概率论与数理统计课件-方差分析

6-2第一节方差分析的基本问题一、方差分析问题的提出问题：消费者与供应厂商间经常出现纠纷。纠纷发生后，消费者经常会向消费者

投诉。消协对以下几个行业分别抽取几家企业，统计最近一年中

次数，以确定这几个行业的服务质量是否有显著的差异。结果如下表：观测值行业零售业旅游业航空业家电制造业15768314426639495134929216544045347753456405865351744行业平均49483559总平均47.96-3ysis地不全等。二、概念：方差分析简称ANOV（of

Variance），该统计分析方法能

检验多个总体均值是否存在显著差异。H0：1

2

rH1：1,

2

, ,

r6-4（一）因素。因素又称因子，是在实验中或在抽样时发生变化的“量”，通常用A、B、C、…表示。方差分析的目的就是分析因子对实验或抽样的结果有无显著影响。如果在实验中变化的因素只有一个，这时的方差分析称为单因素方差分析；在实验中变化的因素不只一个时，就称多因素方差分析。双因素方差分析是多因素方差分析的最简单情形。6-5（二）水平。因子在实验中的不同状态称作水平。如果因子A有r个不同状态，就称它有

r个水平，可用表示。

都针对因素的不同水平或水平的组合，进行实验或抽取样本，以便了解因子的影响。6-6（三）交互影响。当方差分析的影响因子不唯一时，必要注意这些因子间的相互影响。如果因子间存在相互影响，称之为“交互影响”；如果因子间是相互独立的，则称为无交互影响。交互影响有时也称为交互作用，是对实验结果产生作用的一个新因素，分析过程中，有必要将它的影响作用也单独分离开来。6-7差分析的原理（一）方差的分解。样本数据波动就有二个来源：一个是随机波动，一个是因子影响。样本数据的波动，可通过离差平方和来反映，这个离差平方和可分解为组间方差与组内方差两部分。组间方差反映出不同的因子对样本波动的影响；组内方差则是不考虑组间方差的纯随机影响。6-8离差平方和的分解是

进入方差分析的“切入点”，这种方差的构成形式为

分析现象变化提供了重要的信息。如果组间方差明显高于组内方差，说明样本数据波动的主要来源是组间方差，因子是引起波动的主要原因，可以认为因子对实验的结果存在显著的影响；反之，如果波动的主要部分来自组内方差，则因子的影响就不明显，没有充足理由认为因子对实验或抽样结果有显著作用。6-9（二）均方差与

度因素或因素间“交互作用”对观测结果的影

响是否显著，关键要看组间方差与组内方差

的比较结果。当然，产生方差的独立变量的

个数对方差大小也有影响，独立变量个数越

多，方差就有可能越大；独立变量个数越少，方差就有可能越小。为了消除独立变量个数

对方差大小的影响，

用方差除以独立变

量个数，得到“均方差（Mean

Square）”，作为不同来源方差比较的基础。引起方差的

独立变量的个数，称作“

度”。6-10检验因子影响是否显著的统计量是一个F统计量：F

组间均方差组内均方差F统计量越大，越说明组间方差是主要方差来源，因子影响越显著；F越小，越说明随机方差是主要的方差来源，因子的影响越不显著。6-11第二节单因素方差分析一、单因素条件下离差平方和的分解数据结构如下：样本因素水平12……n合计均值A1X

11X

12……X

1nX

1.X

1.A2X

21X

22……X

2

nX

2.X

2.……ArX

r1X

r

2……X

rnX

r.X

r.合计X

..X6-12总离差平方和SST=SSE+SSA

X

)2SST

(

X

ijSSA

(

X

i.

X

)2

n(

X

i.

X

)2SSE

(

X

ij

X

i.

)26-13二、因素作用显著性的检验度的确定：SST是由于的波动引起的方差，但是，这里所有的nr个变量并不独立，它们满足一个约束条件，真正独立的变量只有nr-1个， 度是

nr-1。SSA是因子在不同水平上的均值变化而产生的方差。但是，r个均值并不是独立的，它们满足一个约束条件，因此也丢失一个

度，它的

度是r-1。SSE是由所有的在各因素水平上的围绕均值波动产生，它们满足的约束条件一共r个，失去了r个

度，所以SSE的

度是nr-r。SST、SSA和

SSE的

度满足如下关系：nr-1=(r-1)+(nr-r)6-14检验统计量是:MSE6-15F

MSA

~

F

(r

1,

nr

r)r

1nr

rMSE

SSE式中:

SSA

MSA

F值越大，越说明总的方差波动中，组间方差是主要部分，有利于

原假设接受备选假设；反之，F值越小，越说明随机方差是主要的方差来源，有利于接受原假设，有充分证据说明待检验的因素对总体波动有显著影响。因此，检验的

域安排在右侧。6-16Fα接受域域6-17方差分析：单因素方差分析SUMMARY组计数求和平均方差列

1734349116.67列

2628848184.8列

3517535108.5列

4529559162.5方差分析差异源SSdfMSFP-valueF

crit组间1456.63485.543.40660.03883.1274组内270819142.53总计4164.622问题的解6-18第三节双因素方差分析（一）无交互影响：因素B均值B1B2……Bn因素AA1X

11X

12……X

1nX

1.A2X

21X

22……X

2

nX

2.……ArX

r1……X

rnXr.均值X

.1X

.2……X

.nX6-19数据的离差平方和分解形式为：SST=SSA+SSB+SSESST

(

X

ij

X

)2SSA

(

X

i.

X

)2

n(

X

i.

X

)2SSB

(

X

j

X

)2

r(

X

.

j

X

)2(

..ji

SSE

ij

6-20SSA表示的是因素A的组间方差总和，SSB是因素B的组间方差总和，都是各因素在不同水平下各自均值差异引起的；SSE仍是组内方差部分，由随机误差产生。各个方差的度是：SST的

度为nr-1，SSA的度度为r-1，SSB的

度为n-1，SSE的为nr-r-n-1=（r-1）(n-1)。6-21各个方差对应的均方差是：对因素A而言：对因素B而言：对随机误差项而言：r

1MSA

SSAn

1MSB

SSBnr

r

n

16-22SSEMSE

得到检验因素A与B影响是否显著的统计量分别是：MSEF

MSA

~

F[r

1,

(r

1)(n

1)]AF

n

r

11)(,[n(~

1)]MSE

MSBFB6-23（二）有交互影响6-24因素BB1B

2……Bn因素AA1X

111X

112X

11mX

121X

122X

12m……X

1n1X

1n

2X

1nmA2X

211X

212X

21mX

221X

222X

22m……X

2

n1X

2

n

2X

2

nm……ArX

r11X

r12X

r1mX

r

21X

r

22X

r

2

m……X

rn1X

rn

2X

rnm离差平方和分解形式：SST=SSA+SSB+SSAB+SSEm

X

ijlm

l

1X

ij.

1

n

mijlXX

nm

j1l

1i..1r

m

X

ijlrm

i1

l

1X

.

j.

1ijl6-25

XrnmX

1上式中SST

(

X

ijl

X

)2SSA

nm(X

i

X

)2

X

)2

X

)2.

j.

X

ij.)2SSB

rm(

X

.

j.SSAB

m(SSE

(X

ijl6-26离差平方和SST、SSA、SSB、SSAB和SSE的

度分别是rnm-1、r-1、n-1、(r-1)(n-1)和rn(m-1)。6-27相应的均方差是r

1MSA

SSAn

1MSB

SSB(r

1)(n

1)SSABMSAB

rn(m