人教版九年级数学下册第二十七章：相似 复习课件

复习相似复习相似1复习┃知识归纳┃知识归纳┃相等a∶b＝c∶d对应边的比复习┃知识归纳┃知识归纳┃相等a∶b＝c∶d对应边的比2┃知识归纳┃知识归纳3┃知识归纳3．判定两个三角形相似的方法(1)

于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)如果两个三角形的三组对应边的比

，那么这两个三角形相似；(3)如果两个三角形的两组对应边的比

，并且相应

相等，那么这两个三角形相似；(4)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应

，那么这两个三角形相似．4．相似三角形的性质平行相等相等相等夹角┃知识归纳3．判定两个三角形相似的方法平行相等相等相等夹角4┃知识归纳(1)相似三角形的对应边

，对应角

.(2)相似三角形的

，

与

都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于

，相似三角形面积的比等于

.5．位似图形如果两个多边形不仅

，而且对应顶点的连线

，对应边

，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做

.[注意](1)位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形．(2)两个位似图形的位似中心只有一个．成比例相等对应高的比对应中线的比对应角平分线的比相似比相似比的平方相似交于一点互相平行位似中心┃知识归纳(1)相似三角形的对应边，对应角5►考点一相似三角形的判定┃考点攻略┃考点攻略┃例1如图1所示，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．(1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；(2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由)．►考点一相似三角形的判定┃考点攻略┃考点攻略┃例16┃考点攻略图1┃考点攻略图17┃考点攻略[解析]结合表格利用勾股定理分别求出△ABC和△DEF的三边的长，然后分别求出对应边长的比，并做出判断．┃考点攻略[解析]结合表格利用勾股定理分别求出△ABC和8┃考点攻略┃考点攻略9┃考点攻略┃考点攻略10┃考点攻略┃考点攻略11┃考点攻略►考点二相似三角形的性质例2如图3所示，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．图3┃考点攻略►考点二相似三角形的性质例2如图3所示，12┃考点攻略[解析]根据勾股定理求得BE的长，然后利用相似三角形对应边的比相等即可求出EF的长．┃考点攻略[解析]根据勾股定理求得BE的长，然后利用相似13┃考点攻略┃考点攻略14┃考点攻略┃考点攻略15┃考点攻略►考点三位似和相似的关系例3

如图4所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为(－1，－1)．(1)把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形并写出点B1的坐标；(2)把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C，画出△A2B2C的图形并写出点B2的坐标；(3)把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1∶2，画出△AB3C3的图形．┃考点攻略►考点三位似和相似的关系例3如图4所示，16┃考点攻略图4┃考点攻略图417┃考点攻略[解析](1)使用平移变换的知识解决；(2)用旋转变换的知识解决；(3)利用了位似变换将一个图形放大为原来的2倍，以及在平面直角坐标系下位似变换图形的坐标特点．┃考点攻略[解析](1)使用平移变换的知识解决；18┃考点攻略解：(1)画出的△A1B1C1如图5所示，点B1的坐标为(－9，－1)．(2)画出的△A2B2C的图形如图15所示，点B2的坐标为(5,5)．(3)画出的△AB3C3的图形如图15所示．图5┃考点攻略解：(1)画出的△A1B1C1如图5所示，点B119┃考点攻略┃考点攻略20┃考点攻略►考点四用相似三角形解实际问题例4

为了测得如图6(a)和(b)中的树的高度，在同一时刻小华分别做了如下操作：图(a)：测得竹竿CD长为0.8米，其影子CE长为1米，以及图(a)中树影AE的长为2.4米．图(b)：测得落在地面上的影子长为2.8米，落在墙上的影子的高为1.2米．请问图(a)和图(b)中的树高分别为多少？┃考点攻略►考点四用相似三角形解实际问题例4为了测21┃考点攻略解：图(a)和(b)中的树高分别为1.92米和3.44米．图6┃考点攻略解：图(a)和(b)中的树高分别为1.92米和322┃考点攻略►考点五相似三角形与圆图7┃考点攻略►考点五相似三角形与圆图723┃考点攻略[解析](1)见到三角形两边中点想到三角形的中位线，从而得到DE∥BF，再利用平行线的性质以及圆周角定理得到角相等，进而证得三角形相似．(2)利用相似三角形的性质可求．┃考点攻略[解析](1)见到三角形两边中点想到三角形的中24┃考点攻略┃考点攻略25┃考点攻略┃考点攻略26┃习题讲练1．如图1，若A、B、C、D、E、F、G、H、O都是5×7方格纸中的格点，为使△DME∽△ABC，则点M应是F、G、H、O四点中的(

)A．FB．GC．HD．OC图1┃习题讲练1．如图1，若A、B、C、D、E、F、G、H、O27┃习题讲练2．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图1所示的5×5的方格中，作格点△ABC和△OAB相似(相似比不为1)，则点C的坐标是_____________________．(4,0)或(3,2)┃习题讲练2．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连28┃习题讲练图2┃习题讲练图229┃习题讲练3．如图3，在4×4的正方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1)填空：∠ABC＝________，BC＝________；(2)判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论．图3┃习题讲练3．如图3，在4×4的正方格中，△ABC和△DE30┃习题讲练┃习题讲练31┃习题讲练4．如图4，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，若∠APB＝120°，求证：△ACP∽△PDB.图4┃习题讲练4．如图4，点C、D在线段AB上，△PCD是等边32┃习题讲练证明：∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°，∴∠PCA＝∠PDB＝120°，∠APC＋∠A＝60°.∵∠APB＝120°，∴∠APC＋∠BPD＋∠DPC＝120°，∴∠APC＋∠BPD＝60°，∴∠A＝∠BPD.∴△ACP∽△PDB.┃习题讲练证明：∵△PCD是等边三角形，33┃习题讲练5．如图5，在△ABC中，AB＝AC＝1，点D，E在直线BC上运动．设BD＝x，CE＝y.(1)如果∠BAC＝30°，∠DAE＝105°，试确定y与x之间的函数关系式；(2)如果∠BAC＝α，∠DAE＝β，当α，β满足怎样的关系时，(1)中y与x之间的函数关系式还成立？试说明理由．┃习题讲练5．如图5，在△ABC中，AB＝AC＝1，点D，34┃习题讲练图5┃习题讲练图535┃习题讲练┃习题讲练36┃习题讲练┃习题讲练37┃习题讲练图66．如图6，有一块三角形土地，它的底边BC＝100米，高AH＝80米，某单位要沿着底边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在AB、AC上，若大楼的宽为40米，求这个矩形的面积．┃习题讲练图66．如图6，有一块三角形土地，它的底边BC＝38┃习题讲练┃习题讲练39┃习题讲练7．如图7，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．(1)若这个矩形是正方形，那么边长是多少？(2)若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？┃习题讲练7．如图7，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC40┃习题讲练图7┃习题讲练图741┃习题讲练┃习题讲练42┃习题讲练8．一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，AC长为2.5m，面积为1.5m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲的设计方案如图8①，乙的设计方案如图②.你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由．(加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数)┃习题讲练8．一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.543┃习题讲练图8┃习题讲练图844┃习题讲练┃习题讲练45┃习题讲练┃习题讲练46┃习题讲练【典型思想方法分析】┃习题讲练【典型思想方法分析】47┃习题讲练【针对训练】图9┃习题讲练【针对训练】图948┃习题讲练┃习题讲练49┃习题讲练图10┃习题讲练图1050┃习题讲练┃习题讲练51┃习题讲练┃习题讲练52┃习题讲练11．如图11，已知：AB⊥DB于B点，CD⊥DB于D点，AB＝6，CD＝4，BD＝14，P点在DB上，若使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似，则DP的长为_________________．2或12或5.6图11┃习题讲练11．如图11，已知：AB⊥DB于B点，CD⊥D53┃习题讲练┃习题讲练54┃习题讲练图12┃习题讲练图1255┃习题讲练图13┃习题讲练图1356┃习题讲练13．在如图14所示的方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位)有一点O和△ABC.(1)请以点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向)，得到△A′B′C′；(2)请用适当的方式描述△A′B′C′的顶点A′、B′、C′的位置．┃习题讲练13．在如图14所示的方格纸中(每个小方格的边长57┃习题讲练图14┃习题讲练图1458┃习题讲练解：(1)连接OA、OB、OC，在网格上分别找它们的中点A′、B′、C′，连接A′B′、B′C′、A′C′，则△A′B′C′为符合条件的三角形．(2)本题答案不唯一，可以点B′为原点建立如图14所示的直角坐标系，则三点的坐标分别为A′(1,2)、B′(0,0)、C′(3,0)．┃习题讲练解：(1)连接OA、OB、OC，在网格上分别找它59┃习题讲练14．如图15，△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,1)，B(1,2)，C(3,1)，请在第三象限内画出以原点O为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍的△A1B1C1，并写出变换后得到的△A1B1C1的各个顶点的坐标．┃习题讲练14．如图15，△ABC的三个顶点坐标分别为A(60┃习题讲练解：A1(0，－2)，B1(－2，－4)，C1(－6，－2)，画图略．图15┃习题讲练解：A1(0，－2)，B1(－2，－4)，C1(61┃习题讲练15．如图16，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．(1)画出位似中心点O；(2)求出△ABC与△A′B′C′的位似比；(3)以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5.┃习题讲练15．如图16，图中的小方格都是边长为1的正方形62┃习题讲练图16┃习题讲练图1663┃习题讲练解：(1)提示：位似中心在各组对应点连线的交点处．(2)位似比为1∶2.(3)略．┃习题讲练解：(1)提示：位似中心在各组对应点连线的交点处64┃习题讲练16．甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为________米．9┃习题讲练16．甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚65┃习题讲练17．小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度．如图27－24，水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA＝21米，当她与镜子的距离CE＝2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B，已知她的眼睛距离地面高度DC＝1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米？(注意：根据光的反射定律，反射角等于入射角)┃习题讲练17．小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高66┃习题讲练图17┃习题讲练图1767┃习题讲练┃习题讲练68复习相似复习相似69复习┃知识归纳┃知识归纳┃相等a∶b＝c∶d对应边的比复习┃知识归纳┃知识归纳┃相等a∶b＝c∶d对应边的比70┃知识归纳┃知识归纳71┃知识归纳3．判定两个三角形相似的方法(1)

于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)如果两个三角形的三组对应边的比

，那么这两个三角形相似；(3)如果两个三角形的两组对应边的比

，并且相应

相等，那么这两个三角形相似；(4)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应

，那么这两个三角形相似．4．相似三角形的性质平行相等相等相等夹角┃知识归纳3．判定两个三角形相似的方法平行相等相等相等夹角72┃知识归纳(1)相似三角形的对应边

，对应角

.(2)相似三角形的

，

与

都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于

，相似三角形面积的比等于

.5．位似图形如果两个多边形不仅

，而且对应顶点的连线

，对应边

，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做

.[注意](1)位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形．(2)两个位似图形的位似中心只有一个．成比例相等对应高的比对应中线的比对应角平分线的比相似比相似比的平方相似交于一点互相平行位似中心┃知识归纳(1)相似三角形的对应边，对应角73►考点一相似三角形的判定┃考点攻略┃考点攻略┃例1如图1所示，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．(1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；(2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由)．►考点一相似三角形的判定┃考点攻略┃考点攻略┃例174┃考点攻略图1┃考点攻略图175┃考点攻略[解析]结合表格利用勾股定理分别求出△ABC和△DEF的三边的长，然后分别求出对应边长的比，并做出判断．┃考点攻略[解析]结合表格利用勾股定理分别求出△ABC和76┃考点攻略┃考点攻略77┃考点攻略┃考点攻略78┃考点攻略┃考点攻略79┃考点攻略►考点二相似三角形的性质例2如图3所示，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．图3┃考点攻略►考点二相似三角形的性质例2如图3所示，80┃考点攻略[解析]根据勾股定理求得BE的长，然后利用相似三角形对应边的比相等即可求出EF的长．┃考点攻略[解析]根据勾股定理求得BE的长，然后利用相似81┃考点攻略┃考点攻略82┃考点攻略┃考点攻略83┃考点攻略►考点三位似和相似的关系例3

如图4所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为(－1，－1)．(1)把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形并写出点B1的坐标；(2)把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C，画出△A2B2C的图形并写出点B2的坐标；(3)把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1∶2，画出△AB3C3的图形．┃考点攻略►考点三位似和相似的关系例3如图4所示，84┃考点攻略图4┃考点攻略图485┃考点攻略[解析](1)使用平移变换的知识解决；(2)用旋转变换的知识解决；(3)利用了位似变换将一个图形放大为原来的2倍，以及在平面直角坐标系下位似变换图形的坐标特点．┃考点攻略[解析](1)使用平移变换的知识解决；86┃考点攻略解：(1)画出的△A1B1C1如图5所示，点B1的坐标为(－9，－1)．(2)画出的△A2B2C的图形如图15所示，点B2的坐标为(5,5)．(3)画出的△AB3C3的图形如图15所示．图5┃考点攻略解：(1)画出的△A1B1C1如图5所示，点B187┃考点攻略┃考点攻略88┃考点攻略►考点四用相似三角形解实际问题例4

为了测得如图6(a)和(b)中的树的高度，在同一时刻小华分别做了如下操作：图(a)：测得竹竿CD长为0.8米，其影子CE长为1米，以及图(a)中树影AE的长为2.4米．图(b)：测得落在地面上的影子长为2.8米，落在墙上的影子的高为1.2米．请问图(a)和图(b)中的树高分别为多少？┃考点攻略►考点四用相似三角形解实际问题例4为了测89┃考点攻略解：图(a)和(b)中的树高分别为1.92米和3.44米．图6┃考点攻略解：图(a)和(b)中的树高分别为1.92米和390┃考点攻略►考点五相似三角形与圆图7┃考点攻略►考点五相似三角形与圆图791┃考点攻略[解析](1)见到三角形两边中点想到三角形的中位线，从而得到DE∥BF，再利用平行线的性质以及圆周角定理得到角相等，进而证得三角形相似．(2)利用相似三角形的性质可求．┃考点攻略[解析](1)见到三角形两边中点想到三角形的中92┃考点攻略┃考点攻略93┃考点攻略┃考点攻略94┃习题讲练1．如图1，若A、B、C、D、E、F、G、H、O都是5×7方格纸中的格点，为使△DME∽△ABC，则点M应是F、G、H、O四点中的(

)A．FB．GC．HD．OC图1┃习题讲练1．如图1，若A、B、C、D、E、F、G、H、O95┃习题讲练2．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图1所示的5×5的方格中，作格点△ABC和△OAB相似(相似比不为1)，则点C的坐标是_____________________．(4,0)或(3,2)┃习题讲练2．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连96┃习题讲练图2┃习题讲练图297┃习题讲练3．如图3，在4×4的正方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1)填空：∠ABC＝________，BC＝________；(2)判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论．图3┃习题讲练3．如图3，在4×4的正方格中，△ABC和△DE98┃习题讲练┃习题讲练99┃习题讲练4．如图4，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，若∠APB＝120°，求证：△ACP∽△PDB.图4┃习题讲练4．如图4，点C、D在线段AB上，△PCD是等边100┃习题讲练证明：∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°，∴∠PCA＝∠PDB＝120°，∠APC＋∠A＝60°.∵∠APB＝120°，∴∠APC＋∠BPD＋∠DPC＝120°，∴∠APC＋∠BPD＝60°，∴∠A＝∠BPD.∴△ACP∽△PDB.┃习题讲练证明：∵△PCD是等边三角形，101┃习题讲练5．如图5，在△ABC中，AB＝AC＝1，点D，E在直线BC上运动．设BD＝x，CE＝y.(1)如果∠BAC＝30°，∠DAE＝105°，试确定y与x之间的函数关系式；(2)如果∠BAC＝α，∠DAE＝β，当α，β满足怎样的关系时，(1)中y与x之间的函数关系式还成立？试说明理由．┃习题讲练5．如图5，在△ABC中，AB＝AC＝1，点D，102┃习题讲练图5┃习题讲练图5103┃习题讲练┃习题讲练104┃习题讲练┃习题讲练105┃习题讲练图66．如图6，有一块三角形土地，它的底边BC＝100米，高AH＝80米，某单位要沿着底边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在AB、AC上，若大楼的宽为40米，求这个矩形的面积．┃习题讲练图66．如图6，有一块三角形土地，它的底边BC＝106┃习题讲练┃习题讲练107┃习题讲练7．如图7，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．(1)若这个矩形是正方形，那么边长是多少？(2)若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？┃习题讲练7．如图7，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC108┃习题讲练图7┃习题讲练图7109┃习题讲练┃习题讲练110┃习题讲练8．一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，AC长为2.5m，面积为1.5m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲的设计方案如图8①，乙的设计方案如图②.你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由．(加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数)┃习题讲练8．一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5111┃习题讲练图8┃习题讲练图8112┃习题讲练┃习题讲练113┃习题讲练┃习题讲练114┃习题讲练【典型思想方法分析】┃习题讲练【典型思想方法分析】115┃习题讲练【针对训练】图9┃习题讲练【针对训练】图9116┃习题讲练┃习题讲练117┃习题讲练图10┃习题讲练图10118┃习题讲练┃习题讲练119┃习题讲练┃习题讲练120┃习题讲练11．如图11，已知：AB⊥DB于B点，CD⊥DB于D点，AB＝6，CD＝4，BD＝14，P点在DB上，若使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似，则DP的长为_________________．2或12或5.6图11┃习题讲练11．如图11，已知：AB⊥DB于B点，CD⊥D121┃习题讲练┃习题讲练122┃习题讲练图12┃习题讲练图12123┃习题讲练图13┃习题讲练图13124┃习题讲练13．在如图14所示的方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位)有一点O和△ABC.(1)请以点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向)，得到△A′B′C′；(2)请用适当的方式描述△A′B′C′的顶点A′、B′、