数字电路课件1-7章-第2逻辑代数基础

表2.1完全对立的状态与逻辑变量的取值相对应现实生活中完全对立的

状态的实例逻辑变量

X

取值所代表的具体含义01速度的“快”与“慢”“慢”（小于100

公里/小时）“快”（大于200

公里/小时）面积的“大”与“小”“小”（小于

10

平方米）“大”（大于

20

平方米）人类行为的“非”与“是”“非”“是”某件事情的“真”与“假”“假”“真”信号的“有”与“无”“无”“有”开关的“断”与“通”“断”“通”灯泡的“灭”与“亮”“灭”“亮”电位的“高”与“低”“低”“高”电容器的“放电”与“充电”“放电”“充电”晶体三极管的“截止”与“导通”“导通”“截止”理工大学信息科学学院2021年1122.1.2

布尔代数“逻辑代数”是十九世纪的英国数学家乔治·布尔(Ge

e

Boole)在1847年首先创立的。这是一种仅使用数值“1”和“0”的代数。注意，这里的

“1”和“0”并不代表数量的大小，而是表示完全对立的两个着的方面。正是由于布尔构造出了二值代数系统，所以很多教科书上又把逻辑代数称作“布尔代数”(Boole

gebra)。布尔代数在创建的初期仅仅是应用于研究概率的问题，由于时代和生产力水平的限制，当时的人们并没有认识到这一代数理论的巨大应用前景。理工大学信息科学学院2021年113贝尔的科学家克劳迪·香农(Claude

Shannon)于1938年写出了他那具有

性的开关电路的一种符号分析》（“A

Symbolic《继电器和ysisof

Relay

and

Switching

Circuits”）时，人们才真正认识到布尔代数的实用价值。香农把布尔代数应用到开关电路的分析和设计上，所以还有一些教课书上把“布尔代数”叫做“开关代数”（SwitchingAlgebra）。理工大学信息科学学院2021年114§2.2

逻辑变量和逻辑函数2.2.1

基本的逻辑运算和逻辑变量所谓逻辑就是指事物的因果之间所应遵循的规律,最基本的逻辑关系可以归纳为“与”逻辑、“或”逻辑和“非”逻辑三种逻辑运算。A

BF“与”逻辑示意图“与”逻辑开关A、B是串联相接的，只有当两个开关A、B全都闭合时，灯泡

F

才

~能点亮。理工大学信息科学学院2021年115“或”逻辑示意图2.“或”逻辑决定某个事件的所有条件全都具备时，这个事件才会发生的因果关系定义为“与”逻辑。开关A、B是并联相接的，所以只要两个开关A、B中有任何一个开关闭合、或者是二者全都闭合时，灯泡F就能点亮。决定某个事件的所有条件中只要有任意一个条件具备、或者是某几个条件同时具备、或者是全都具备时，这个事件就会发生的因果关系定义为“或”逻辑。理工大学信息科学学院2021年116“非”逻辑示意图ARF3.“非”逻辑当开关A闭合时灯泡F是熄灭的，而在开关A断开时，灯泡F才能点亮。事件的发生与否和决定这个事件的条件是否具备的状态刚好相反的因果关系定义为“非”逻辑。逻辑变量一个变量X如果仅有两个可能的取值“0”或“1”，则称这种仅有0、1两个取值的变量为逻辑变量（以后简称为变量）。理工大学信息科学学院2021年117状态实例都用可把表2.1所列举的那些完全对立的一个逻辑变量来描述。理工大学信息科学学院2021年118表2.1完全对立的状态与逻辑变量的取值相对应现实生活中完全对立的

状态的实例逻辑变量

X

取值所代表的具体含义01速度的“快”与“慢”“慢”（小于100

公里/小时）“快”（大于200

公里/小时）面积的“大”与“小”“小”（小于10

平方米）“大”（大于20

平方米）人类行为的“非”与“是”“非”“是”某件事情的“真”与“假”“假”“真”信号的“有”与“无”“无”“有”开关的“断”与“通”“断”“通”灯泡的“灭”与“亮”“灭”“亮”电位的“高”与“低”“低”“高”电容器的“放电”与“充电”“放电”“充电”晶体三极管的“截止”与“导通”“导通”“截止”理工大学信息科学学院2021年119“0”

。这种反映因果逻辑关系的表叫做真值表。表2.1中对立的状态与逻辑变量取值的对应关系完全是人为定义的。可以把表中“0”和“1”的位置对调一下而不失所述问题的合理性和一般性。对开关的“闭合”与“断开”、灯泡的“点亮”与“熄灭”作如下的逻辑规定：开关A、B的“闭合”作为逻辑“1”，“断开”作为逻辑“灯泡0”F。的“点亮”作为逻辑“1”，“熄灭”作为逻辑与逻辑ABF000010100111或逻辑 非逻辑ABF000011101111AF0110理工大学信息科学学院2021年1110真值表的结构特点：真值表的左栏列出的是表示条件的逻辑变量以及这些变量取值的所有可能的组合。真值表的右栏填入的是表示事件的逻辑变量以及它对应于各条件变量取值的逻辑运算结果。与逻辑ABF000010100111或逻辑ABF000011101111非逻辑AF0110理工大学信息科学学院2021年1111最基本的逻辑是“与”、“或”、“非”，与之相对应的也有三种基本的逻辑运算。逻辑运算：1.“与”运算（逻辑乘法）F

=A•B“A•B”叫做逻辑表达式，它表示逻辑变量A和B做“与”运算（也叫逻辑乘法运算）。运算符号“•”叫做“与”运算符。其他形式的“与”运算符有：“∧”、“∩”和“&”。ABF000010100111理工大学信息科学学院2021年11122021年11理工大学信息科学学院13

采用符号“•”作为“与”运算符，有时干脆省去

“•”而把F=A•B

写成F=AB。“与”运算的含义是：只有当A、B全为“1”时，F

才为“1”；A、B中只要有一个为“0”或者二者都为“0”时，F

就为“0”。“与”运算的规则就是：0•0=0，0•1=0，1•0=0，1•1=1。“与”运算规则与普通乘法的规律相同，但是含义却不同。理工大学信息科学学院2021年11

142.“或”运算（逻辑加法）F

=A+B“A+B”也是逻辑表达式，它表示逻辑变量A和B做“或”运算(也叫逻辑加法运算运算)。符号“+”叫做“或”运算符。其他形式的“或”运算符有：“∨”、“∪”和“|”。采用符号“+”作为“或”运算符。“或”运算的含义是：A和B当中只要有一个为“1”或者全为“1”时，F就为“1”；只有当A、B全为“0”时，F才为“0”。或逻辑ABF0000111011112021年11理工大学信息科学学院15“或”运算的规则是：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1

。“或”运算规则的前3条与普通加法的规律相同，但是含义不同。“或”运算规则的最后1条与普通加法的规律在形式上和含义上均不相同。在这里，1+1≠2，且1+1≠(10)２。要注意：逻辑运算不是数值运算，逻辑运算是因果关系的逻辑判断。3.“非”运算上式表示逻辑变量F和A的取值相反，即A为“0”时F为“1”；而A为“1”时F为F

A““非0””。运算的运算规则就是：0

1,1

0读作“A非”或者“A“非”运算是算术里所没有的。A反”，有时也把“非”运算叫做求“补”运A算，而把读作在“逻A补辑”代。数中，只有“与”运算、“或”运算和“非”运算这三种基本逻辑运算，没有其他的运算。逻辑变量的取值也只有“1”和“0”两种，而不能有其他的取值。这些是和普通代数不同的。非逻辑AF0110理工大学信息科学学院2021年1116在逻辑代数中也有逻辑运算的前、后优先次序：单变量上的“非”运算优先级最高。“与”运算（逻辑“乘”）要优先于“或”运算（逻辑括“弧加“”（）。）”内的运算要优先于括弧外的运算。例如：(A

B)

C

的运算顺序是：先做B

，再做A+B

，最后再将所得结果与变量C相“与”。多变量上的“非”运算相当于加括弧。例如：A

B

C

就相当于(A

B)

C

。理工大学信息科学学院2021年1117“与”、“或”、“非”这三种基本逻辑运算可分别由“与”门、“或”门和“非”门三种基本的逻辑门电路来实现。这三种基本门电路的逻辑符号如下所示

：基本门电路的逻辑符号ABFABF

A

F“与门”“或门”“非门”理工大学信息科学学院2021年11182.2.2

逻辑函数如果把“与”、“或”、“非”这三种基本逻辑运算组一个较为复杂的逻辑表达式，再把该逻辑表达式的运算结果（只能是“0”或“1”）赋予另一个逻辑变量，比如说F，于是就构成了一个逻辑函数。例如：F

A

B

C

D其中A、B、C、D叫做逻辑自变量，A

B

C

D

叫做逻辑表达式。F叫做逻辑因变量，即：逻辑函数。F是逻辑自变量A、B、C、D的逻辑函数。理工大学信息科学学院2021年1119无论是逻辑自变量的定义域还是逻辑函数的值域都只能是“0”或“1”而不能是其它的取值。逻辑函数F

A

B

C

D

是一个四变量的逻辑函数，可以抽象地记为：F

f

(

A,

B,C,

D)四变量逻辑函数的四个变量A、B、C、D的取值组合总共有十六组（0000至1111）。对于A、B、C、D四个变量的十六组取值都有一个确定的F取值（只能是“0”或“1”）与之对应。逻辑函数和逻辑表达式与普通函数和算术表达式，有着本质的区别。理工大学信息科学学院2021年1120一般的多变量逻辑函数可以记为：F

f

(

A,

B,C,

)三种基本逻辑运算,即：F

A

B;就是三个最基本的逻辑函数。前两个是两变量逻辑函数；而最后一个是单变量逻辑函数。逻辑函数有时也被称作开关函数。逻辑函数的相等：若两个逻辑函数F和G的输入变量相同，而且对于任意的一组变量取值都有相同的函数值，则这两个函数相等，记作：F=G。换句话说，就是 的两个逻辑函数，只要它们的真值表相同，则彼此相等。F

A

B;

F

A2021年11理工大学信息科学学院21楼梯照明电路真值表ABF001010100111任何一个逻辑操作的过程，都可用一个具有若干个逻辑变量的逻辑函数来描述，并可用一个与此函数相对应的逻辑电路来实现。先看一个例子。LK下K上~220V楼梯照明电路原理图用逻辑变量F代表电灯L，并规定F=1表示灯亮，而F=0则表示灯灭；再用逻辑变量A、B分别表示两个开关K上、K下的位置，并规定“1”表示向上扳，而“0”表示向下扳。F

A

B

A

B理工大学信息科学学院2021年1122A、B叫做输入逻辑变量；F叫做输出逻辑变量。A、B也叫逻辑自变量，而F也叫逻辑因变量或逻辑函数。逻辑函数和真值表各自都能完全地描述一个逻辑操作的过程。一个逻辑函数对应了一张真值表；而一张真值表也对应了一个（或若干个）逻辑函数。通常是把输入逻辑变量(逻辑自变量)列在真值表的左边；而把输出逻辑变量(逻辑函数)列在真值表的右边。逻辑函数F

A

B

A

B

叫做“同或”逻辑函数。其特点是：当A、B相同时，函数F为“1”，否则F为“0”。2021年11理工大学信息科学学院232.2.3

逻辑函数与逻辑电路的关系逻辑函数和逻辑电路是相互对应的。逻辑函数可以由逻辑电路来实现；而逻辑电路也可以由逻辑函数来描述。例如，上一节所提到的“同或”逻辑函F

A

B

A

B数就可以用下面的逻辑电路来实现它。ABF“同或”逻辑电路理工大学信息科学学院2021年1124反之，如果给出一个逻辑电路，就可以根据这个逻辑电路写出用于描述该逻辑电路输入信号（变量）和输出信号（变量）之间关系的逻辑函数。例如，给出下面的逻辑电路图FAB“异或”逻辑电路可以写出描述该电路输出信号F与输入信号A、B之间关系的逻辑函数表达式为：F

A

B

A

B理工大学信息科学学院2021年11252021年11理工大学信息科学学院26逻辑函数

F

A

B

A

B

叫做“异或”逻辑函数。其特点是：当A、B相异时，函数F为“1”，否则F为“0”。§2.3

逻辑代数的基本运算规律2.3.1

逻辑代数的基本定律1.逻辑代数公理逻辑代数公理（或者叫基本原理）是整个逻辑代数系统的基石，以这些公理为出发点，可以证明所有逻辑代数系统中的各种定律和定理。逻辑代数公理实际上是逻辑常数“1”和“0”的基本运算规则。这些运算规则可直接由“与”、“或”和

“非”的运算定义得出。这些公理归纳于下表：表2.6逻辑运算公理“与”（A1）

0

0

0（A2）

0

1

1

0

0（A3）11

1“或”（A1＇）1

1

（A2＇）

0

1

（A3＇）0

0

1100*

1“非”（A4）

0

1（A4＇）1

0*理工大学信息科学学院2021年1127根据逻辑代数的公理，可以推导出逻辑代数运算的一些基本定律。下表给出了这些基本定律。表2.7逻辑代数基本定律名称公

式类别0-1律1.

A

0

01.’

A

1

1*常量和自等律2.

A

1

A2.’

A

0

A变量间互补律3.

A

A

0*3.’

A

A

1*的等式交换律结合律A B

B

A(

A

B)

C

A

(B

C)’

A

B

B

A’

(

A

B)

C

A

(B

C)类似普通变量间的等式分配律6.

A

(B

C)

A

B

A

C6.’

A

B

C

(

A

B)(

A

C)

*代数律反演律(狄·摩根定理)还原律7.

A

A

A*7.’

A

A

A*逻辑8.

A

B

A

B*8.’

A

B

A

B*代数所特9.

A

A*有2.逻辑代数的基本运算规律理工大学信息科学学院2021年1128表2.8证明反演律真值表（1）表2.9证明反演律真值表（2）ABA

BA

B0011011110111100ABA

BA

B0011010010001100证明上表所示基本定律的最有效的方法就是使用真值表，即，分别作出等式两边逻辑表达式的真值表，然后检验其结果是否相同。例如：证明上表中的反演律。为此分别作出两个等式的等号两边逻辑表达式的真值表，如表2.8和表2.9所示。理工大学信息科学学院2021年11292021年11理工大学信息科学学院30从表2.8和表2.9知：A

B

A

B,A

B

A

B这就是著名的狄·摩根(De·M an)定理。在逻辑代数的运算中经常会用到狄·摩根定理，它是一个非常重要的定理。也可以用代数的方法来证明表2.7所列出的逻辑代数基本定律。例如：可以用摩根定理、还原律和分配律的6号公式去证明分配律的6＇号公式。证明过程如下：（还原律）（摩根定理）（分配律6号）（摩根定理）A

B

C

A

B

C

A

B

C

A

(

B

C

)

A

B

A

CA

B

A

C

(

A

B

)(

A

C

)作业1：2-8，2-9的（1）、（2）、（3）、（8）、（9）2.3.2

三个重要规则1.代入规则任何一个逻辑等式，如果将等式两边所出现的同一个逻辑变量都代之以同一个逻辑函数，则该逻辑等式仍然成立，这就是代入规则。代入规则也叫代入定理。（还原律）

(

A

B

)(

A

C

)理工大学信息科学学院2021年1131(结合律,摩根定理)(结合律,摩根定理)A

(C

D)

A

C

D

A

C

D

A

C

D这就是三个变量的摩根定理。同理可以证明n个变量的摩根定理，即：A1

A2

A3

An

1

An

A1

A2

A3

An

1

AnA1

A2

A3

An

1

An

A1

A2

A3

An

1

An例如:摩根定理是A

B

A

B,

A

B

A

B再令：B

C

D

代入后一个等式，于是得到：现在令：B

C

D代入前一个等式；A

(C

D)

A

C

D

A

C

D

A

C

D理工大学信息科学学院2021年1132理工大学信息科学学院2021年11

332.

反演规则若两个逻辑函数F和G的输入变量相同，而且F和G对于任意的一组输入变量取值都有相反的函数值，则称这两个函数互反（或叫互补），记作：F

G

或G

F

。反演规则的内容如下：对于任意的逻辑函数F，如果对其表达式做下述三种变换：把原表达式中所有的“·”运算符换成“+”运算符，同时把所有的“+”运算符换成“·”运算符；把原表达式中所有的逻辑常量“0”换成逻辑常量“1”，而把所有的逻辑常量“1”换成逻辑常量“0”；34把原表达式中所有的原变量换成反变量，再把所有的反变量换成原变量。例如：则若

F

A

(

B

C

1)

则F

(

A

B

)(

C

D)F

A

B (

C

0)

A

B

C反演规则实际上是反演律（摩根定理）在求逻辑函数F的反（补）函数时的一种推广。它提供了一种可以由逻辑函数F的表达式（较复杂时）直接求出其反（补）函数的方法。例如：FA

B

C

D

E可直接写出：

F

A（

B

C

D

E）2021年11

理工大学

信息科学学院F

A

B

C

D若在运用反演规则时必须注意以下两点：绝对不能打乱原表达式的运算顺序；例如：则F

(A

B)

C

1不属于单变量上的非号应保持不变。例如：则若F

A

B

C

0而

F

A

B

C

1若

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

EF是F

的反函数，F

也是F

的反函数。F和F

互为反函数。2021年11理工大学信息科学学院353.

对偶规则对偶式的概念：对于任意的逻辑函数F，如果对其表达式做下述三种变换：把原表达式中所有的“·”运算符换成“+”运算符，同时把所有的“+”运算符换成“·

”运算符；把原表达式中所有的逻辑常量“0”换成逻辑常量“1”，而把所有的逻辑常量“1”换成逻辑常量“0”；原表达式中所有的原变量和反变量均保持不变。则由此所得到的新逻辑表达式就是原逻辑函数F表达式的对偶式（对偶函数），记作：F＇。理工大学信息科学学院2021年1136理工大学信息科学学院2021年11

37例如：若：FA

B

C

D若：F

A(B

C

1)若：F

A

B

C若：F

A则：F

(

A

B

)(

C

D

)则：F

A

B (

C

0)

A

B

C则：F

A

B

C则：F

AF＇是F

的对偶式，F

也是F＇的对偶式。F和F＇互为对偶式。在求一个函数表达式的对偶式时也不能打乱原表达式的运算顺序。在一般情况下

F

F

。2021年11理工大学信息科学学院38如果两个函数相等，则它们的对偶函数（对偶式）也相等。即：若F

G

则

F

G

。表2.7所列出的基本定律中，右边带撇的标号所对应的公式两边的表达式，都是左边不带撇的标号所对应的公式两边表达式的对偶式。运用对偶规则，使需要 和证明的公式数量减少一半。对偶规则给简化和变换逻辑函数带来方便。对偶规则：2021年11理工大学信息科学学院392.3.3

逻辑代数的基本定理表

2.10 逻辑代数基本定理名

称公式合并定理1.

AB

AB

A1.＇

(

A

B)(

A

B

)

A吸收定理A

AB

AA

AB

A

B＇

A(

A

B)

A＇

A(

A

B)

AB添加项定理AB

AC

BC

AB

ACAB

AC

BCD

AB

AC＇

(

A

B)(

A

C)(B

C)

(

A

B)(

A

C

)＇

(

A

B)(

A

C)(B

C

D)

(

A

B)(

A

C

)6.

AB

AAA6.＇

(

A

B)(

A

C)

(

A

B

)(

A

C

)2021年11理工大学信息科学学院40证明表2.10所列出定理的最根本方法就是利用真值表。也可以利用逻辑代数的方法证明表2.10所列出的各定理。在利用逻辑代数的方法证明表2.10中各定理时要用到逻辑代数的公理、基本定律、已获证明的其他定理和三个重要规则。（1）证明“合并定理”公式1：证明：AB

AB

A(B

B)

A1

A（分配律）（互补律）（自等律）（2）证明“吸收定理”的公式2：证明：A

AB

A(1

B)

A1

A（自等律、分配律）（0-1律）（自等律）（吸收定理公式2）（分配律）（互补律）（自等律）（3）证明“吸收定理”的公式3：证明：A

AB

A

AB

AB

A

(A

A)B

A

1

B

A

B理工大学信息科学学院2021年1141（4）证明“添加项定理”的公式4：(分配律)(分配律)证明：AB

AC

BC

AB

AC

(A

A)BC(互补律、自等律)

AB

AC

ABC

ABC

(AB

ABC)

(AC

ABC)(交换律、结合律)

AB(1

C

)

AC(1

B)

AB

AC(0-1律、自等律)理工大学信息科学学院2021年1142(摩根定理)(摩根定理)(还原律)(分配律)(互补律)(自等律)(添加项定理)（5）证明表2.10的公式6：证明：AB

AC

AB

AC

(

A

B

)(A

C

)

(A

B)(A

C

)

AA

AB

AC

BC

0

AB

AC

BC

AB

AC

BC

AB

AC将“对偶规则”分别运用于表2.10中的公式1~公式6就可以分别证明表2.10中的公式1＇~公式6＇。理工大学信息科学学院2021年11432021年11理工大学信息科学学院44作业2：2-9的（4）、（5）、（6）、（7），2-10，2-112.3.4

复合逻辑运算和复合逻辑门复合逻辑运算就是将三种基本逻辑运算——“与”、

“或”、“非”按某种形式进行简单地组合所构成的一种新的逻辑运算。用于实现这些复合逻辑运算的逻辑门电路，就叫做复合逻辑门，简称复合门。1.“与非”、“或非”、“与或非”•运“算与非”运算就是“与”运算和“非”运算的组合。用逻辑函数表示就F

是

：A

BA

BF“与非”门逻辑符号理工大学信息科学学院2021年1145“或非”运算就是“或”运算和“非”运算的组合。用逻辑函数表示F就是A：

B“或非”门逻辑符号BC

DFA

BF“与或非”运算就是“与”运算、“或”运算和“非”运算的组合。用逻辑函数表示F

就

是A：B

C

DA

“或非”门逻辑符号理工大学信息科学学院2021年1146理工大学信息科学学院2021年11

47两变量

“异或”真值表ABF0000111011102.“异或”（“异”）、“同或”（“同”）运算“异或”逻辑运算（有时简称“异”运算）和“同或”逻辑运算（有时简称“同”运算）是两个非常重要的复合逻辑运算。“异或”运算两个变量“异或”运算的定义如下：F

A

B

AB

AB“⊕”是“异或”的运算符号。根据两变量“异或”定义式，列出其真值“表异。或”运算含义：若两变量A、B的取值相异，则F的取值为“1”；若两变量A、B的取值相同，则F的取值为“0”。2021年11理工大学信息科学学院48根据“异或”运算定义，逻辑常数“1”和“0”的“异或”基本运算规则如下：0

0

0,

0

1

1,

1

0

1,

11

03个变量的“异或”运算定义如下：F

A

B

C

(

AB

AB)

C

(

AB

AB

)

C

(

AB

AB

)

C

ABC

ABC(

A

B

)(

)C

ABC

ABC

ABC

ABCn个变量的“异或”运算可依此类推。“异或”运算具有如下的基本运算规律：A

0

A;

A

1

A;

A

A

0;

A

A

1“异或”运算符合交换律，即：A

B

B

A“异或”运算符合结合律，即：A

(B

C)(A

B)

C“异或”运算具有分配律，即：A

(B

C)

A

B

A

C利用真值表，再根据“异或”的定义，可证明“异或”的这些基本运算规律。理工大学信息科学学院2021年1149“异或”运算的两个重要特性特性1：多变量“异或”运算的结果取决于这些变量中取值为“1”的变量个数，而与取值为“0”的变量个数无关。若取值为“1”的变量个数是奇数，则

“异或”的结果为“1”；若取值为“1”的变量个数是偶数，则“异或”的结果为“0”。多个变量相“异或”的本质就在于确定取值为“1”的变量个数是奇数个还是偶数个。多个逻辑常量相“异或”，其结果取决于逻辑“1”的个数，而与逻辑“0”的个数无关。若逻辑“1”的个数为奇数，则“异或”的结果为“1”；若逻辑“1”的个数为偶数，则“异或”的结果为“0”。理工大学信息科学学院2021年1150由特性1可得到如下推论：（1

≤

i

≤

n）若F

A1

A2

......

Ai

......

An则F

A1

A2

......

Ai

......

An或：A1

A2

......

Ai

......

An

A1

A2

......

Ai

......

Ann个变量相“异或”的补函数就等于这n个相“异或”的变量中任意一个变量取反。理工大学信息科学学院2021年1151特性2：“异或”运算具有因果互换的关系。即，等式两边的逻辑变量可以互相交换位置而仍然保持等式的成立。例如：若

A

B

C

成立，则

A

C

B

或

B

C

A

成立。“异或”运算的这种因果互换关系还可以推广到多个逻辑量（包括逻辑变量和逻辑常量）相“异或”的情形。例如：若A

B

C

D

0

成立，成立。•利用“异或”运算的特性1，可说明多个逻辑量“异或”运算的因果互换关系。或则

A

0

C

D

B

或

0

B

C

D

A或

A

B

0

D

C

A

B

C

0

D理工大学信息科学学院2021年1152“异或”逻辑门及其逻辑符号“异或”运算可以由“异或”逻辑门来实现。“异或”门的逻辑符号如下图所示：A

BFFC

多个变量的“异或”，则可根据“异或”运算的结合律，利用多个“异或”门的级联来实现，如下图所示。A

BD理工大学信息科学学院2021年1153两变量“同或”真值表ABF001010100111（2）“同或”运算两个变量“同或”运算的定义如下：F

A

⊙

B

AB

AB“⊙”是“同或”的运算符号。根据两变量“同或”定义式，列出其真值“表同。或”运算含义：若两变量A、B的取值相同，则F的取值为“1”；若两变量A、B的取值相异，则F的取值为“根0据”。“同或”运算定义，逻辑常数“1”和“0”的“同或”基本运算规则如下：0⊙0=1，

0⊙1=0，

1⊙0=0，

1⊙1=12021年11理工大学信息科学学院542021年11理工大学信息科学学院553个变量的“同或”运算定义如下：F

=A⊙B⊙C

(

AB

AB

)

⊙C

(

AB

AB

)

C

(

AB

AB

)C

ABC

ABC

(

A

B

)(

A

B

)C

ABC

ABC

ABC

ABCn个变量的“同或”运算可依此类推。“同或”运算具有如下的基本运算规律：A⊙0=

A

；A⊙1=A；A⊙A=1；A⊙

A

=02021年11理工大学信息科学学院56A⊙(B⊙C)=(

A⊙B)⊙C“同或”运算符合交换律，即：A⊙B=B⊙A“同或”运算符合结合律，即：“同或”运算具有分配律，即：A+(B⊙C)=(A+B)⊙(A+C利用真值表，再根据“同或”的定义，可证明“同或”的这些基本运算规律。表2.13“异或”和“同或”运算公式名称公

式类别基本运算规律A

0

AA

1

AA

A

0A

A

11.＇A⊙1

=

A2.＇A⊙0

=

A3.＇A⊙A

=

14.＇A⊙

A

=

0常量和变量间的等式交换律结合律分配律A

B

B

AA

(B

C)

(

A

B)

CAB(C)

ABAC5.＇A⊙B

=

B⊙A＇A⊙(B⊙C

)

=(A⊙B)⊙C＇A+(B⊙C

)

=

(A+B)⊙(A+C

)变量间的等式理工大学信息科学学院2021年1157“同或”运算的两个重要特性特性1：多变量“同或”运算的结果取决于这些变量中取值为“0”的变量个数，而与取值为“1”的变量个数无关。若取值为“0”的变量个数是偶数，则

“同或”的结果为“1”；若取值为“0”的变量个数是奇数，则“同或”的结果为“0”。多个变量相“同或”的本质就在于确定取值为“0”的变量个数是偶数个还是奇数个。多个逻辑常量相“同或”，其结果取决于逻辑“0”的个数，而与逻辑“1”的个数无关。若逻辑“0”的个数为偶数，则“同或”的结果为“1”；若逻辑“0”的个数为奇数，则“同或”的结果为“0”。理工大学信息科学学院2021年1158由“同或”运算的特性1可得到如下推或：若F

=A论⊙：A

⊙……⊙A

⊙……⊙A

，（1≤

i

≤n）1

2

i

n则F

=A1⊙A2⊙……⊙Ai

⊙……⊙An；=

A1⊙A2⊙……⊙

Ai

⊙……⊙An；n个变量相“同或”的补函数就等于这n个相“同或”的变量中任意一个变量取反。A1⊙A2⊙……⊙Ai⊙……⊙An理工大学信息科学学院2021年1159特性2：“同或”运算具有因果互换的关系。即，等式两边的逻辑变量可以互相交换位置而仍然保持等式的成立。或1⊙B⊙C⊙D=A或

A⊙B⊙C⊙1=D

成立。则A⊙1⊙C⊙D=B或A⊙B⊙1⊙D=C例如：若A⊙B=C

成立，则

A⊙C=B

或

B⊙C=A

成立。“同或”运算的这种因果互换关系也可以推广到多个逻辑量（包括逻辑变量和逻辑常量）相“同或”的情形。例如：若A⊙B⊙C⊙D=1

成立，利用“同或”运算的特性1，可说明多个逻辑量“同或”运算的因果互换关系。理工大学信息科学学院2021年1160“异或”与“同或”之间的关系设有n个逻辑变量A1，A2，……，An，若F是将这n个逻辑变量相“异或”而构成的逻辑函数；G是将这n个逻辑变量相“同或”而构成的逻辑函数，即：F

A1

A2

,......,An；

G=

A1⊙A2⊙，……⊙An则当n为偶数时：F

G

或G

F

。也就是说，此时逻辑函数F

和逻辑函数G

互为反函数（或互为补函数）；而当n为奇数时：F=G。也就是说，此时逻辑函数F

和逻辑函数G

相同。两变量的“同或”函数是两变量的“异或”函数的反函数。A⊙B

=

A

B

或

A

B

=

A⊙B理工大学信息科学学院2021年1161在两个变量的“同或”运算中，只要有一个变量取反，则“同或”运算就变为“异或”运算，反之亦然。A⊙B

=A

B

或A

B

=A⊙B“同或”运算亦称之为“异或”非运“同算或。”逻辑门及其逻辑符号“同或”运算可以由“同或”逻辑门来实现。“同或”门的逻辑符号如下图所示：A

BFA A

BBF

F理工大学信息科学学院2021年1162理工大学信息科学学院2021年11

63两个变量构成的“同或”和“异或”函数是一对特殊的

逻辑函数。它们不仅互为反函数，而且还互为对偶函数。即：不但

A⊙B

=

A

B

或

A

B

=

A⊙B而且(A

B)=A⊙B或(A⊙B)＇=A

B运用对偶规则，可以从表2.13的左栏所列公式推导出右栏所列公式，反之亦然。在求对偶式时，除了前面提到的三个变换以外，还要加上第四个变换，即：把所有的“

”运算符换成“⊙”运算符，同时把所有的“⊙”运算符换成“

”运算符。在运用反演规则时，除原先的三个变换以外，也需加上第四个变换，即：把所有的“

”、“⊙”互换。3.逻辑运算符号的完备性“与”、“或”、“非”是三种基本的逻辑运算，由它们可以组成任何逻辑函数。所以说“·”、“+”、“￣”是一组逻辑功能完备的逻辑运算符。“与非”运算、“或非”运算以及“与或非”运算各自都是功能完备的复合逻辑运算符。“与”、“或”、“非”这三种基本逻辑运算均可用“或非”运算来单独地完成，并可用相应的“或非”门来实现。理工大学信息科学学院2021年1164“或”F

A

B

A

B

A

B

0

A

B

A

B“非”F

A

A

A

A

0A

BA+B“与”F

A

B

A

B

A

B

A

0

B

0

A

A

B

BA“0”B“0”A·BAABBA·B或者A“0”A理工大学信息科学学院2021年11652021年11理工大学信息科学学院66作业3：2-12的（1）、（3）、（4）、（5）、（8）、（9），2-14，2-17，2-19，2-21门来实现。同理：“与”、“或”、“非”这三种基本逻辑运算均可用“与非”运算来单独地完成，并可用相应的“与非同理：“与”、“或”、“非”这三种基本逻辑运算均可用“与或非”运算来单独地完成，并可用相应的“与或非”门来实现。§2.4

逻辑函数的两种标准形式一个逻辑函数可以归纳出五种主要的形式。它们是：①“与或”表达式（先“与”后“或”的表达②式“或）与；”表达式（先“或”后“与”的表达③式“与）非；-与非”表达式；④“或非-或非”表达式；⑤“与或非”表达式。例如函数：F

AB

AC理工大学信息科学学院2021年1167“与或”表达式F

AB

AC

AB

AC

BC

AA

A(

A

C

)

B(

A

C

)

(

A

C

)(

A

B)“或与”表达式

AB

AC“与非与非”表达式AB

AC

(

A

C

)(

A

B)“或非或非”表达式“与或非”表达式ACAB

ACAB理工大学信息科学学院2021年11682021年11理工大学信息科学学院69“与或”式和“或与”式是较为常用的表达式形同式一。种类型的逻辑表达式,其形式也不是唯一的。例如F

的“与或”表达式：F

AB

AC

AB

AC

BC

ABC

ABC

ABC

ABC

在一个逻辑函数的众多的表达式中，有两种标准的表达

式形式。它们实际上是特殊的“与或”式和“或与”式。2021年11理工大学信息科学学院702.4.1

最小项和最大项最小项（标准积或规范积）由A、B、C三个逻辑变量所构成的乘积项（“与”项）中，有一类特殊的乘积项，它们是：ABC

,

ABC,

ABC

,

ABC,

ABC

,

ABC,

ABC

,

ABC这8个乘积项（“与”项）有如下三个特点：每一项都是由三个逻辑变量相“与”而构成，即每项都有三个“因子”。每个逻辑变量都是每一项的一个“因子”。2021年11理工大学信息科学学院71在每一个乘积项中，每个逻辑变量或以原变量（A、B、C）的形式、或以反变量（

A

、B

、C

）的形式出现一次。这8个乘积项（“与”项）就称为三逻辑变量A、B、C的“最小项”。n个变量的最小项是n个变量相“与”（乘积），其中每一个变量都以原变量的形式或反变量的形式出现、且仅出现一次。对于n个变量来说，最小项的个数总共有2n个。当n=3（三个变量）时，最小项有23=8个。表2.14三变量最小项的真值表No.变量取值A

B

Cm0ABCm1ABCm2ABCm3ABCm4ABCm5ABCm6ABCm7ABC000010000000100101000000201000100000301100010000410000001000510100000100611000000010711100000001理工大学信息科学学院2021年1172最小项的性质性质1：对于任意的一个最小项，只有一组变量的取值使得它的值为“1”，而在变量取其它各组值时，这个最小项的值都是“0”。最小项不同，使得它的值为“1”的那一组变量的取值也不同。使得某一个最小项的值为“1”的那组变量取值，就是该最小项中的原变量取“1”、反变量取“0”而组成的in代表最小项中变量的个数，常省略之通常用二符进号制m数n

。来表示最小项。i代表最小项的

，它是使最小项的值为“1”的变量取值的等效十进制数。理工大学信息科学学院2021年1173性质2：任意两个不同的最小项的乘积（相“与”）恒为“0”。性质3：全体最小项之和（相“或”）恒为“1”。ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

AB

AB

AB

AB

A

A

12

7例如：m3

m3

ABC

ABC

AABCC

0理工大学信息科学学院2021年1174n变量最小项也具有同样的三个性质:每一个最小项仅和一组变量取值相对应，只有在该组取值下这个最小项的值才为“1”，而在其它的取值下它都为“0”。n个变量的任意两个不同最小项的乘积（相“与”）恒为“0”，即：mn

mn

0 (i

j)i

jn个变量的全体最小项之和（相“或”）恒为“1”，即：2n

1i

0nim

1理工大学信息科学学院2021年11752.最大项（标准和或规范和）由A、B、C三个逻辑变量所构成的和项（“或”项）中，有一类特殊的和项，它们是：A

B

C,A

B

CA

B

C

,A

B

C

,A

B

C,A

B

C,A

B

C

,A

B

C

,这8个和项（“或”项）有如下三个特点：每一项都是由三个逻辑变量相“或”而构成，即每项都有三个“加数”。每个逻辑变量都是每一项的一个“加数”。理工大学信息科学学院2021年1176在每一个和项中，每个逻辑变量或以原变量（A、B、C）的形式，或以反变量（

A

、B

、C ）的形式出现一次。这8个和项（“或”项）就称为三逻辑变量A、B、C的“最大项”。n个变量的最大项是n个变量相“或”（和），其中每一个变量都以原变量的形式或反变量的形式出现、且仅出现一次。对于n个变量来说，最大项的个数总共有2n个。当n=3（三个变量）时，最大项有23=8个。理工大学信息科学学院2021年1177表2.15三变量最大项的真值表No.变量取值A

B

CM7ABCM6ABCM5ABCM4ABCM3ABCM2ABCM1ABCM0ABC000011111110100111111101201011111011301111110111410011101111510111011111611010111111711101111111理工大学信息科学学院2021年1178最大项的性质性质1：对于任意的一个最大项，只有一组变量的取值使得它的值为“0”，而在变量取其它各组值时，这个最大项的值都是“1”。最大项不同，使得它的值为“0”的那一组变量的取值也不同。使得某一个最大项的值为“0”的那组变量取值，就是该最大项中的原变量取“0”、反变量取“1”而组成的二进制数。n代表最大项中变量的个数，常省略之。j代表最大项的

，它是使最大项的值为“0”的变量取值的等效十进制数。通常用符号来表示最大项。njM理工大学信息科学学院2021年1179性质2：任意两个不同的最大项的和（相“或”）恒为“1”。例如：M

3

M

3

(

A

B

C)

(A

B

C)

A

A

B

C

14

0性质3：全体最大项之积（相“与”）恒为“0”。A

B

C

A

B

C

A

B

C

A

B)()C()()(A

B

C

A

B

C

A

B

C

A

B)()C()(

(

A

B A

B A

B

)()A()(

B

A

A

0)理工大学信息科学学院2021年1180n变量最大项也具有同样的三个性质:每一个最大项仅和一组变量取值相对应，只有在该组取值下这个最大项的值才为“0”，而在其它的取值下它都为“1”。n个变量的任意两个不同最大项的和（相“或”）恒为“1”，即：n个变量的全体最大项之积（相“与”）恒为“0”，即：M

ni

M

n

1 (i

j)j2

n

1j

0njM

0理工大学信息科学学院2021年11813.最小项与最大项的关系变量相同且

相同的最小项和最大项之间，存在着互补的关系。即：mn

M

n

或

M

n

mni

i

i

i理工大学信息科学学院2021年1182表2.16三变量的取值以及相应的最小项和最大项No.变量取值A

B

C十进制数i最小项mi最大项Mi00000ABCm0A

B

CM010011ABCm1A

B

CM120102ABCm2A

B

CM230113ABCm3A

B

CM341004ABCm4A

B

CM451015ABCm5A

B

CM561106ABCm6A

B

CM671117ABCm7A

B

CM7理工大学信息科学学院2021年11832.4.2

标准表达式和真值表两种标准表达式最小项之和式最小项之和式是由若干个最小项相“加”（相“或”）而构成，它也叫标准“与或”式。例如：F(A,

B,C)

ABC

ABC

ABC6

3

5

6

3

5

m6,,53理工大学信息科学学院2021年11842021年11理工大学信息科学学院85【例2.1】

把

F(A,

B,C)

AB

AC

展开为最小项之和式。解：F(A,

B,C)

AB

AC

AB(C

C

)

AC(B

B

)

ABC

ABC

ABC

ABC

m7

m6

m3

m1

m(1,

3,

6,

7)任何一个逻辑函数表达式都可以被展开