传热学教学课件：导热问题的数值解法

§4-0引言求解导热问题的三种基本方法：

(1)理论分析

(2)实验

(3)数值计算三种方法的特点三种方法的基本求解过程第四章导热问题的数值解法1第四章导热问题的数值解法§4-1导热问题数值求解的基本思想

及内部节点离散方程的建立

物理问题的数值求解过程区域离散化建立离散方程确定迭代方法设定温度初场求解代数方程组是否收敛解的分析改进初场是否2第四章导热问题的数值解法实现过程：以二维矩形区域为例，所谓区域离散化，就是将研究区域分解成有限数量的小区域（单元），单元的顶点（或中心点）称作节点（结点），每个节点都有自己的控制区域，称作控制体（控制容积），控制体内所有特性都是均匀的，节点的温度代表每个控制体的1区域离散化温度。节点之间的距离称为空间步长。节点之间的连线称为网格线，控制容积的分界面称为界面节点的表示方法：（m，n）横坐标节点编号纵坐标节点编号xynm(m,n)MN3第四章导热问题的数值解法xynm(m,n)MN

基本概念：节点、控制体、网格线、界面线、步长二维矩形区域的离散化4第四章导热问题的数值解法2离散方程的建立(1)Taylor级数展开法；(2)多项式拟合法；(3)控制容积积分法；(4)控制容积平衡法(也称为热平衡法)5第四章导热问题的数值解法(1)泰勒级数展开法根据泰勒级数展开式，用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m+1,n)的温度tm+1,n用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m-1,n)的温度tm-1,n(m,n)(m,n+1)(m+1,n)(m,n-1)(m-1,n)6第四章导热问题的数值解法同理可得：(m,n)(m,n+1)(m+1,n)(m,n-1)(m-1,n)(1)泰勒级数展开法7第四章导热问题的数值解法对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热微分方程为：其节点方程为：(m,n)(m,n+1)(m+1,n)(m,n-1)(m-1,n)8第四章导热问题的数值解法(2)控制容积平衡法(热平衡法)基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。能量守恒：流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热=控制体内能的增量即：单位：注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用所谓流入控制体的总热流量，是指从所有方向流入的9第四章导热问题的数值解法稳态、无内热源时：从所有方向流入控制体的总热流量i＝0内部节点：(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xxyy

(m,n+1)

(m,n+1)

(m,n-1)

(m+1,n)

(m-1,n)10第四章导热问题的数值解法以二维、稳态、有内热源的导热问题为例，此时：(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xxyy(m,n+1)可见：当温度场还没有求出来之前，我们并不知道所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式，这里，我们假定温度呈分段线性分布，如下图所示11第四章导热问题的数值解法(m,n)(m-1,n)(m+1,n)tm,ntm-1,ntm+1,n可见，节点越多，假设的分段线性分布越接近真实的温度分布。此时：内热源：

m,n+1)

(m,n-1)

(m+1,n)

(m-1,n)12第四章导热问题的数值解法时：(m,n)(m,n+1)(m+1,n)(m,n-1)(m-1,n)13第四章导热问题的数值解法无内热源时变为：重要说明：所求节点的温度前的系数一定等于其它所有相邻节点温度前的系数之和。这一结论也适用于边界节点。但这里不包括热流、或热流密度和内热源之前的系数。(m,n)(m,n+1)(m+1,n)(m,n-1)(m-1,n)14第四章导热问题的数值解法下面我们就来看一下边界节点的情况：qwxyqw(1)平直边界上的节点15第四章导热问题的数值解法(2)外部角点xyqw16第四章导热问题的数值解法(3)内部角点xyqw17第四章导热问题的数值解法qw的情况：(1)第二类边条：将，带入上面各式即可

绝热或对称边界条件？(2)第三类边条：将带入上面各式即可

？(3)辐射边条：或其他18第四章导热问题的数值解法作业：4－4，4－6，4－9说明：4-6：采用能量平衡法建立节点(i,j)的稳态离散方程，物性已知且为常数4-9：只需建立节点1，5，9的离散方程即可19第四章导热问题的数值解法课堂作业：针对二维矩形区域内的稳态、无内热源导热问题，外部与温度为tf

的流体对流换热，换热系数为h，请建立外部角点的温度离散方程，并化简到最后的形式In-ClassProblems20第四章导热问题的数值解法QuickReview1、导热数值解法的重要意义2、导热数值解法的基本思想3、网格划分（区域离散）的过程及涉及的基本概念4、代数方程（离散方程）的建立方法和过程21第四章导热问题的数值解法第四章导热问题的数值解法4-1导热问题数值求解的基本思想及内节点离散方程的建立4-2边界节点离散方程的建立及代数方程的求解4-3非稳态导热问题的数值解法4-4导热问题数值计算实例22第四章导热问题的数值解法4-2代数方程组的求解一维无限大平板、稳态、常物性、无内热源、左侧第一类边条，右侧第三类，如右图所示，将其均匀分成三个控制体，试建立离散方程边界节点1234twth内部节点内部节点边界节点23第四章导热问题的数值解法形成如下代数方程组：代数方程组的通用形式为：24第四章导热问题的数值解法写出所有内节点和边界节点的温度差分方程n个未知节点温度，n个代数方程式：代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法4-2代数方程组的求解25第四章导热问题的数值解法直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解;

矩阵求逆、高斯消元法迭代解法：先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯-赛德尔迭代、块迭代、交替方向迭代等高斯-赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度的最新值26第四章导热问题的数值解法在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）例如：根据第k次迭代的数值可以求得节点温度：27第四章导热问题的数值解法判断迭代是否收敛的准则：k及k+1表示迭代次数；—第k次迭代得到的最大值当有接近于零的t时，第三个较好28第四章导热问题的数值解法获得收敛解的条件：主对角占优热平衡法建立的离散方程自动满足上述条件？29第四章导热问题的数值解法图中给出了二维、稳态、常物性条件下导热问题的部分离散网格，x=y，环境温度tf

，对流换热系数h，导热系数λ，均匀分布的内热源为。参考图中给定符号，推导节点（m，n）的离散方程。(m,n)(m-1,n)(m+1,n)tfhxy(m,n+1)(m,n-1)In-ClassProblems30第四章导热问题的数值解法§4-3非稳态导热问题的数值解法非稳态导热与稳态导热的主要区别：温度不仅随空间变化，还随时间变化，控制方程中多一个非稳态项非稳态项热源项？能量平衡特点：网格单元不仅与相邻的网格单元之间有热量的导入或导出，单元本身的热力学能也随时间发生变化下面我们直接用一维、有内热源、常物性的非稳态导热问题为例给出非稳态项的处理方法扩散项31第四章导热问题的数值解法一维、有内热源、常物性的非稳态导热问题离散方程的建立过程——空间和时间的离散化时间步长：从一个时层到下一个时层的间隔称为时间步长xm-1,m,m+1Mi+10ii-1(m+1,i)(m-1,i)(m,i)(m,i+1)(m,i-1)xm-1,m,m+1M0m+1mm-1表示形式32第四章导热问题的数值解法一维、有内热源、常物性的非稳态导热问题离散方程的建立过程Taylor展开法以(m,i)点为例，首先考察非稳态项：向前差分向后差分中心差分ii+1i-133第四章导热问题的数值解法热平衡法1假设温度分布线型

温度的阶梯型分布如右图所示，即温度的分布是跳跃的，并不是连续的。t阶梯分布首先考察左下角的分布形式，则非稳态项扩散项：t阶梯分布显示格式34第四章导热问题的数值解法xi+1imm+1m-1源项：非稳态项：扩散项：守恒方程：离散方程：以网格尺寸为特征尺度的Fourier数显式格式t阶梯分布显示格式35第四章导热问题的数值解法非稳态项：扩散项：源项：守恒方程：离散方程：xi+1imm+1m-1t阶梯分布隐式格式36第四章导热问题的数值解法显式隐式非稳态导热差分方程的稳定性条件：(1)主对角占优;(2)的系数必须大于或等于零.两种差分格式的特点：方程数较少时，显式差分格式计算速度快，但对时间步长和空间步长有限制，如果和取得不好，很有可能导致计算结果发散，这是由于隐式差分格式则没有这类稳定性的问题37第四章导热问题的数值解法用热平衡法建立边界节点的离散方程边界节点也有显式格式和隐式格式，下面只针对显式格式，考察一无限大平板，其右侧面为第三类边界条件，针对边界节点，建立其离散方程38第四章导热问题的数值解法39第四章导热问题的数值解法稳定性条件：内节点的稳定性条件：所以，边界节点的稳定性条件比内节点的要苛刻对于绝热边界条件,可令边界上的