极限分析法课件

第五章极限分析法5.1基本假定5.2极限荷载的上、下限定理5.3应用上限定理极限分析法下载地址：1:2007QQ:46503088察缚擒活诡箔戚颠羽搪扯危栓曼买品蓬霸蓑蝶礼灯同弛愧喂蛛琼辈刃犊久第五章极限分析法第五章极限分析法第五章极限分析法5.1基本假定下载地址：ftp://205.1基本假定理想弹塑性体和刚塑性体在荷载作用下，当荷载达到某一数值并保持不变的情况下，物体会发生“无限”的变形——进入塑性流动状态，由于只限于讨论小变形的情况，通常所称的极限状态可以理解为是开始产生塑性流动时的塑性状态，而极限荷载也可以理解为达到极限状态时所对应的荷载。研究表明，如果绕过弹塑性的变形过程，直接求解极限状态下的极限荷载及其速度分布，往往会使问题的求解容易得多，这种分析常称为极限分析。在极限分析中对材料作刚塑性假设和理想弹塑性假设得到的极限状态是一致的，相应的极限荷载也是相同的。侯如少祝惕斩陈蛔嘴剖辰诲共南观熄瞄调牧猪辨瞥崖题鹰目硒胡朋氖澄熄第五章极限分析法第五章极限分析法5.1基本假定理想弹塑性体和刚塑性极限分析法是应用理想弹塑性体(或刚塑性体)处于极限状态的普遍定理——上限定理和下限定理求解极限荷载的一种分析方法。与第六章相似，把服从Mohr-Coulomb屈服条件的材料称为Coulomb材料，服从Tresca屈服条件的材料称为Tresca材料。在塑性流动状态，屈服应力与塑性应变之间没有直接的关系，屈服应力与相应的塑性应变率之间的关系可由流动规则确定。在这里限于介绍服从相关联流动规则的情况。塑性应变率分量之间的关系可表示为：屈服函数烛涂该草渔缆唯芋马瘸刺颊牟寇岩陀痔过绕靡最粒镊柑宗坠迂淄撇孝浊新第五章极限分析法第五章极限分析法极限分析法是应用理想弹塑性体(或刚塑性对于Tresca材料，屈服函数可表示为：于是：对于Coulomb材料，屈服函数可表示为：于是：膀阑氧骇建付盎必昨刹潘事面辽峭耪博拜镊泉况侦跨潞刀报陷姓弗汐骂民第五章极限分析法第五章极限分析法对于Tresca材料，屈服函数可表示为Coulomb材料的屈服函数也可表示为：于是：法向应力σn方向塑性应变率塑性剪应变率Tresca材料塑性状态体积应变等于零：Coulomb材料体积应变不等于零，产生剪胀现象。呸辐浩厂挥宪鸟宙喊幻了吻惶撂葱烧哩轰朴足蝶细寻猜拨丫奴扩予身众针第五章极限分析法第五章极限分析法Coulomb材料的屈服函数也可表示为：5.2极限荷载的上、下限定理在极限分析中，经常要应用静力容许的应力场(简称静力场)和机动容许的速度场(简称机动场)的基本概念。5.2.1静力场和机动场的概念体积V和边界ST、SUST

SU

V如右图所示，设物体的体积为V，其表面S分为两部分，一部分是表面力已知的边界(简称荷载边界)ST，其余部分为表面速度已知的边界(简称位移边界)SU。苑溉雀朵队竿艘片困喀示熬石鸯硬嫌褒劫舟晤蝇叠扎烂芬吏阁地隔问缆腰第五章极限分析法第五章极限分析法5.2极限荷载的上、下限定理在极限在此物体上，设定一组应力场σij*，若满足以下条件，则称σij*为静力容许的应力场。(1)在体积V内到处满足平衡方程式中，Fi为给定的体力。(2)在边界ST上，满足边界条件式中，Ti*为与应力σij*对应的表面力；nj为边界上外法线的方向余弦；为边界上给定的表面力。(3)在体积V内不违反屈服条件，若已知屈服条件(方程)为f(σij)，则有由以上定义可知，物体处于极限状态时，其真实的应力场必定是静力容许的应力场。然而静力容许的应力场并不一定是极限状态时的真实应力场。梧菱符蛾甲队盯楞吞让萧疆益咖揖坑急苟匿范聚戚藤来忙帖退夫窘阉签寓第五章极限分析法第五章极限分析法在此物体上，设定一组应力场σij在物体上，设定一组速度场vi*，若满足以下条件，则称为机动容许的速度场。(1)在边界SU上满足边界条件式中，

为边界SU上给定的体力。(2)在体积V内满足几何方程由以上定义可知，在极限状态时的真实速度场必定是机动容许的速度场，而机动容许的速度场并不一定是极限状态时的真实速度场。应变速率粉埂喜罚荒鞍坚粮急庆壬橡琢哟义珊陶漏救阑亦嗣陇七淤登毛梨雅叭件对第五章极限分析法第五章极限分析法在物体上，设定一组速度场vi*，若满虚功原理表明：对于一个连续的变形体，静力容许的应力场在机动容许的位移场上所作的外(虚)功。虚功率方程可表示为：5.2.2虚功率方程静力容许机动容许左端表示外力(面力和体力)的虚功率，右端表示虚变形功率。建磊羞荆侮评秦泪舔捉框份东香辐妙昔雪材强套襟架月瘤洗园就予玲舆佯第五章极限分析法第五章极限分析法虚功原理表明：对于一个连续的变形体，静现证明如下：将应力边界条件代入虚功率方程左端的面积分部分，并利用高斯积分公式，可得根据平衡微分方程及关系式，则方程的左端：于是，虚功率方程就得到证明。高斯公式：关系式：湾妈估郁尉狰蜕岿写交嵌县朵糊俊烛沫儒请猎谈刹锻啄拽泉鼠中镇刃蝉描第五章极限分析法第五章极限分析法现证明如下：根据平衡微分方程5.2.3存在应力间断面和速度间断面的虚功率方程(1)存在应力间断面的虚功率方程应力间断线实际上是一薄层过渡区，在这薄层过渡区内，应力发生急剧的变化，造成间断线两侧应力发生间断现象。沿着间断线必须满足平衡方程以及屈服条件，而且两个区内沿间断线法线方向的应力应该相等，两个区内的剪应力相等，即：只有两个区内的沿间断线切线方向的正应力才可能出现间断兼柒屠闪哼软啪皆啡汉岛载拍芳睁隶臀谱捕全皇崭圃罩刘奶勒摔悬睹道缆第五章极限分析法第五章极限分析法5.2.3存在应力间断面和速度间断面的虚功率方程(1)存在ΩθψαβIIIllllσn2σn1τn1τn2σt2σt1III嫩构绩悯垂服尾沼矣辑航挖衅志休娱驹汐疫钩资箕押漳操八丘映盂刘窗程第五章极限分析法第五章极限分析法ΩθψαβIIIllllσn2σn1τn1τn2σt2σt1设物体中存在若干个应力间断面SK(K=1,2,3,…)，将物体分成有限个部分。在每一部分，应力是连续变化的(应力间断面不可能同时成为速度间断面)。设在间断面

SK的一边作用有表面力Tni+，而另一边作用着Tni-。根据任一间断面上元素的平衡条件得到：对由间断面分成的每一部分应用虚功率方程，相应的面积分别按每一部分的表面面积完成。把各部分的虚功率方程加在一起，可以发现沿着应力间断面的全部积分相互抵消。因此，应力间断面的存在，并不影响虚功率方程的形式。钢拨顽名挟走竭饼论窑傈刹嫌唯卜柞弊饼抿燕烙筛讫摊詹孕旅指贼撼着宰第五章极限分析法第五章极限分析法设物体中存在若干个应力间断面SK(K=(1)存在速度间断面的虚功率方程速度间断线可以认为是两个速度区之间存在的过渡薄层的极限情况。Tresca材料的速度间断面ST

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Vl∆vCoulomb材料的速度间断面ST

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Tresca材料的速度改变方向与间断线方向一致，即速度间断线两侧的法向速度连续，只有切向速度有跳跃性改变。Coulomb材料的间断线两侧不仅切向速度不连续，法向速度也不连续。虽然两侧法向速度不连续，但物体仍保持连续，不产生裂缝。顶疏搔淖喜沈脚褥掩刁纪锣汝藏溶恕骚骋践捏死袒桐砸煌灸海横掐凋昨庄第五章极限分析法第五章极限分析法(1)存在速度间断面的虚功率方程速度间断线可考虑存在速度间断面对虚功率方程的影响，需要计算在速度间断面上的塑性能消散。Tresca材料单位体积塑性变形能消散率D可用应力和相应的应变率的乘积得出，取速度间断面可以认为是一个薄层变形区，位移速度在层内急剧而连续的变化，两侧相对速度为Δv，于是长度为l，厚度为h的间断面内的能量消散率为进一步可以得到Tresca材料沿速度间断面Si的能量消散率可傻李食棘奠版显米捍缮缎韶狗缚差款惹摄址枕滴泰樊氧烙泽轩涵祁巧坐第五章极限分析法第五章极限分析法考虑存在速度间断面对虚功率方程的影响，需要计算Coulomb材料单位体积塑性变形能消散率D可表示为：就是间断面相对速度在切线方向的分量，可记为当φ=0，上式就蜕化成于是长度为l，厚度为h的间断面内的能量消散率为于是可以得到Coulomb材料沿速度间断面Sl的能量消散率本来疵蚤娶活会显扩烤杂孕纵断弹上询疗它巴综蒸渠手剑佬边承况甘溉商第五章极限分析法第五章极限分析法Coulomb材料单位体积塑性变形能消散率D可表示为：就是间当速度间断面上的应力为屈服应力时：计算所有速度间断面上的能量消散率，结合虚功率方程，可以得到存在速度间断面的虚功率方程：Tresca材料：Coulomb材料：侩篆号沂谗礁趣浴白丢铜卤缠拌巫褐疤碾把贱饵莲金勇壮儡河谈筋忱揩氏第五章极限分析法第五章极限分析法当速度间断面上的应力为屈服应力时：计算所有速度间断面上的能量5.2.4上限定理和下限定理(1)下限定理当物体产生塑性变形达到极限状态时，在给定速度的边界SU上，真实的表面力在给定的速度上所作的功率恒大于或等于其他任意静力容许的应力场所对应的表面力在同一给定速度上所作的功率。在所有与静力容许的应力场相对应的荷载中，极限荷载为最大。根据下限定理可以计算极限荷载的下限，通常称为极限荷载的下限解。疏巩努孜捍珠死训边握钝嘉凸虏笼皮机林如羊个茎曲啤醉间将渐羚抗薯臣第五章极限分析法第五章极限分析法5.2.4上限定理和下限定理(1)下限定理对于Coulomb材料，设σij为物体达到极限状态时的真实应力场，其对应的表面力为Ti，vi为真实速度场，依据这一速度场由几何方程求得的真实应变速率为ξij，真实速度场可能有速度间断面SD，其上速度跃度为[Δvt]；在SU上给定的速度为，在ST上给定的表面力为，给定的体力为Fi。下限定理的证明：由于真实应力场一定是静力容许的应力场，所以极限状态时的虚功率公式慎骆雍群仰痉汗造趟缸笋滩绕打菊放穴肋庙翠梗由为喜沿频认乳富迪电院第五章极限分析法第五章极限分析法对于Coulomb材料，设σij为物体又设有另一静力容许的应力场σij*，对应的表面力为Ti*，在真实速度间断面上与速度跃度相对应的剪应力和法向应力分别为τ和σn，那么σij*,Ti*,τ和σn在同一速度场上的虚功率方程将上式和右式相减并注意到S=ST+SU，在ST上有，得帖辣迅减轿睫坠姥区遍包侠罗脸粟葡促天僳矩惠蝇耳嚣亿哟坍虹阀滩犀瑰第五章极限分析法第五章极限分析法又设有另一静力容许的应力场σij*对于刚性区内的微元体，ξij=0，故对于对塑性区内的点，真实应力σij的矢量末端处于屈服曲面上，而的末端则可能在屈服曲面上，也可能在屈服曲面内(见右图)，则根据Drucker公设得到屈服曲面o

于是：上面推导对Tresca材料同样成立。于是得出，物体处于塑性状态时，极限荷载的功率大于或等于静力容许的应力场所对应的荷载的功率，这也就证明了在所有的静力场所对应的荷载中，极限荷载为最大，或者说，任何静力容许的应力场所对应的荷载是极限荷载的下限。于是，下限定理得到证明。燥拍欺腰巧妹侈堆倚溅堂消禁融园席蜡缚狼糠哮燃术室圆郊习罢沧辟壮踩第五章极限分析法第五章极限分析法对于刚性区内的微元体，ξij=0，故(2)上限定理当物体产生塑性变形达到极限状态时，在所有机动容许的速度场中，真实速度场所对应的总功率最小。在所有的机动容许的塑性变形位移速率场相对应的荷载中，极限荷载为最小。根据上限定理可以计算极限荷载上限，通常称为极限荷载的上限解。根据下限、上限定理计算极限荷载下限、上限的方法，分别称为静力法和机动法。一般情况，可应用上下限定理求出极限荷载的上下限。如果采用静力法得到的下限解等于采用机动法得到的上限解，则得到了极限荷载的精确解。衫狰琉此氮弘臀际哗替研靖缔侯鹃棺映士宙偿瞅夺佣兄毁荐木黔轴详腔陈第五章极限分析法第五章极限分析法(2)上限定理当物体产生塑性变形达到极限状上限定理的证明上限定理表明：由下式确定的与某一机动容许的塑性变形位移场和对应的荷载Ti，Fi将大于或等于真实的极限荷载。反证法：假设由上式确定的荷载Ti，Fi小于极限荷载，则可找到与之平衡的静力场σijE，于是可得到虚功率方程两式相减，得：意杂妖谜斑墅结诀砚崎吕痴纫竟志码响写己图寸责受匣今蒸涂右嚷战啥柔第五章极限分析法第五章极限分析法上限定理的证明上限定理表明：由下式确定的与σijE是静力场，因此F(σijE)<0，且有：由相关联流动规则，得：这是矛盾的，于是上限定理得到证明。7.2.5上、下限定理的推论推论1：如果几何形状不改变，初始应力和初始变形不会改变极限荷载的大小。推论2：提高物体某些部分材料的屈服极限，不会降低其极限荷载。反之，降低物体某些部分材料的屈服极限，不会提高其极限荷载。夫芬爷戎止抒练狱通诈咀蔡越躯缴鼠档呻梁辣好胀什茨满钦佳稼袖戎妻秆第五章极限分析法第五章极限分析法σijE是静力场，因此F(σijE)<0，且有：由相关联流推论3：在物体上增加一部分材料(如增加部分重量可忽略不计)而不改变荷载的作用位置，不会降低其极限荷载。推论4：由外接真实屈服面的屈服面计算等到的极限荷载将不小于真实的极限荷载；由内切真实屈服面的屈服面计算得到的极限荷载将不大于真实的极限荷载。这些推论提供了极限分析中寻找极限荷载上下限的又一途径。如果用实际的屈服条件求解问题有困难，则可以对屈服条件进行简化，使简体后的屈服面内切或外接于真实屈服面。由简化屈服面找出真实极限荷载的上限和下限。推论5：任何一组使服从相关联流动规则的材料产生破坏的荷载将使服从不相关联流动规则的同样屈服面的材料产生破坏。入拼仟盘淑选韶袖烦呐要欺婴揍神荣登因若下阔釉司执增久讹氏根荚挫许第五章极限分析法第五章极限分析法推论3：在物体上增加一部分材料(如增加部分重量可5.3应用上限定理极限分析法应用上限定理可以计算极限荷载的上限。在分析中通常需要建立一机动场，然后根据虚功率原理求出相应的破坏荷载，即得到极限荷载的一个上限解。应用上限定理极限分析法通常称为机动法。求一般地基上条形基础极限承载力Pb捣叶网辰蜡宙福兆碴墟梅辆兔舌歉观花朗骆谬笑帧银怀板每专荐嫌寐磺童第五章极限分析法第五章极限分析法5.3应用上限定理极限分析法应用上hl刚体刚体刚体刚体平移Tresca材料薄变形层上的刚体滑动转动薄变形层上的刚体滑动可以分为二种，平移和转动，速度v的方向同滑动面切线方向一致。平移情况，滑动面为一平面，转动时为圆弧面。5.3.1薄变形层上的刚体滑动鸟纽救测嫁灰渊堰毖醇俯佰蓬伪佃备酚茶梗枣琳哄逢疥厦岗逐溉姻挠属圃第五章极限分析法第五章极限分析法hl刚体刚体刚体刚体平移Tresca材料薄变形层上的刚体滑动hl刚体刚体平移Coulomb材料薄变形层上的刚体滑动转动薄变形层上的刚体滑动也可以分为二种，平移和转动，速度v的方向同滑动面切线方向成夹角。vO刚体刚体vv龋侥癌立悄逸鸦凌谬胯粕涣驾跃呐痴奏串龙镶詹柏自侵妈边撵妆妄裁翻拇第五章极限分析法第五章极限分析法hl刚体刚体平移Coulomb材料薄变形层上的刚体滑动转动OvvR0RiRi+1R对转动，唯一容许的滑动面形状是对数螺族曲面。对数螺曲线从O点的半径矢量总是与曲线的切线形成一个不变角度将θ进行n等分，dθ=θ/n患虱督荚羔衙楞藉怖焰角脖网捞忧碾隧烩运腊孪马众韦衫火婚殷刮蓝语熟第五章极限分析法第五章极限分析法OvvR0RiRi+1R对转动，唯一容AOβH例：求竖起陡坡的临界高度γ取机动场如图，土的容重为γ，滑动面与竖直方向成β角。淌动体的运动速度为v，与滑动面成角。沿着滑动面的内能消散率为：v塑性流动时，外力做功率为：于是：滨街椭煮辈嗓咨慑领物鼎曰圃相弧揣舍床园翼唾踏坟寿素拽悔政抓氨霞牵第五章极限分析法第五章极限分析法AOβH例：求竖起陡坡的临界高度γ取机动场如图，土的容要求H的值，即求的极值。取：持兰绞泄怔凑津雏映走埃息维格垛鄙搬众纺焊五道妹色芝蛔俭哎吓糯果捶第五章极限分析法第五章极限分析法要求H的值，即求为了计算变形楔体的能量消散率，把楔体ODG分成n个刚体三角形，如下图所示。5.3.2楔体压缩与刚体滑动相结合DGECABv1v2Bv2v1δuδvOR0R1R2葬胚晕窝真栈邮呐猫荧朗串述徐靴绊甚理腰竿魂芍真堵耶童猖淹婆啊墅属第五章极限分析法第五章极限分析法为了计算变形楔体的能量消散率，把楔Bv2v1δuδv即为图中的δu类似地AB边上的能量消散率为：DECABv1v2OGR0R1R2沿OB和AB的能量消散率是相等的，当n趋向于无穷大时，变形楔体ODG变形的区的能量同速度间断面对数螺旋面DG上的能量消散率是相同的。态升般蒲由眼显辐吞蔗简蛙铲故殖暇磋杨潮蒋堑狠兜刷法旱褒乞竣炸芦培第五章极限分析法第五章极限分析法Bv2v1δuδv即为图中的δu类似地AB边上的能DECABv1v2OGR0R1R2沿数螺旋面DG上的能量消散率为裳模四阎搓倡仟吗憾乎兆滑庚哩汗宋素稗梯柬光撤铀汉浓卸逸庭概唁砧简第五章极限分析法第五章极限分析法DECABv1v2OGR0R1R2沿数螺旋面DG上xyqfADCBC'D'A'bPADCBA'D'C'vμv0v1v2粤连刃悼柬陨菏令乘蜀西鹊蜗慎涵唐巾骋茂切券安鄂闪侈猴万魁痰粳掖脖第五章极限分析法第五章极限分析法xyqfADCBC'D'A'bbPADCBA'vμv0v1v2v1v1π/2-μv0ABA'和ACD是刚性块体，ABC是变形楔体，ABA'区作刚体移动，其速度与基础速度相同。变形楔体ABC的AB边上的速度为v1变形楔体ABC的AC边上的速度为v2囱程绝进影痕允豺医匈因侍莲虾纤逝仇曹邪庄祭肿辱郴缎赫刻挤臆狈掸等第五章极限分析法第五章极限分析法bPADCBA'vμv0v1v2v1v1πbPADCBA'vμv0v1v2内能消散率包括速度间断上能量消散率和变形区能量消散率。速度间断线A'B上的能量消散率：钉速垒雄葬获址斧睹言脆孽秩律辈慧艳束毡升泥再谩浴杭惭矮宋碾升放奇第五章极限分析法第五章极限分析法bPADCBA'vμv0v1v2内bPADCBA'vμv0v1v2速度间断线CD上的能量消散率：擂敖腔俘宛笔西历乃剁磋蠕庄拉泡檄床凤棕例川习掣唾库面割奢本既鹰漏第五章极限分析法第五章极限分析法bPADCBA'vμv0v1v2速bPADCBA'vμv0v1v2变形楔体ABC和速度间断面BC上的能量消散率为：迟窿稠帝陨矢忙圭贪疟绿嗓饮辆匈游慷祷昂峰毡既滋漂定拌巩累制淡匡薪第五章极限分析法第五章极限分析法bPADCBA'vμv0v1v2变外力做功为票夜赠淌诅购荡蹦炕舵痊苟幸架丹精劲翼冉沟菊紊原麻捐酮帅躺蛰僚瑟贱第五章极限分析法第五章极限分析法外力做功为票夜赠淌诅购荡蹦炕舵痊苟幸架丹精劲翼冉沟菊(2)楔体与V形缺口之间因摩擦作用其剪应力为k如图可得：BG边：OB边：根据BDE区β线方程。于是：2aO2δACBGFxδaδδaβααβ连原椒为冰骏巾坚苍荒脊两际欲荫枪侯诅估莲宗茬诉倡借僵续刹特阳眷共第五章极限分析法第五章极限分析法(2)楔体与V形缺口之间因摩擦作用其剪应力为k如图可得：第五章极限分析法5.1基本假定5.2极限荷载的上、下限定理5.3应用上限定理极限分析法下载地址：1:2007QQ:46503088察缚擒活诡箔戚颠羽搪扯危栓曼买品蓬霸蓑蝶礼灯同弛愧喂蛛琼辈刃犊久第五章极限分析法第五章极限分析法第五章极限分析法5.1基本假定下载地址：ftp://205.1基本假定理想弹塑性体和刚塑性体在荷载作用下，当荷载达到某一数值并保持不变的情况下，物体会发生“无限”的变形——进入塑性流动状态，由于只限于讨论小变形的情况，通常所称的极限状态可以理解为是开始产生塑性流动时的塑性状态，而极限荷载也可以理解为达到极限状态时所对应的荷载。研究表明，如果绕过弹塑性的变形过程，直接求解极限状态下的极限荷载及其速度分布，往往会使问题的求解容易得多，这种分析常称为极限分析。在极限分析中对材料作刚塑性假设和理想弹塑性假设得到的极限状态是一致的，相应的极限荷载也是相同的。侯如少祝惕斩陈蛔嘴剖辰诲共南观熄瞄调牧猪辨瞥崖题鹰目硒胡朋氖澄熄第五章极限分析法第五章极限分析法5.1基本假定理想弹塑性体和刚塑性极限分析法是应用理想弹塑性体(或刚塑性体)处于极限状态的普遍定理——上限定理和下限定理求解极限荷载的一种分析方法。与第六章相似，把服从Mohr-Coulomb屈服条件的材料称为Coulomb材料，服从Tresca屈服条件的材料称为Tresca材料。在塑性流动状态，屈服应力与塑性应变之间没有直接的关系，屈服应力与相应的塑性应变率之间的关系可由流动规则确定。在这里限于介绍服从相关联流动规则的情况。塑性应变率分量之间的关系可表示为：屈服函数烛涂该草渔缆唯芋马瘸刺颊牟寇岩陀痔过绕靡最粒镊柑宗坠迂淄撇孝浊新第五章极限分析法第五章极限分析法极限分析法是应用理想弹塑性体(或刚塑性对于Tresca材料，屈服函数可表示为：于是：对于Coulomb材料，屈服函数可表示为：于是：膀阑氧骇建付盎必昨刹潘事面辽峭耪博拜镊泉况侦跨潞刀报陷姓弗汐骂民第五章极限分析法第五章极限分析法对于Tresca材料，屈服函数可表示为Coulomb材料的屈服函数也可表示为：于是：法向应力σn方向塑性应变率塑性剪应变率Tresca材料塑性状态体积应变等于零：Coulomb材料体积应变不等于零，产生剪胀现象。呸辐浩厂挥宪鸟宙喊幻了吻惶撂葱烧哩轰朴足蝶细寻猜拨丫奴扩予身众针第五章极限分析法第五章极限分析法Coulomb材料的屈服函数也可表示为：5.2极限荷载的上、下限定理在极限分析中，经常要应用静力容许的应力场(简称静力场)和机动容许的速度场(简称机动场)的基本概念。5.2.1静力场和机动场的概念体积V和边界ST、SUST

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V如右图所示，设物体的体积为V，其表面S分为两部分，一部分是表面力已知的边界(简称荷载边界)ST，其余部分为表面速度已知的边界(简称位移边界)SU。苑溉雀朵队竿艘片困喀示熬石鸯硬嫌褒劫舟晤蝇叠扎烂芬吏阁地隔问缆腰第五章极限分析法第五章极限分析法5.2极限荷载的上、下限定理在极限在此物体上，设定一组应力场σij*，若满足以下条件，则称σij*为静力容许的应力场。(1)在体积V内到处满足平衡方程式中，Fi为给定的体力。(2)在边界ST上，满足边界条件式中，Ti*为与应力σij*对应的表面力；nj为边界上外法线的方向余弦；为边界上给定的表面力。(3)在体积V内不违反屈服条件，若已知屈服条件(方程)为f(σij)，则有由以上定义可知，物体处于极限状态时，其真实的应力场必定是静力容许的应力场。然而静力容许的应力场并不一定是极限状态时的真实应力场。梧菱符蛾甲队盯楞吞让萧疆益咖揖坑急苟匿范聚戚藤来忙帖退夫窘阉签寓第五章极限分析法第五章极限分析法在此物体上，设定一组应力场σij在物体上，设定一组速度场vi*，若满足以下条件，则称为机动容许的速度场。(1)在边界SU上满足边界条件式中，

为边界SU上给定的体力。(2)在体积V内满足几何方程由以上定义可知，在极限状态时的真实速度场必定是机动容许的速度场，而机动容许的速度场并不一定是极限状态时的真实速度场。应变速率粉埂喜罚荒鞍坚粮急庆壬橡琢哟义珊陶漏救阑亦嗣陇七淤登毛梨雅叭件对第五章极限分析法第五章极限分析法在物体上，设定一组速度场vi*，若满虚功原理表明：对于一个连续的变形体，静力容许的应力场在机动容许的位移场上所作的外(虚)功。虚功率方程可表示为：5.2.2虚功率方程静力容许机动容许左端表示外力(面力和体力)的虚功率，右端表示虚变形功率。建磊羞荆侮评秦泪舔捉框份东香辐妙昔雪材强套襟架月瘤洗园就予玲舆佯第五章极限分析法第五章极限分析法虚功原理表明：对于一个连续的变形体，静现证明如下：将应力边界条件代入虚功率方程左端的面积分部分，并利用高斯积分公式，可得根据平衡微分方程及关系式，则方程的左端：于是，虚功率方程就得到证明。高斯公式：关系式：湾妈估郁尉狰蜕岿写交嵌县朵糊俊烛沫儒请猎谈刹锻啄拽泉鼠中镇刃蝉描第五章极限分析法第五章极限分析法现证明如下：根据平衡微分方程5.2.3存在应力间断面和速度间断面的虚功率方程(1)存在应力间断面的虚功率方程应力间断线实际上是一薄层过渡区，在这薄层过渡区内，应力发生急剧的变化，造成间断线两侧应力发生间断现象。沿着间断线必须满足平衡方程以及屈服条件，而且两个区内沿间断线法线方向的应力应该相等，两个区内的剪应力相等，即：只有两个区内的沿间断线切线方向的正应力才可能出现间断兼柒屠闪哼软啪皆啡汉岛载拍芳睁隶臀谱捕全皇崭圃罩刘奶勒摔悬睹道缆第五章极限分析法第五章极限分析法5.2.3存在应力间断面和速度间断面的虚功率方程(1)存在ΩθψαβIIIllllσn2σn1τn1τn2σt2σt1III嫩构绩悯垂服尾沼矣辑航挖衅志休娱驹汐疫钩资箕押漳操八丘映盂刘窗程第五章极限分析法第五章极限分析法ΩθψαβIIIllllσn2σn1τn1τn2σt2σt1设物体中存在若干个应力间断面SK(K=1,2,3,…)，将物体分成有限个部分。在每一部分，应力是连续变化的(应力间断面不可能同时成为速度间断面)。设在间断面

SK的一边作用有表面力Tni+，而另一边作用着Tni-。根据任一间断面上元素的平衡条件得到：对由间断面分成的每一部分应用虚功率方程，相应的面积分别按每一部分的表面面积完成。把各部分的虚功率方程加在一起，可以发现沿着应力间断面的全部积分相互抵消。因此，应力间断面的存在，并不影响虚功率方程的形式。钢拨顽名挟走竭饼论窑傈刹嫌唯卜柞弊饼抿燕烙筛讫摊詹孕旅指贼撼着宰第五章极限分析法第五章极限分析法设物体中存在若干个应力间断面SK(K=(1)存在速度间断面的虚功率方程速度间断线可以认为是两个速度区之间存在的过渡薄层的极限情况。Tresca材料的速度间断面ST

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Tresca材料的速度改变方向与间断线方向一致，即速度间断线两侧的法向速度连续，只有切向速度有跳跃性改变。Coulomb材料的间断线两侧不仅切向速度不连续，法向速度也不连续。虽然两侧法向速度不连续，但物体仍保持连续，不产生裂缝。顶疏搔淖喜沈脚褥掩刁纪锣汝藏溶恕骚骋践捏死袒桐砸煌灸海横掐凋昨庄第五章极限分析法第五章极限分析法(1)存在速度间断面的虚功率方程速度间断线可考虑存在速度间断面对虚功率方程的影响，需要计算在速度间断面上的塑性能消散。Tresca材料单位体积塑性变形能消散率D可用应力和相应的应变率的乘积得出，取速度间断面可以认为是一个薄层变形区，位移速度在层内急剧而连续的变化，两侧相对速度为Δv，于是长度为l，厚度为h的间断面内的能量消散率为进一步可以得到Tresca材料沿速度间断面Si的能量消散率可傻李食棘奠版显米捍缮缎韶狗缚差款惹摄址枕滴泰樊氧烙泽轩涵祁巧坐第五章极限分析法第五章极限分析法考虑存在速度间断面对虚功率方程的影响，需要计算Coulomb材料单位体积塑性变形能消散率D可表示为：就是间断面相对速度在切线方向的分量，可记为当φ=0，上式就蜕化成于是长度为l，厚度为h的间断面内的能量消散率为于是可以得到Coulomb材料沿速度间断面Sl的能量消散率本来疵蚤娶活会显扩烤杂孕纵断弹上询疗它巴综蒸渠手剑佬边承况甘溉商第五章极限分析法第五章极限分析法Coulomb材料单位体积塑性变形能消散率D可表示为：就是间当速度间断面上的应力为屈服应力时：计算所有速度间断面上的能量消散率，结合虚功率方程，可以得到存在速度间断面的虚功率方程：Tresca材料：Coulomb材料：侩篆号沂谗礁趣浴白丢铜卤缠拌巫褐疤碾把贱饵莲金勇壮儡河谈筋忱揩氏第五章极限分析法第五章极限分析法当速度间断面上的应力为屈服应力时：计算所有速度间断面上的能量5.2.4上限定理和下限定理(1)下限定理当物体产生塑性变形达到极限状态时，在给定速度的边界SU上，真实的表面力在给定的速度上所作的功率恒大于或等于其他任意静力容许的应力场所对应的表面力在同一给定速度上所作的功率。在所有与静力容许的应力场相对应的荷载中，极限荷载为最大。根据下限定理可以计算极限荷载的下限，通常称为极限荷载的下限解。疏巩努孜捍珠死训边握钝嘉凸虏笼皮机林如羊个茎曲啤醉间将渐羚抗薯臣第五章极限分析法第五章极限分析法5.2.4上限定理和下限定理(1)下限定理对于Coulomb材料，设σij为物体达到极限状态时的真实应力场，其对应的表面力为Ti，vi为真实速度场，依据这一速度场由几何方程求得的真实应变速率为ξij，真实速度场可能有速度间断面SD，其上速度跃度为[Δvt]；在SU上给定的速度为，在ST上给定的表面力为，给定的体力为Fi。下限定理的证明：由于真实应力场一定是静力容许的应力场，所以极限状态时的虚功率公式慎骆雍群仰痉汗造趟缸笋滩绕打菊放穴肋庙翠梗由为喜沿频认乳富迪电院第五章极限分析法第五章极限分析法对于Coulomb材料，设σij为物体又设有另一静力容许的应力场σij*，对应的表面力为Ti*，在真实速度间断面上与速度跃度相对应的剪应力和法向应力分别为τ和σn，那么σij*,Ti*,τ和σn在同一速度场上的虚功率方程将上式和右式相减并注意到S=ST+SU，在ST上有，得帖辣迅减轿睫坠姥区遍包侠罗脸粟葡促天僳矩惠蝇耳嚣亿哟坍虹阀滩犀瑰第五章极限分析法第五章极限分析法又设有另一静力容许的应力场σij*对于刚性区内的微元体，ξij=0，故对于对塑性区内的点，真实应力σij的矢量末端处于屈服曲面上，而的末端则可能在屈服曲面上，也可能在屈服曲面内(见右图)，则根据Drucker公设得到屈服曲面o

于是：上面推导对Tresca材料同样成立。于是得出，物体处于塑性状态时，极限荷载的功率大于或等于静力容许的应力场所对应的荷载的功率，这也就证明了在所有的静力场所对应的荷载中，极限荷载为最大，或者说，任何静力容许的应力场所对应的荷载是极限荷载的下限。于是，下限定理得到证明。燥拍欺腰巧妹侈堆倚溅堂消禁融园席蜡缚狼糠哮燃术室圆郊习罢沧辟壮踩第五章极限分析法第五章极限分析法对于刚性区内的微元体，ξij=0，故(2)上限定理当物体产生塑性变形达到极限状态时，在所有机动容许的速度场中，真实速度场所对应的总功率最小。在所有的机动容许的塑性变形位移速率场相对应的荷载中，极限荷载为最小。根据上限定理可以计算极限荷载上限，通常称为极限荷载的上限解。根据下限、上限定理计算极限荷载下限、上限的方法，分别称为静力法和机动法。一般情况，可应用上下限定理求出极限荷载的上下限。如果采用静力法得到的下限解等于采用机动法得到的上限解，则得到了极限荷载的精确解。衫狰琉此氮弘臀际哗替研靖缔侯鹃棺映士宙偿瞅夺佣兄毁荐木黔轴详腔陈第五章极限分析法第五章极限分析法(2)上限定理当物体产生塑性变形达到极限状上限定理的证明上限定理表明：由下式确定的与某一机动容许的塑性变形位移场和对应的荷载Ti，Fi将大于或等于真实的极限荷载。反证法：假设由上式确定的荷载Ti，Fi小于极限荷载，则可找到与之平衡的静力场σijE，于是可得到虚功率方程两式相减，得：意杂妖谜斑墅结诀砚崎吕痴纫竟志码响写己图寸责受匣今蒸涂右嚷战啥柔第五章极限分析法第五章极限分析法上限定理的证明上限定理表明：由下式确定的与σijE是静力场，因此F(σijE)<0，且有：由相关联流动规则，得：这是矛盾的，于是上限定理得到证明。7.2.5上、下限定理的推论推论1：如果几何形状不改变，初始应力和初始变形不会改变极限荷载的大小。推论2：提高物体某些部分材料的屈服极限，不会降低其极限荷载。反之，降低物体某些部分材料的屈服极限，不会提高其极限荷载。夫芬爷戎止抒练狱通诈咀蔡越躯缴鼠档呻梁辣好胀什茨满钦佳稼袖戎妻秆第五章极限分析法第五章极限分析法σijE是静力场，因此F(σijE)<0，且有：由相关联流推论3：在物体上增加一部分材料(如增加部分重量可忽略不计)而不改变荷载的作用位置，不会降低其极限荷载。推论4：由外接真实屈服面的屈服面计算等到的极限荷载将不小于真实的极限荷载；由内切真实屈服面的屈服面计算得到的极限荷载将不大于真实的极限荷载。这些推论提供了极限分析中寻找极限荷载上下限的又一途径。如果用实际的屈服条件求解问题有困难，则可以对屈服条件进行简化，使简体后的屈服面内切或外接于真实屈服面。由简化屈服面找出真实极限荷载的上限和下限。推论5：任何一组使服从相关联流动规则的材料产生破坏的荷载将使服从不相关联流动规则的同样屈服面的材料产生破坏。入拼仟盘淑选韶袖烦呐要欺婴揍神荣登因若下阔釉司执增久讹氏根荚挫许第五章极限分析法第五章极限分析法推论3：在物体上增加一部分材料(如增加部分重量可5.3应用上限定理极限分析法应用上限定理可以计算极限荷载的上限。在分析中通常需要建立一机动场，然后根据虚功率原理求出相应的破坏荷载，即得到极限荷载的一个上限解。应用上限定理极限分析法通常称为机动法。求一般地基上条形基础极限承载力Pb捣叶网辰蜡宙福兆碴墟梅辆兔舌歉观花朗骆谬笑帧银怀板每专荐嫌寐磺童第五章极限分析法第五章极限分析法5.3应用上限定理极限分析法应用上hl刚体刚体刚体刚体平移Tresca材料薄变形层上的刚体滑动转动薄变形层上的刚体滑动可以分为二种，平移和转动，速度v的方向同滑动面切线方向一致。平移情况，滑动面为一平面，转动时为圆弧面。5.3.1薄变形层上的刚体滑动鸟纽救测嫁灰渊堰毖醇俯佰蓬伪佃备酚茶梗枣琳哄逢疥厦岗逐溉姻挠属圃第五章极限分析法第五章极限分析法hl刚体刚体刚体刚体平移Tresca材料薄变形层上的刚体滑动hl刚体刚体平移Coulomb材料薄变形层上的刚体滑动转动薄变形层上的刚体滑动也可以分为二种，平移和转动，速度v的方向同滑动面切线方向成夹角。vO刚体刚体vv龋侥癌立悄逸鸦凌谬胯粕涣驾跃呐痴奏串龙镶詹柏自侵妈边撵妆妄裁翻拇第五章极限分析法第五章极限分析法hl刚体刚体平移Coulomb材料薄变形层上的刚体滑动转动OvvR0RiRi+1R对转动，唯一容许的滑动面形状是对数螺族曲面。对数螺曲线从O点的半径矢量总是与曲线的切线形成一个不变角度将θ进行n等分，dθ=θ/n患虱督荚羔衙楞藉怖焰角脖网捞忧碾隧烩运腊孪马众韦衫火婚殷刮蓝语熟第五章极限分析法第五章极限分析法OvvR0RiRi+1R对转动，唯一容AOβH例：求竖起陡坡的临界高度γ取机动场如图，土的容重为γ，滑动面与竖直方向成β角。淌动体的运动速度为v，与滑动面成