实数及其运算课件

安徽省数学第一章数与式安徽省数第一章数与式第1讲实数及其运算第1讲实数及其运算要点梳理

1．实数的有关概念(1)数轴：规定了____，

和

的直线叫做数轴，数轴上所有的点与全体____一一对应．(2)相反数：只有____不同，而

相同的两个数称为互为相反数．a，b互为相反数⇔a＋b＝____．(3)倒数：1除以一个不等于零的实数所得的____，叫做这个数的倒数．a，b互为倒数⇔ab＝____．原点正方向单位长度实数符号绝对值0商1要点梳理1．实数的有关概念原点正方向单位长度实数符号绝对值要点梳理

(4)绝对值：在数轴上，一个数对应的点离原点的__，叫做这个数的绝对值．

|a|＝îïíïì

，（a＞0）

，（a＝0）

Ｗ.（a＜0）|a|是一个非负数，即|a|____．

(5)科学记数法，近似数：

科学记数法就是把一个数表示成____(1≤a＜10，n是整数)的形式；一个近似数，____到哪一位，就说这个数精确到哪一位．

a0-a≥0±a×10n四舍五入距离要点梳理(4)绝对值：在数轴上，一个数对应的点离原点的__要点梳理

(6)平方根，算术平方根，立方根：如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，记作

；正数a的正的平方根，叫做这个数的算术平方根；如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，记作

．x＝±a

要点梳理(6)平方根，算术平方根，立方根：x＝±a要点梳理

(7)识记：112＝________，122＝________，132＝__________，142＝________，152＝________，162＝__________，172＝________，182＝________，192＝__________，202＝________，212＝________，222＝__________，232＝________，242＝________，252＝__________.13＝________，23＝________，33＝__________，43＝________，53＝________，63＝__________，73＝________，83＝________，93＝__________，103＝__________.要点梳理(7)识记：要点梳理

2．实数的分类

按实数的定义分类：

实数îïïïïïíïïïïïìîïïïíïïïì整数îïíïì

þýü

自然数负整数分数îíìþýü有限小数或无限循环小数无理数îíìþýü

无限不循环小数

正整数有理数零正分数负分数正无理数负无理数要点梳理2．实数的分类按实数的定义分类：实数îïïïï要点梳理

根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数îïíïì正实数零负实数

3．零指数幂，负整数指数幂

任何非零数的零次幂都等于1，即

；任何不等于零的数的－p次幂，等于这个数p次幂的倒数，即

．

a0＝1(a≠0)

要点梳理根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数îïí要点梳理

4．实数的运算实数的运算顺序是先算

，再算

，最后算

，如果有括号，先算

，再算

，最后算

，同级运算应

．乘方和开方乘除加减小括号中括号大括号从左到右依次进行要点梳理4．实数的运算乘方和开方乘除加减小括号中括号大括号数形结合思想数形结合思想是指将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想策略．“数无形，少直观；形无数，难入微．”数形结合思想可以使问题化难为易、化繁为简．分类讨论思想分类讨论思想是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，分类注意按一定的标准进行；分类既不能遗漏，也不能交叉重复．数形结合思想化归思想化归也称转化，是指将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题，从而使问题顺利解决的数学思想，关键是确定合理、可行的转化目标，掌握基本的方法步骤．化归思想五种大小比较方法实数的大小比较常用以下五种方法：(1)数轴比较法：将两数表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大．(2)代数比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的数反而小．五种大小比较方法(3)差值比较法：设a，b是两个任意实数，则：a－b＞0⇒a＞b；a－b＝0⇒a＝b；a－b＜0⇒a＜b.

(4)倒数比较法：若1a＞1b，a＞0，b＞0，则a＜b.

(5)平方比较法：∵由a＞b＞0，可得a＞b，∴可以把a与b的大小问题转化成比较a和b的大小问题．

(3)差值比较法：设a，b是两个任意实数，则：a－b＞0⇒a第1讲实数及其运算课件第1讲实数及其运算课件实数的分类实数的分类1．(1)(2013·安顺)下列各数中，3.14159，－38，0.131131113…，－π，25，－17无理数的个数有(

)

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

(2)(2012·河北)下列各数中，为负数的是(

)

A．0

B．－2

C．1

D.12

BB1．(1)(2013·安顺)下列各数中，3.14159，－3实数的运算

【例2】

(2014·重庆)计算：

4＋(－3)2－20140×|－4|＋(16)－1.

解：原式＝2＋9－1×4＋6＝11－4＋6＝13【点评】实数运算要严格按照法则进行，特别是混合运算，注意符号和顺序是非常重要的．实数的运算【例2】(2014·重庆)计算：4＋(－3)2．(2014·东营)计算：(－1)2014＋(sin30°)－1＋(35－2)0－|3－18|＋83×(－0.125)3.

2．(2014·东营)计算：(－1)2014＋(sin30°科学记数法与近似值

【例3】

(1)(2014·资阳)餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为()A．5×1010千克B．50×109千克C．5×109千克D．0.5×1011千克A科学记数法与近似值【例3】(1)(2014·资阳)餐桌边(2)下列近似数中精确到千位的是()A．90200B．3.450×102C．3.4×104D．3.4×102【点评】

(1)科学记数法一般表示的数较大或很小，所以解题时一定要仔细；(2)科学记数法写出这个数后可还原成原数进行检验．C(2)下列近似数中精确到千位的是()C3．(1)近似数2.5万精确到

位．(2)(2014·内江)一种微粒的半径是0.00004米，这个数据用科学记数法表示为(

)A．4×106B．4×10－6C．4×10－5D．4×105千C3．(1)近似数2.5万精确到位．与实数相关的概念【例4】

(1)(2014·河北)－2是2的()A．倒数B．相反数C．绝对值D．平方根(2)已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，那么a＋b－c＝

．B2或0与实数相关的概念【例4】(1)(2014·河北)－2是2的(3)设|a|＝4，|b|＝2，且|a＋b|＝－(a＋b)，试求a－b所有值的和．解：∵|a|＝4，|b|＝2，∴a＝±4，b＝±2，又|a＋b|＝－(a＋b)≥0，∴a＋b≤0，可知a＝－4，b＝±2，所以a－b＝－4－2＝－6，或a－b＝－4－(－2)＝－2，－6＋(－2)＝－8，a－b所有值的和是－8(3)设|a|＝4，|b|＝2，且|a＋b|＝－(a＋b)，【点评】

(1)互为相反数的两个数和为0；(2)正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；(3)两个非负数的和为0，则这两个数分别等于0.【点评】(1)互为相反数的两个数和为0；(2)正数的绝对值4．(1)(2012·凉山)若x是2的相反数，|y|＝3，则x－y的值是(

)

A．－5

B．1

C．－1或5

D．1或－5

(2)计算：－(－12)＝____；|－12|＝____；

(－12)0＝____；(－12)－1＝____．

(3)若ab＞0，则|a|a＋|b|b－|ab|ab的值等于

．

12

1

-2

1或-3

D4．(1)(2012·凉山)若x是2的相反数，|y|＝3，则数轴

【例5】

(1)(2013·广州)实数a在数轴上的位置如图，则|a－2.5|＝()A．a－2.5B．2.5－aC．a＋2.5D．－a－2.5B数轴【例5】(1)(2013·广州)实数a在数轴上的位置(2)(2014·呼和浩特)实数a，b，c在数轴上对应的点如下图所示，则下列式子中正确的是()A．ac＞bcB．|a－b|＝a－bC．－a＜－b＜cD．－a－c＞－b－cD(2)(2014·呼和浩特)实数a，b，c在数轴上对应的点如【点评】数形结合借助数轴找到数的位置，或由数找到在数轴上的点的位置及其相反数的位置，再根据数轴上右边的数大于左边的数，确定各数的大小或根据大减小为正，小减大为负，以及有理数的加法、乘法法则来确定数的运算后的符号．【点评】数形结合借助数轴找到数的位置，或由数找到在数轴上的5．(1)(2012·聊城)在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是3和－1，则点C所对应的实数是(

)

A．1＋3

B．2＋3

C．23－1

D．23＋1

D5．(1)(2012·聊城)在如图所示的数轴上，点B与点C关(2)(2014·宁夏)实数a，b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是()A．a＋b＝0B．b＜aC．ab＞0D．|b|＜|a|D(2)(2014·宁夏)实数a，b在数轴上的位置如图所示，以实数的大小比较

【例6】

(1)(2014·绍兴)比较－3，1，－2的大小，下列判断正确的是(

)

A．－3＜－2＜1

B．－2＜－3＜1

C．1＜－2＜－3

D．1＜－3＜－2

(2)(2014·河北)a，b是两个连续整数，若a＜7＜b，则a，b分别是(

)

A．2，3

B．3，2

C．3，4

D．6，8

AA实数的大小比较【例6】(1)(2014·绍兴)比较－3，【点评】实数的大小比较要依据数值特点来灵活运用比较大小的几种方法来进行．【点评】实数的大小比较要依据数值特点来灵活运用比较大小的几6．(1)(2014·珠海)比较大小：－2____－3.

(2)比较2.5，－3，7的大小，正确的是(

)

A．－3＜2.5＜7

B．2.5＜－3＜7

C．－3＜7＜2.5

D.7＜2.5＜－3

＞A6．(1)(2014·珠海)比较大小：－2____－3.(安徽省数学第一章数与式安徽省数第一章数与式第1讲实数及其运算第1讲实数及其运算要点梳理

1．实数的有关概念(1)数轴：规定了____，

和

的直线叫做数轴，数轴上所有的点与全体____一一对应．(2)相反数：只有____不同，而

相同的两个数称为互为相反数．a，b互为相反数⇔a＋b＝____．(3)倒数：1除以一个不等于零的实数所得的____，叫做这个数的倒数．a，b互为倒数⇔ab＝____．原点正方向单位长度实数符号绝对值0商1要点梳理1．实数的有关概念原点正方向单位长度实数符号绝对值要点梳理

(4)绝对值：在数轴上，一个数对应的点离原点的__，叫做这个数的绝对值．

|a|＝îïíïì

，（a＞0）

，（a＝0）

Ｗ.（a＜0）|a|是一个非负数，即|a|____．

(5)科学记数法，近似数：

科学记数法就是把一个数表示成____(1≤a＜10，n是整数)的形式；一个近似数，____到哪一位，就说这个数精确到哪一位．

a0-a≥0±a×10n四舍五入距离要点梳理(4)绝对值：在数轴上，一个数对应的点离原点的__要点梳理

(6)平方根，算术平方根，立方根：如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，记作

；正数a的正的平方根，叫做这个数的算术平方根；如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，记作

．x＝±a

要点梳理(6)平方根，算术平方根，立方根：x＝±a要点梳理

(7)识记：112＝________，122＝________，132＝__________，142＝________，152＝________，162＝__________，172＝________，182＝________，192＝__________，202＝________，212＝________，222＝__________，232＝________，242＝________，252＝__________.13＝________，23＝________，33＝__________，43＝________，53＝________，63＝__________，73＝________，83＝________，93＝__________，103＝__________.要点梳理(7)识记：要点梳理

2．实数的分类

按实数的定义分类：

实数îïïïïïíïïïïïìîïïïíïïïì整数îïíïì

þýü

自然数负整数分数îíìþýü有限小数或无限循环小数无理数îíìþýü

无限不循环小数

正整数有理数零正分数负分数正无理数负无理数要点梳理2．实数的分类按实数的定义分类：实数îïïïï要点梳理

根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数îïíïì正实数零负实数

3．零指数幂，负整数指数幂

任何非零数的零次幂都等于1，即

；任何不等于零的数的－p次幂，等于这个数p次幂的倒数，即

．

a0＝1(a≠0)

要点梳理根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数îïí要点梳理

4．实数的运算实数的运算顺序是先算

，再算

，最后算

，如果有括号，先算

，再算

，最后算

，同级运算应

．乘方和开方乘除加减小括号中括号大括号从左到右依次进行要点梳理4．实数的运算乘方和开方乘除加减小括号中括号大括号数形结合思想数形结合思想是指将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想策略．“数无形，少直观；形无数，难入微．”数形结合思想可以使问题化难为易、化繁为简．分类讨论思想分类讨论思想是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，分类注意按一定的标准进行；分类既不能遗漏，也不能交叉重复．数形结合思想化归思想化归也称转化，是指将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题，从而使问题顺利解决的数学思想，关键是确定合理、可行的转化目标，掌握基本的方法步骤．化归思想五种大小比较方法实数的大小比较常用以下五种方法：(1)数轴比较法：将两数表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大．(2)代数比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的数反而小．五种大小比较方法(3)差值比较法：设a，b是两个任意实数，则：a－b＞0⇒a＞b；a－b＝0⇒a＝b；a－b＜0⇒a＜b.

(4)倒数比较法：若1a＞1b，a＞0，b＞0，则a＜b.

(5)平方比较法：∵由a＞b＞0，可得a＞b，∴可以把a与b的大小问题转化成比较a和b的大小问题．

(3)差值比较法：设a，b是两个任意实数，则：a－b＞0⇒a第1讲实数及其运算课件第1讲实数及其运算课件实数的分类实数的分类1．(1)(2013·安顺)下列各数中，3.14159，－38，0.131131113…，－π，25，－17无理数的个数有(

)

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

(2)(2012·河北)下列各数中，为负数的是(

)

A．0

B．－2

C．1

D.12

BB1．(1)(2013·安顺)下列各数中，3.14159，－3实数的运算

【例2】

(2014·重庆)计算：

4＋(－3)2－20140×|－4|＋(16)－1.

解：原式＝2＋9－1×4＋6＝11－4＋6＝13【点评】实数运算要严格按照法则进行，特别是混合运算，注意符号和顺序是非常重要的．实数的运算【例2】(2014·重庆)计算：4＋(－3)2．(2014·东营)计算：(－1)2014＋(sin30°)－1＋(35－2)0－|3－18|＋83×(－0.125)3.

2．(2014·东营)计算：(－1)2014＋(sin30°科学记数法与近似值

【例3】

(1)(2014·资阳)餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为()A．5×1010千克B．50×109千克C．5×109千克D．0.5×1011千克A科学记数法与近似值【例3】(1)(2014·资阳)餐桌边(2)下列近似数中精确到千位的是()A．90200B．3.450×102C．3.4×104D．3.4×102【点评】

(1)科学记数法一般表示的数较大或很小，所以解题时一定要仔细；(2)科学记数法写出这个数后可还原成原数进行检验．C(2)下列近似数中精确到千位的是()C3．(1)近似数2.5万精确到

位．(2)(2014·内江)一种微粒的半径是0.00004米，这个数据用科学记数法表示为(

)A．4×106B．4×10－6C．4×10－5D．4×105千C3．(1)近似数2.5万精确到位．与实数相关的概念【例4】

(1)(2014·河北)－2是2的()A．倒数B．相反数C．绝对值D．平方根(2)已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，那么a＋b－c＝

．B2或0与实数相关的概念【例4】(1)(2014·河北)－2是2的(3)设|a|＝4，|b|＝2，且|a＋b|＝－(a＋b)，试求a－b所有值的和．解：∵|a|＝4，|b|＝2，∴a＝±4，b＝±2，又|a＋b|＝－(a＋b)≥0，∴a＋b≤0，可知a＝－4，b＝±2，所以a－b＝－4－2＝－6，或a－b＝－4－(－2)＝－2，－6＋(－2)＝－8，a－b所有值的和是－8(3)设|a|＝4，|b|＝2，且|a＋b|＝－(a＋b)，【点评】

(1)互为相反数的两个数和为0；(2)正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；(3)两个非负数的和为0，则这两个数分别等于0.【点评】(1)互为相反数的两个数和为0；(2)正数的绝对值4．(1)(2012·凉山)若x是2的相反数，|y|＝3，则x－y的值是(

)

A．－5

B．1

C．－1或5

D．1或－5

(2)计算：－(－12)＝____；|－12|＝____；

(－12)0＝____；(－12)－1＝____．

(3)若ab＞0，则|a|a＋|b|b－|ab|ab的值等于

．

12

1

-2

1或-3

D4．(1)(2012·凉山)若x是2的相反数，|y|＝3，则数轴

【例5】

(1)(2013·广州)实数a在数轴上的位置如图，则|a－2.5|＝()A．a－2.5B．2.5－aC．a＋2.5D．－a－2.5B数轴【例5】(1)(2013·广州)实数a在数轴上的位置(2)(2014·