初一数学《有理数的混合运算》知识点精讲

知识点总结知识点1常规计算有理数混合运算的运算顺序：1、先乘方，再乘除，最后加减；2、同级运算，从左到右进行；3、如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行•【方法总结】根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算即可.本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键.注意：绝对值符号有括号的作用•知识点2运算律、规律计算有理数的混合运算中，常用的运算律有：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律、加法对乘法的分配律•【方法总结】本题主要考察了有理数混合运算的运算顺序和分配律的使用，（1）和（3）是乘法分配律的正用，（2）是乘法分配律的逆用，熟练掌握运算律的使用是解本题的关键.知识点3求代数式的值重要结论：互为相反数的两数和为0,相反数等于自身的数是0;互为倒数的两数积为1，倒数等于自身的数有-1,1，倒数等于自身的自然数是1;最大的负整数是-1，最小的正整数是1,绝对值最小的有理数是0;有理数的混合运算：1•有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算。2•进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化。有理数混合运算的四种运算技巧：转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算•凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解.分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算.巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便•知识要点1•计算的基本法则：包括：有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加•异号两数相加，取绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值•一个数同0相加，仍得这个数。乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；有因数为零时，积就为零。除法：乘积为1的两个有理数互为倒数；•两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除；除以一个数等于乘以这个数的倒数；0除以任何数等于0.0不能做除数乘方：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.2.运算的顺序：有括号，先算括号里面的；先算乘方，再算乘除，最后算加减；对只含乘除，或只含加减的运算，应从左往右运算。3•去括号法则：括号前是一4•运算律与运算技巧：包括加法的交换律、结合律；乘法的交换律、结合律;分配律。小学阶段的所有速算巧算技巧仍然适用。5•特殊的运算：包括分数的裂项运算、等差数列的运算、♦特别强调：符号，符号，符号有理数混合运算的顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序进行。例1计算：16^(-213-4x(-引分析：算式中含有减法、乘除、乘方运算，应先算乘方，再算乘除，最后算减法。但本题中与“込一“可同时进行运算。解：原式=16-(-8)+2=-2+12=10o重视符号问题有理数的运算都是先确定符号，再计算绝对值。例2计算：-卜舒+【-肯4.一弘日］。分析：门'是负数的偶次方，结果应为正，而门‘前面还有一个“-”，故-」'的结果应为负；是负数的奇次方，结果应为负；中括号里面是两个负数的减法运算，应转化为加法。解：原式=-9+(-3>(-3+5)=-9+1-8)^2=-9+(-41=-13004增强转化意识有时要根据实际情况，将除法转化为乘法，将减法转化为加法，将乘方转化为乘法，甚至还要将带分数转化为加法，将乘方转化为乘法，甚至还要将带分数转化为假分数，将小数转化为分数，以方便运算。计算：例3计算：」-1_7分析：先将化为4,-1.4化为弓，再将除法转化为乘法后面的减法转化为加法进行运算。解:转化为加法进行运算。解:灵活使用运算律有理数的运算律主要有：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配率。例4计算：0.7X19-+2-XI-141+—-14x3.25TOC\o"1-5"\h\z94'90分析：这是一道有理数混合运算的综合题，数比较复杂，要注意寻找特497——0.7x-征，设法运用运算律简化计算。注意到90可化为，这样，分别出现了公因数0.7和-14，逆用乘法分配率可分别提取。解：=0.7x20-14x6=14-S4=-70难点：处理混合运算中的运算顺序，以及每一步运算的运算符号学法指导：混合运算出错主要是以下三种，一是运算顺序出错，二是符号出错，三是计算出错，由于七年级学生已有了小学六年的计算基础，所以第三种出错率很少，基本就是第一种和第二种，即顺序出错或符号出错，那么我们在混合运算中，主要就是围绕这两个易错点进行反复强化，练就过硬的运算技能．对乘方的意义理解不到位，导致运算顺序出错【例1】计算：一22—(—3)2X(—l)3—(—l)4错澳的解答正确吋解鲁債-21-(-ay＞：(-1^-(-1)4-2^-(-3)3x(-i}i-(-i}4=4-9X(-1)-1=-4-9X(—1)-1^=4-(-P}-l二一4—(―9}—1屮=一61■、、-=4屮剖析：出错的原因是把一22当成了(一2)2,正确的方法应该是先算2的平方，再算相反数；而这位同学是先算的2相反数，再算—2的平方，从而造成的运算顺序的错乱，究其原因是由于对乘方的意义理解不到位造成的．应对策略：因为加减法是最低级别的运算，所以可以保留加减法，留待最后计算，为此可以将加号或减号作为分界线，将算式分成若干段，如图：=17=17=17=17解:计算3+22x(--)原式二3+4x=3—=11一5(-1)△5例1计算:(18-6一(-2)x--I3丿解：原式=18-(-3)x(丄)=18-19>9>9>9>例2计算：(-3)2x2

一一+3=9x=9x・？+(-—)L39」=9x(-|)+9x(-f)=-6+(-5)解法一：解：原式=9x(—#)=-H解法二：解：原式二一118+(-3)8+(-3)2x(-2)=8+9x(-2)=8+(-18)=-(18-8)=-10计算：(仆8+(-3)2x(-2)1004-(-2)2-(-2)4---

解：解：'丿2100+(—2)2—(—2)十―\3(3\=100一4-(-2)x--\2丿=25-3二22计算39X464646787878解:原式:46X1010178X1010146=39X弟"=23=17=17=17=17计算1998X199919991999-1999X199819981998原式=1998X1999X1()0010001—1999X1998X100010001=0计算1计算18~6~i~(-2)x解:原式=18—(—3)x=18-1XXXX正确解法:正确解法:—（2、辨析：\d丿2一4一（一6）x4解:原式=-_4解:原式=-_[J?<~3>解:原式=一—4十29=--2914一9计算(-3)2x解法一:原式=9x10解法二:原式9丿9丿r5)+9x=-11100*(—2『—(—2”解；100*(—2『—(—2”解；2)3;100+(—2尸一;一2”TT异：8+(-3)2x(-2)解：8+(-3匕(—2)=8+9x(-2)=8+(-18)=-(18-8)=-10(3A二100十4-(-2)x-I2丿-25-3二22=-6=-6・同步习题18—6-j-(—2)x(—)■(\\解：18-6十2)x--3丿(\\=18_(-3)x--＜、)=18-1=17TOC\o"1-5"\h\zv739解法一(-3)2x[-|+(-^)]=9x(-#)解法二(-3)2x[--|d-(-|)]75=9x|-二+(—二)]395—9x(—二)+9x(—二)9=—6+(—5)——1I一5'.计算：(_4)2xl(-1)S+|+(-^)3]■解■(-4)冬[(-1)S+^+(-y)3]r71=16X[-I手牙-总]$=16x(-壬)

(1p计算：—O.52+——I2丿1.填空(一1.8)+(—0.2)—(一2.3》解z原式=—1.8—0.2十?.3=0.3；215⑵(—自「(+吉)+(一和解;原式=(3)一3.8+1.2・一（一7.2）解:原式==J(4)1.8+&9—15,4+11.7—7.6解；原式=_■(5)(一6)一(一3)X(—2)解：原式=SS•2、(6)(—专)X(-6、・C6、解:原式==1(7)-1；小2；）解：原式=—(8)(一14)*(一0・25)X1.75解;原式==•小绪：一ite地•同墩运尊应按从劉—砸序依次运算.2.计算(1)(-1|>4-(—|)X(-1*)+1+無:原式=—】*+台+1*=0*$（2）（-8）十4一（一2）十（一2〉X（—3）解：原式=包括哪玮什么？卜(3)3X(—4)+(—28)+(—7)—(一2)乂《+6八解;原式=包括哪玮什么？卜9q(4>42x(—十(一牙)十(一0.25)解:原式==_⑸3-r(-7)X-|-(-|)X2解2原式=（6）一寻十爷十（一2）X（—召）解:原式=TOC\o"1-5"\h\z=;?3（7）35X（—台）丄（一吕）十（-0.25）14解;原式==1(8)64-(-3)+17X0-(-y)X(—|)解:原式=—小结:含有加、减、乘、除四种运算时■应先算•再算TX8-I-&—Hsi土z—)小2EXZso3ICZ+2(I)nxCQl$—)xz(9)H寸X6+9MXSHK®“胺pxn+*k9l)x;s)-olxz—oIxe(V)解:原式=解:原式=解:原式=解:原式=(8)0.2+(-0.4)X(-0.5)2+O.8-r(-0.2)2解!原式=4•计算(1)0-|-024-03+04解:原式=⑵0.14-0.l2+0.13-HO.I4解:原式=0.5+0.52+0.53+0.54解:原式=⑷104-1024-103+104解2原式==⑸一1+(-1尸+(—1)3十(一1『解:原式==十碍1-喀冷唔HW暫泗郸t®判哥耳o口WW3糾帥備蛋»i<pr~Oiq[)**o«lEkEx㈣xt=臥旨洌子«-)KtL'渕楮哥谭生博书'E令哥H辛'1要导注觀荽、三ii吾尽窑拭町台茗o>(ffli+m>-t+“o>qC<(ITHFI)+=^9®<q'w(X(rti-i^ij+*q+<佝■S■圣曲=衆程»-q*Bm-iBiIS昔场苗叶一）+详一冈（辛一）+〔辛一）⑻==学瀚!磺,（^）xc（|）x;<|）xJa）中==丰沟r捌片一）4f辛一）4（?——+：——）⑼加法有理数的混合运算走符号：同昌取同号「异导取大邑（大昌：绝对值姣大加数的鶴；孜灿£：同K1异减（同：聽^如皿加；绝茹直相法则加;异］耳号两敌相処减：绝对值相减）/_交换律：a+b=b+araSS广—<_结合律:严（b+c）二（a+b）+c同号先相加同分垮元相加］互为相磁先相加可以凑为整效或舌整十数^先相加芾分数化为假分数或科刑妙（部分加克分敬部分却溺目反敖a-（・b）w+b切忌.：记成'负负得IE洒刼律3+(b)=a(*b)=abab看做a加勺运用加法法測百接碌邀」/•两敌舐同歸正，.异目読ms^r值携:切忌;勖磁艸5!•厂三个及以上够柜乘判断结兵的待吕：奇负儘正（訓：諂碌结^^ax(bxc)=(axb)“运算律考合律：「^S8S:少（b化）®b+a“①含有带:斑去±3^/