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文档简介

江苏地区2021~2022学年高二上期中测试数学卷测试时间:120分钟满分:150分一、单选题1.设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的(

A.

充分而不必要条件

B.

必要而不充分条件C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由|x-1|<1得,0<x<2由x2-5x<0得由“小范围”推出“大范围”得出0<x<2可推出0<x<5故“0<x<5”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件.故答案为:B【分析】根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义,再由“小范围”推出“大范围”判断即可.2.不等式2x+1<1的解集是(

A.

(-∞,-1)

B.

(1,+∞)

C.

(-∞,-1)∪(1,+∞)

D.

(-1,1)【答案】C【考点】其他不等式的解法【解析】由题意,不等式2x+1<1,可化为2x+1-1=1-xx+1<0解得x<-1或x>1,即不等式2x+1<1的解集是故答案为:C.【分析】化简不等式为x-1x+1>0,3.已知数列{an}中,a1=2,an=1-1aA.

-1

B.

-12

C.

12

D.

2【答案】C【考点】数列递推式【解析】因为a1=2,所以所以an+3=1-所以{an}是周期为3的周期数列,所以故答案为:C.【分析】先计算出{an}的前几项,然后分析{an}的周期性,根据周期可将a20214.已知a>b>c,ac>0,则下列关系式一定成立的是(

)A.

c2>bc

B.

bc(a-c)>0

C.

a+b>c

D.

a2【答案】B【考点】不等式的基本性质【解析】ac>0,∴a,c同号,又a>b>c,从而a,b,c同号,所以bc>0,而a-c>0,所以bc(a-c)>0,B符合题意.c>0时,A不符合题意,a<0时,C,D都错.故答案为:B.【分析】根据不等式性质求解.5.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话:“今有金锤,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.”意思是:“现有一根金锤,长5尺,头部1尺,重4斤,尾部1尺,重2斤”,若该金锤从头到尾,每一尺的重量构成等差数列,该金锤共重多少斤?A.

6斤

B.

7斤

C.

9斤

D.

15斤【答案】D【考点】等差数列的前n项和【解析】因为每一尺的重量构成等差数列{an},a1=4,∴a1数列的前5项和为S5=5×即金锤共重15斤,故答案为:D.【分析】直接利用等差数列的求和公式求解即可.6.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a2=2,a5=2aA.

2

B.

54

C.

162

D.

243【答案】C【考点】等比数列的通项公式【解析】设等比数列{an}的公比为q(q>0)由题意可得{a1解得q=3,∴a6=【分析】由题意可得{a1q=2a1q47.已知等差数列{an}的公差为d,关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0,9],则使数列{an}的前nA.

4

B.

5

C.

6

D.

7【答案】B【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系【解析】∵关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0,9],∴0,9分别是一元二次方程dx2+2a1x=0的两个实数根,且∴a1=-9d2.∴an=a1+(n-1)d=(n-11d2),可得:a5=-d2>0,a6=故答案为:B.【分析】关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0,

9],可得:0,9分别是一元二次方程dx2+2a1x=0的两个实数根,且d<0,可得8.设Sn是数列{an}的前n项和,满足an2+1=2anSn,且A.

10

B.

311

C.

10-311

D【答案】A【考点】数列递推式【解析】∵a∵∴因此数列{Sn2}为等差数列,首项为即S∴故答案为:A【分析】首先求出数列的首项,进一步利用数列的递推关系式的应用整理出Sn2-Sn-1二、多选题9..关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),则下列正确的是(A.

a<0B.

关于x的不等式bx+c>0的解集为(-∞,-6)C.

a+b+c>0D.

关于x的不等式cx2-bx+a>0【答案】A,C,D【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系【解析】【解答】A.由已知可得a<0且-2,3是方程ax2+bx+c=0的两根,B.由根与系数的关系可得:{-2+3=-ba-2×3=ca则不等式bx+c>0可化为:-ax-6a>0,即x+6>0,所以x>-6,B不符合题意,C.因为a+b+c=a-a-6a=-6a>0,C符合题意,D.不等式cx2-bx+a>0可化为:-6ax2+ax+a>0,即6x2-x-1>0,解得故答案为:ACD.【分析】先由已知可得a<0且b=-a,c=-6a

,然后代入各个选项验证是否正确即可得出答案.10.当x≥1时,下列函数的最小值为4的有(

)A.

y=4x+1x

B.

y=4x2-4x+52x-1

C.

y=x【答案】B,C,D【考点】平均值不等式【解析】【解答】A.根据对勾函数的单调性可知:y=4x+1x在[1,+∞)上单调递增,所以函数最小值为:4×1+1B.y=4x取等号时{2x-1=42x-1x≥1,即x=C.y=x2取等号时{x2+1=4x2+1D.y=5x-1x在[1,+∞)为单调递增函数,所以函数的最小值为5×1-1×1=4故答案为:BCD.【分析】直接利用不等式的性质和均值不等式的应用和函数的单调性判断A、B、C、D的结论.11.设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,已知SA.

数列{Sn+n}为等比数列

B.

数列{anC.

数列{an+1}为等比数列

D.

数列{2Sn}的前【答案】A,D【考点】等比数列的通项公式,等比数列的前n项和,等比关系的确定【解析】因为Sn+1=2Sn+n-1,所以又S1+1=2,所以数列{Sn+n}是首项为2所以Sn+n=2n,则当n≥2时,an=Sn-Sn-1=由a1=1,a2=1,a3=3可得a因为2Sn=2=22+23+...+2n+1-2(1+2+...+n)=4(1-2n故答案为:AD.【分析】首先由上来的递推公式代入数值即可得出数列数列{Sn+n}是等比数列,结合等比数列的通项公式即可得出数列{an}的前n项和公式,再由数列前n项和公式与项之间的关系即可得出数列{an12.已知{an}为等比数列,下列结论正确的是(A.

若a3=-2,则B.

aC.

若a3=a5D.

若a5>a3【答案】A,B,D【考点】基本不等式,等比数列的性质【解析】【解答】A.因为a22+a42≥2B.因为a32+a52C.设等比数列的公比为q,因为a3=a5,所以q2=a5a3=1,所以D.设等比数列的公比为q,因为a5>a3且q2>0,所以a故答案为:ABD.【分析】对于A,利用基本不等式及等比数列的性质即可判断得解;对于B,利用基本不等式及等比数列的性质即可判断得解;对于C,由a3=a5,得q=±1,当q=-1时,a1=-a2可判断C;由a5>a3且q2三、填空题13..命题“∃x>0,x3+x<0”的否定为

1

【答案】∀x>0,x3【考点】命题的否定【解析】【解答】解:命题“∃x>0,x3+x<0”的否定为“∀x>0,故答案为:∀x>0,x3+x≥0【分析】特称命题的否定是全称命题,直接写出结果即可.14..已知实数x,y满足y>32且6xy-9x+2y-4=0,则3x+y的最小值是【答案】22【考点】基本不等式【解析】由6xy-9x+2y-4=0,可得y=9x+46x+2∵y>32∴9x+46x+2>解不等式可得,x>-13则3x+y=3x+9x+46x+2=3x+1+12(3x+1)当且仅当3x+1=12(3x+1)即x=∴3x+y的最小值是2+1故答案为2+1【分析】由6xy-9x+2y-4=0,化为y=9x+46x+2,根据

y>32求出x的取值范围,把3x+y化为只含有x的式子,根据x15..数列{an}满足a1+2a2+22a3+⋅⋅⋅+2n-1an=【答案】(-∞,31【考点】基本不等式,数列的函数特性【解析】【解答】记bn=2n-1an当n=1时,b1=当n≥2时,bn=当n=1时,b1=-3也满足上式,所以bn=n-4(n∈N*显然当n≤3时,an<0,a4=0,当n≥5时,an>0当n≥5时,an+1an=n-32(n-4),因为a所以an的最大值为116.故λ2-kλ+2>(a而λ+3116λ≥23116=312故答案为:(-∞,312)【分析】先由题设求得an,然后利用数列的单调性求得其最大值,把对任意λ>

0,所有的正整数n都有λ2-kλ+2>an成立转化为k<λ+3116λ,16.已知数列{an}满足:an={12,(n=1)[1+2⋅(-1)λ]an-1+2(n≥2),{an}的前n项和为Sn,则当【答案】212;a【考点】数列的函数特性,数列的求和【解析】【解答】当λ=1时,an=-an-1+2,即所以S11=(λ=2时,an=3所以有an+1=3(所以{an+1}是以a1所以an+1=32⋅3故答案为:①212;②a【分析】根据题意分情况讨论;当λ=1时,由数列的通项公式整理即可得出an+an-1=2结合已知计算出结果即可;当λ=2时,整理数列的通项公式即可得出an+1=3(an-1+1)进而得出数列四、解答题17.已知关于x的不等式ax2-2x+a<0的解集为空集,函数f(x)=x+22x+1+m在(1).求实数a的取值集合A及函数f(x)的值域B;(2).对(1)中的集合A,B,若x∈A是x∈B的必要不充分条件,求实数m的取值范围.【答案】(1)1°若a=0,则-2x<0不符合;2°若a>0,则Δ=4-4a2≤0,则a≤-1或a≥1,∴3°若a<0不成立;综上,a≥1,∴A=[1,+∞).令t=2x+1∈(0,+∞),则x=t-12∴g(t)=t-12当且仅当t2=4即t=2时等号成立,此时g∴B=[32(2)∵x∈A是x∈B的必要不充分条件,∴B是A的真子集,则32+m>1,解得m>-【考点】集合关系中的参数取值问题,基本不等式【解析】【分析】(1)通过讨论a的范围,求出集合A,根据函数的单调性求出B即可;(2)求出B是A的真子集,得到关于m的不等式,求出m的范围即可.

18.已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=12(1).求{an}(2).设bn=an3n,记数列{bn}的前n【答案】(1)设公差为d,则∵S3=12,,即a1+a2+a3=12,∴3a2=12,∴a2=4,又∵2a1,a2,a3+1成等比数列,∴a22=2(a2-d)(a2+d+1),解得d=3或d=-4(舍去),∴an=a2+(n-2)d=3n-2(2)bn=an3n=3n-2①×13得13①-②得23

=13∴Tn=【考点】数列的求和,等差数列的性质,等比数列的性质【解析】(1)利用等差数列的性质以及S3=12求出a2=4,再由

2a1,a2,a(2)把(1)的结论代入bn=an319..小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元,每生产x万件时,该产品需另投入流动成本W(x)万元.在年产量不足8万件时,W(x)=13x2+x,在年产量不小于8万件时,W(x)=6x+100x-38(1).若年利润L(x)(单位:万元)不小于6万元,求年产量x(单位:万件)的范围.(2).年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?【答案】(1)由题意得:L(x)=5x-W(x)-3当x∈(0,8)时,L(x)=5x-(13∴-13x2+4x-3≥6,整理得:x2又∵x∈(0,8),∴3≤x<8.当x∈[8,+∞)时,L(x)=5x-(6x+100x∴35-(x+100x)≥6,整理得x2-29x+100≤0又∵x∈[8,+∞),∴8≤x≤25.综上,x的取值范围为3≤x≤25.(2)由(1)可知当x∈(0,8)时,L(x)=-13x∴当x=6时,L(x)max当x∈[8,+∞)时,L(x)=35-(x+100x当且仅当x=100x即x=10时,L∵9<15,∴年产量为10万件时,小王在这一商品的生产中所获得利润最大,且最大利润是15万元.【考点】二次函数的性质,根据实际问题选择函数类型,基本不等式【解析】(1)由题意可知L(x)=5x-W(x)-3,分段求出L

(x)的解析式,令L(x)≥6,即可求出x的取值范围;(2)由(1)可知当x∈(0,

8)时L(x)=5x-(13x2+x)-3=-13x2+4x-3,利用二次函数的性质求出L(x)的最大值,当x∈[8,

+∞)时20.设函数f(x)=ax2-(3a+2)x+6(1).若f(x)>(a-2)x2-(a+1)x+1在x∈[-1,+∞)恒成立,求实数(2).解关于x的不等式ax2-(3a+2)x+6>0【答案】(1)∵f(x)>(a-2)x2-(a+1)x+1∴2x2-(2a+1)x+5>0在令g(x)=2x2-(2a+1)x+5,则g(x)1°当2a+14≤-1,则a≤-x=-1时,g(x)min=g(-1)=8+2a>0,则a>-4,∴2°当2a+14>-1,则a>-x=2a+14时,g(x)min=g(2a+1∴-210<2a+1<210,∴-52综上-4<a<210(2)1°当a=0时,则-2x+6>0,∴x<32°当a>0时,Δ=(3a+2)2-24a=(3a-2)方程根为x1=2a或①2a<3,即a>23时,x<2a②2a>3,即0<a<23时,x<3或③2a=3,即a=23时,3°当a<0时,则x1=2a,x2=3综上,a<0解集为(2a,3);a=0解集为0<a<23解集为(-∞,3)∪(2a,+∞);a=2a>23解集为(-∞,【考点】利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】(1)将不等式化简归零,然后构造函数,研究函,数的单调性,令该函数的最小值大于零即可;(2)求出不等式对应方程的两个根,然后讨论两个根的大小结合函数的单调性求出不等式的解.

21.设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn+an=An2(1).求证:数列{an-n+1}是等比数列并求数列{(2).令bn=1an-n+1,求数列{bn(bn+1)(bn+1+1)}【答案】(1)

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