数学七年级上：有理数的运算 教案

有理数的运算一.教学内容：

有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算

二.重点、难点：1.理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算。2.理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。

三.知识要点1.有理数的乘法（1）有理数乘法法则：a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。b）任何数同0相乘，都得0。［注意］：①对于多个有理数相乘，由有理数的乘法法则可以推出：a）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。即确定符号后把绝对值相乘。b）几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。②在含有加减乘除的算式中，没有括号指明运算顺序时，要先算乘除，后算加减。③乘号的三种形式“×”，“·”，“省略不写”。对“·”和“省略不写”只能在适当的时候用。如：“5×4”可以写成“5·4”但不能写为“54”；“1×”不能写成“1”。（2）有理数乘法运算律a）交换律：b）结合律：c）分配律：［注意］：在使用分配律时，乘时一定要带着符号乘。如：2.有理数的除法（1）有理数除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数。即a÷b=a×（b≠0）。有理数的除法可以化成有理数的乘法，所以有理数的除法有与乘法类似的法则：a）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。b）0除以任何一个不等于0的数，都得0。［注意］：除法是乘法的逆运算，在a×b=c中，如果已知乘数c和一个因数b求另一个因数a，或已知乘数c和一个因数a求另一个因数b的运算都是除法。（2）倒数在有理数范围内，我们也把乘积是1的两个数叫作互为倒数。如：－2与－互为倒数，因为－2×（－）=1。由倒数的定义可知，一个正数的倒数仍是正数，一个负数的倒数仍是负数，0没有倒数。0为什么没有倒数呢？0没有倒数的原因有两个：①若0能作除数，有=b（a≠0），则有0×b=a，这样的b不存在。②若=b（a=0），则有0×b=a，作为商b不唯一确定。所以0不能作除数，也就没有倒数。3.有理数的乘方（1）乘方一般地，几个相同的因数a相乘，即a×a×a×…×a，记作an。这种求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。（2）幂乘方的结果叫做幂。在an中，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次方。an看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。如：（－5）2，底数是－5，指数是2，（－5）2=25，读作－5的二次方或－5的二次幂。［注意］：①一个数可以看作这个数本身的一次方。例如，5就是51，指数1通常略去不写。②二次方也叫平方，三次方也叫立方。由22=4，（－2）2=4，02=0可知“一个数的平方是一个非负数。”要注意（－2）4≠－24，，32≠3×2，32≠23，（2×3）2≠2×32③由乘法法则可知：a）正数的任何次幂都是正数；b）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。（3）科学记数法一般地，一个大于10的数可以写成的形式，这种记数法称为科学记数法。4.有理数的混合运算有理数的混合运算顺序：先乘方，再乘除，后加减。若有括号，先算括号里面的。

【典型例题】例1.计算=

分析：－1的奇次方为－1，－1的偶次方则为它的相反数1；0的任何次方都为0。解：原式=1+（－1）+1+0=1

例2.若规定一种运算“*”：，如，，那么的值等于

解：

例3.根据二十四点算法，现有四个数3，4，－6，10，每个数用且只用一次进行加减乘除，使其结果等于24，则列式为

解：（答案不唯一）

例4.计算①

②分析：先确定符号。①小题有三个负因数相乘积为负。再利用乘法交换律先计算的值。②小题把小数转化为假分数，因数一正两负乘积为正，再统一约分。解：①原式=②原式=

例5.①

②分析：利用分配律进行计算。②小题把化为再利用分配律进行计算。解：①原式=②原式=

例6.计算：①

②

③分析：③小题可以直接计算，也可以把写成24+后利用分配律进行计算。解：①原式=－1+0+6.5=5.5②原式=③原式=

例7.计算①

②分析：在有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中，加、减叫作第一级运算，乘、除叫作第二级运算，乘方叫作第三级运算。没有括号时，先做第三级运算，再作第二级运算，最后做第一级运算。在同一级运算中，按照由左到右的顺序进行。有括号时，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行运算。在有理数的混合运算中一定要注意有理数的运算顺序。①小题还可以逆用乘法分配律，从而简化运算。解：①原式==

===或：原式=

=

=

=②原式==

=

例8.计算

①

②

③

④分析：绝对值是非负数，所以不论是偶次方还是奇次方，结果都是非负的，但是不要把绝对值或者乘方以外的负号带到运算里面去。解：①原式=②原式=③原式=④原式=

例9.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，试求值。解：由题意，得a+b=0，cd=1，|x|=2，x=2或－2.所以=当x=2时，原式==4－2－1=1；当x=－2时，原式==4－（－2）－1=5。

例10.半径是10cm，高为30cm的圆柱形水桶中装满水，小明先将桶中的水倒满2个底面半径为3cm高为6cm的圆柱形杯子，再把剩下的水倒入长，宽，高分别为40cm，30cm和20cm的长方体容器内，长方体容器内水的高度大约是多少?（取3，容器厚度不算）解：水桶内水的体积为×102×30，倒满2个杯子后，剩下的水的体积为：（×102×30－2××32×