条啮合时的节圆半径r，和啮合角&;

2）沿啮合线方向的法向间隙c。

n

（2）推导出计算重合度快的公式，并计算有安装误差时的重合度。

（1）由于齿轮与齿条啮合时，无论是否标准安装，其啮合角”恒等

于齿轮的分度圆压力角a，齿轮的节圆也恒与其分度圆重合，故有

a'=a=20

r'二r二兀m2=5k/2mm

（2）作题图（a）,可知：当有安装误差的齿条的分度线与齿轮的

分度圆分离为xm时，即xm=0.1mm，齿轮与齿条的齿廓接触点仍为K

点，而另一侧齿廓则产生齿侧间隙，且法向齿侧间隙c=Ka，过K点n

作另一侧齿廓平行线得Kb，则在直角三角形AKba中，ZKba=2a,故有

Ka=Kbsin2a

再作直角三角形AKCb,ZcKb=a,KC=xm=0.lmm，故有

Kb=K'c/cosa=xm/cosa

于是得

c=K'bsin2a=xmsin2a/cosa=2xmsina=2x0.1xsin20。=0.0684mm

n

（3）为了求重合度£=BB/p先求有安装误差时，齿条与齿轮的

a12b

实际啮合线的长度BB，即分别作齿轮齿顶圆和齿条齿顶线与其啮合

12

线的交点，得到B点和B点。由图可知

PB'=（h*m一xm）.'sina

2a'

BP=NB-NP=r（tana-tana）=

101bb

mzcosa(tana-tana)/2

a

BP=BP+pb'=mzcos(tana-tana)/2+(h*m一xm)/sina

TOC\o"1-5"\h\z

112aa

p=pcosa=^mcosab

BB

12

故e=p=z(tana-tana)/(2兀)+2(h*-x)/(兀sin2a)

baa

rmzcosa20xcos20

因为cosa=rm(z+2h*)20+2x1

aaa

故a=31.32。

a

x=0.02

e=20(tan31.32°-tan20°)/(2n)+2(1-0.02)/(nsin40°)=a

1.748

这里应注意，标准齿轮与齿条在有安装误差的情况下法向齿侧间隙的求解方法。

38一对标准安装的渐开线标准直齿圆柱齿轮外啮合传动，已知：a=100mm,z=20,z=30,a=20°,d=88mmo

12a1

试计算下列几何尺寸：

齿轮的模数m；

两轮的分度圆直径d,；

两轮的齿根圆直径d,d；

f1f2

两轮的基圆直径d,d；

blb2

顶隙c。

若安装中心距增至a=102mm，试问：

上述各值有无变化，如有应为多少？

两轮的节圆半径r、r和啮合角(为多少？

12

解题要点：

根据标准齿轮的几何尺寸计算公式，可求出题目所要求的量。

由于渐开线齿轮传动具有可分性，中心距加大后其传动比仍不变。但两节圆分别大于两分度圆，啮合角大于压力角，此时实际中心距a与啮合角“的关系为:a'cosa'=acosa。

解：(1)几何尺寸计算

模数m:

m=2a(z+z)=2x100)(20+30)=4mm

'12'

分度圆直径d,d:

12

d=mz=4x20=80mm

11

d=mz=4x30=120mm

22

两轮的齿根圆直径d,d:

TOC\o"1-5"\h\z

f1f2

d=d-2h=[80-2x4x(1+0.25)]=70mm

f11f

d=d一2h=[120一2x4x(1+0.25)]=110mm

f22f

基圆直径d,d:

b1b2

d=dcosa=80xcos20=75.175mm

b11。

d=dcosa=120xcos20=112.763mm

b22

顶隙c:

c=c*m=0.25X4=1mm

(2)安装中心距增至a^=102mm时，则有：

上述各值中，只顶隙一项有变化：c=(1+2)=3mm。

节圆半径r、r和啮合角”:

12

&=arccos(acosga')=arccos(100xcos20102)=22.888

TOC\o"1-5"\h\z

oo

r'=rcosa'=40.8mm

bl

r'=r/cosa'=61.2mm

b2'

39用齿条刀具加工一直齿圆柱齿轮。设已知被加工齿轮轮坯的角速度®]=5rad/s,刀具移动速度为0.375m/s,刀具的模数m=10mm,压力角a=20。(1)求被加工齿轮的齿数z；(2)若齿条分度线与被加工齿轮中心的距离为77mm,求被加工齿轮的分度圆齿厚；(3)若已知该齿轮与大齿轮2相啮合时的传动比i=4，当无齿侧间隙的准12

确安装时，中心距a=377mm,求这两个齿轮的节圆半径r',r'及其啮

12合角a'。

解：(1)由于用齿条刀具加工齿轮时，被加工齿轮的节圆与其分度圆

重合，且与刀具的节线做范成运动，则有

r3=u而r=mzdr1

11刀1r

故得z=2u刀：m3=2x375(10x15)=15

(2)因刀具安装的距离L=77mm,大于被加工齿轮的分度圆半径

r=75mm,则被加工齿轮为正变位，其变位置为

1

xm=L一r=77一75=2mm

1

得x=xmim=210=0.2

故被加工齿轮的分度圆齿厚为

s=(兀『2+2xtana)m=(兀‘2+2x0.2xtan20)x10=17.164mm

■o

（3）求两齿轮的节圆半径r；,r；及其啮合角/

由两齿轮的传动比i。和实际中心距af可知

12

z=iz=4x15=60

2121

•①r

I——1t=4f

12①r'即r'—4r'

2121

r'+r'—a—377mm

12

将上两式联立解得

r'=75.4mm

1

r'—301.6mm

2

两轮的标准中心距为

a—m（z+z）；2—10x（15+60）『2—375mm

12-'

由式acosa'—acosa可求得

cosa'—acosa.,a'—375xcos20/377—0.93471

'o

故得a'—20.819

o

40一对标准渐开线直齿圆柱齿轮，已知：m—4mm，a—20。，z1—25,z—35，h*—1，c*—0.25，安装中心距比标准中心距大2mm。试求：

2a

（1）中心距a'；

（2）啮合角a'；

（3）有无齿侧间隙？

（4）径向间隙c；

（5）实际啮合线长度BB。

12

⑴a—122mm；（2）a'—22。26'20"；（3）有侧隙；（4）BB-19.47mm。

12

41在渐开线标准外啮合齿轮传动中，m—4mm，z—19，z—40，

12

a—20。，h*—1。

a

（1）试作图注明理论啮合线长度NN，实际啮合线长度BB，齿

1212

轮2的齿廓工作段；

（2）在实际啮合线BB上，注明单对齿啮合区和双对齿啮合区，

12并从图上粗略等出重叠系数忆;

（3）若齿轮1的角速度20rad/s（转向自定），论求两齿廓接

£二1.65,u=0.714m/s，其方向沿啮合线而指向左下方。

a

42已知一对外啮合标准直齿圆柱齿轮，按标准中心距安装，齿轮的齿数z=19,z=42，模数m=5mm,分度圆压力角^二20。，齿顶高系

12

数h*=1

a

（1）作示意图算出理论啮合线，实际啮合线；

（2）导出重合度计算公式，并按所给参数计算重合度的值；

（3）说明重合度的物理意义，并根据计算结果，注明单对齿啮合区和双对齿啮合区。

43—对m=6mm,a=20。的标准渐开线直齿圆柱齿轮，在正确安装情况下，它们的齿顶正好通过对方的极限啮合点，且重合度£为1.39,试求这对齿轮的齿数及齿顶圆直径。

z=zu12,d=d=83.68mm。

12a1a2

44用直线齿廓齿条刀具以范成法加工渐开线齿轮。今已知刀具的模数m=3mm,a=20。,h*=1，并已知毛坯齿轮中心离刀具中心线（即a

分度线）的距离为21.7mm,且刀具线速度°=兀mm/s，毛坯齿轮角速度3=（兀;21）rad/s。试求：（1）毛坯齿轮齿数；（2）变位系数x；（3）判别齿轮是否根切。

解：（1）z=14；（2）x=0.233；（3）不会发生根切。

45一标准齿轮需要修复，其基本参数为：m=3mm,a=20。,h*=1,

a

c*=0.25,z=20,z=80。现要求中心距不变，而大齿轮的外径要减

12

小6mm。试问：

（1）能否来用等移距变位齿轮传动进行修复？

（2）计算修复后该对齿轮的几何尺寸及重叠系数。

TOC\o"1-5"\h\z

解：可用。£=1.37,d=72mm,d=240mm,d=58.5mm,d=226.5mm。a1a2f1f2

46如图所示轮系，已知各齿轮齿数分别为z=20,z=14,z=13,

123

z=20,z=16,z=32,各齿轮模数和压力角均为m=2mm,a=20。。

456

试问：(1)为使各齿轮加工时不产生根切，应如何选择该轮系中三对齿轮1与2,3与4和5与6的传动类型？(2)该轮系的传动比116=？

16

解：⑴轮1、2采用等变位传动；轮3、

.2

4采用正传动；(2)磊r。

47用齿条刀具加工齿轮，刀具的参数如下：m=2mm，=20，H*=1，

A

C*二0.25，刀具移动的速度u刀二7.6mm/s，齿轮毛坯的角速度0.2rad/s，毛坯中心到刀具中线的距离L=40mm。试求：(1)被加工齿轮的齿数；(2)变位系数x；(3)齿根圆半径打;(4)基圆半径。

b

解题要点：

用齿条刀具范成齿轮时的运动条件为：u刀二创，它直接关系到被加工齿轮的齿数。

用齿条刀具范成齿轮时的位置条件为：L=r+xm,它直接关系到被加工齿轮的变位系数。

解：(1)齿数z

u=ro=mz①''2

刀

z=2u/mo=2x7.6(2x0.2)=38

变位系数x

r=mzi2=2x382=38mm

x=(L-r”m=(40-38)..'2=1

齿根圆半径r

/

r=r—(h*+c*—x)m=38—(1+0.25—l)x2=37.5mm

fa

基圆半径rb

b

r=rcosa=38xcos20=35.708mm

b

48已知渐开线直齿圆柱齿轮z=17,

z=33,z=34,m=2mm?a=20?h*=1,

32ac*=0.25，齿轮1和3是一对标准齿轮。今以齿轮1为公共滑移齿轮(如题10-17图所示),试计算齿轮2的变位系数x。

2(注意：inva=tana—a)

解题要点：a)齿轮1、2的实际中心距

a=a。b)齿轮1、3为一对标准齿轮，则x=0。

TOC\o"1-5"\h\z

12131

解：a=m(z+z).2=2x(17+33).」2=50mm

1313'

a=m(z+z)；2=2x(17+34).''2=51mm

1212■'

a=a=50mm

1213

aI=arccos(^cos20/a^)=arccos(51cos20/50)=16.57

(z+z)/./.、

x+x=12(inva—inva)

22tana12丿(已知x1=0)

x=(17+34)(inv16.57—inv20)=—0.4597

2tan20

o

49某机器上有一对标准安装的外啮合渐开线标准直齿圆柱齿轮机构‘

已知：z=20,z=40,m=4mm,h*=1。为了提高传动的平稳性，

12a

用一对标准斜齿圆柱齿轮来替代，并保持原中心距、模数(法面)、传动比不变，要求螺旋角卩＜20。试设计这对斜齿圆柱齿轮的齿数z、1z和螺旋角卩，并计算小齿轮的齿顶圆直径d和当量齿数z。

2a1U1

解题要点：

a)根据已知条件，可求出直齿轮传动的中心距。

b)在保持原中心距、模数、传动比不变的条件下，由螺旋角p<20求出齿数。

解：(

’确定z1、&和卩

由a=2C0Sp(zi+z2)=2C0Tp(zi+2Z1)=品=120mm

得cos卩=2o，z<20(且必须为整数)

fz=19,18,17

'2

当z=19,z=38时•:…p=18.195

12。

当z