理论力学课件

§6-2动力学方程应用背景22021/11/7§6-2

动力学方程问题1：已知二

度陀螺的运动，如何求轴承C,D的约束力。问题2：硬盘工作时，搬动计算机，为什么易损毁硬盘？32021/11/7§6-2动力学方程计算机硬盘结构示意图定点运动刚体动力学问题：研究力与运动间的关系。问题：用什么方法建立力与运动的关系。42021/11/7§6-2动力学方程一、刚体定点运动的动量矩Ox’y’z’为随体参考系

Oxyz

为惯性参考系刚体对O点的动量矩：

M

MoL

r

vdm

r

(

r)dm

M

[(r

r)

(

r)r]dm上述矢量在不同参考系中可分别表示为：y'xyzx'z'or若在Oxyz

参考系中：xi

,yi

,zi

(i

1,2,);x

,y

,z若在

Ox’y’z’

参考系中：

i',

j',

k';x'

,y'

,z

'是随时间t变化的量是随时间t变化的量r

xi

yj

zk

or

r

x

'

i

'

y

'

j

'

z

'

k

'ω

x

i

y

j

z

k

or

ω

x

'i

'

y

'

j

'

z

'k

'52021/11/7Loi

ri

mi

vi

ri

mi

(

ri

)

mi

ri

(

ri

)

mi

[(ri

ri

)

(

ri

)ri

]§6-2

动力学方程用随体坐标系描述定点运动刚体对固定点O

的动量矩设：mi

是定点运动刚体上的一个质点，其对O

点的动量矩：y'xyzri

x

'i

i

'

y

'i

j

'

z

'i

k

'

x'z'orL

m

[(x'2

y'2

z'2

)

(

x'

y'

z'

)r

]Oi

i

i

i

i

x'

i

y'

i z

'

i

i[m'''(x''y')z]x'

zy

22

k'

'[2'2('m''')x']x'yyzz

j'

''''

''i

my''x')z'x'']y'ziiixiiyiiziiixiiyiizOi

iiixiiyiiz22L

[(整个刚体对O点的动量矩：LO

LOiω

x

'i

'

y

'

j

'

z

'k

',62021/11/7§6-2动力学方程

(x'2

y'2

)

]k'i

i z

'L

m

[(

y'2

z'2

)Oi

i

i

i

x'i

i y

'

y'

z'

i

i

x'i

i z

'

y'

z'

]

j'y

'

(x'2

z'2

)i

ii

i

x'i

i z

'

x'

z'

]i'i

i y

'

x'

y'

i

m

[x'

z'

i

m

[x'

y'

y

z

x

y'['2'(2'''])'

k'

iiiixiziiy

''''

iiiiyiixiz

y

'[(z'''')]''

j

x

z22

''

ix'iiiiiyiz

'

z22

x

y

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'z'')'']''

i

m

[(

yLO

LOim

x

y

m

x

z

'x'''x''z'']yi'xz

JL

[J

J

[Jx'y'x'

J

y'y'

J

y'z

'z

'

]

j'[J

x'z

'x'

J

y'z

'y'

J

y'z

'

]k'

LOx

'i'LOy

'

j'LOz

'k'：定点运动刚体动量矩的最简表达式72021/11/7§6-2动力学方程

Loz

'Lox'

LO

LOx'i'LOy

'

j'LOz

'k'

[i'

j'

k']Loy'

Jx'z'

x'

J

z'

z'

J

y'z'

y'

x'

y'

Jx'z'

JJx'

Jx'

y'J

y'

J

y'z'oy'Loz'

L

Lox'

刚体对O点的动量矩：LOx

'

J'y'y'

Jx'z

'z

'LOy

'

Jx'

y'x'

J

y'y'

J

y'z'z'LOz

'

Jx'z'x'

J

y'z'y'

J

y'z'x''y'

yx'

y

'

yz''J''y'J'z'

zJ

z

'

JJJ

(*)xy

JJ'x'''zJ

x'

oy'

Loz'

Lox'

L[''[']i''L']jikjkxzO问题：式（*）能否进一步简化？方法：对称矩阵经过正交变换后可化成对角矩阵。82021/11/7§6-2动力学方程如果x’

y’

z’是刚体的惯量主轴Lo

Jx'x'i'J

y'y'

j'Jz'z'k'

y'

Jz'

z'

0

0

x'

0

0y'Jx'0Jx

'

z

'

Jx

'

y

'

Jy

'

z

'

0J

z'''''

z'

y

z''

y'

J

[i'

j'k']

0

JJ

x

z''''

x'

J

x

zJ

x

yx

y

J

y'''J

y

z

J

x'L

i j

k'']'[

JO问题：LO与是否共线，在什么情况下共线？结论：当且仅当刚体绕惯量主轴转动时，Lo与共线。92021/11/7xCAB§6-2

动力学方程，质心在AB轴的中点，长边为a，短边为b,AB=2L，求图示瞬时均质板对C点和AB轴的动量矩。若板的角速度为常量，求板对质心C和对x轴的动量矩及其对时间的导数例：已知：m,a,b,x'y'y

x

'y

'LC

Jx'x'i'J

y'y'

j'Jz

'z

'k'

x'i'y'

j'z

'k'oL1

1Jx'

mb2

,

J

y'

ma212

12x'

cos

,y'

sin

z'

012CL

1

m(b2

cos

i'a2

sin

j')

(cos

i'sin

j')1、求板对质心C的动量矩102021/11/7§6-2动力学方程12

1

m(a2

sin

2

b2

cos2

)问题：如何求板对AB轴的转动惯量？xCABx'y'y

x

'y

'LoL12CL

1

m(b2

cos

i'a2

sin

j')

i2、求板对x

轴的动量矩Lx

LC

i3、求板对质心C的动量矩对时间的导数

1

m[b2

cos

d

(

i')

a2

sin

d

(

j')]

d

(i')

i'

sin

k'12

dt

dt

dtCL

1

m

2

cos

sin

[a2

b2

]k'

d

(

j')

j'

cosk'12

dtCL112021/11/712§6-2

动力学方程xCABx'y'y

x

'y

'oL12CL

1

m(b2

cos

i'a2

sin

j')

(cos

i'sin

j')若Lo与共线LC

0若上式成立，有：sin

cos

(a2

b2

)

0验证：当且仅当刚体绕惯量主轴转动时，Lo与共线sin

cos

(a2

b2

)

012a2sin

sinb2

coscos12m

2m

2则：x

轴为惯量主轴

msin

cos

(a2

b2

)

012x轴为惯量主轴的充要条件：Jxy2021/11/7§6-2

动力学方程问题

:作定轴转动刚体的动量守恒、动能守恒，则对质心的动量矩：

。A：一定守恒；B：一定不守恒；C：不一定守恒。xCABx'y'yx

'y

'Lo

j's12

i

a2CL

1

m

b2

(cos

i'sin

j')132021/11/72021/11/7§6-2

动力学方程例：求质量为m半径为R的均质圆盘对O点的动量矩。1,2Lo

Jx'x'i'J

y'y'

j'Jz'z'k'2

4y

'z

'

x'J

1

mR2

,

J

J

1

mR2z'x'y'21z

'

12

cosy'x'

2

sin

,4112o

2

2

i

j

k'2L

mR

41114

2

2

k

2

k')L

mR

(O

x'i'y'

j'z

'k'另一种计算方法：LO

ri

mi

vaiLO

riri

mi

vrimi

vei§6-2动力学方程二、刚体定点运动的动力学方程LO

Jx'x'i'y'

y'

MO

(F

)(e)dtdLO'

y

'

J

z

'

z

'

(J

y

'

J

x'

)x'y

'

M

z

'

J

z

'

)x'z

'y

'

y

'

x'J

(JMJxyzx'oz'y'注：随体轴为惯量主轴152021/11/7§6-2

动力学方程，质心C在AB轴的中点，长边为a，短边为b,

AB=2L，

求图示瞬时轴承A、B的约束力。例：已知：m,a,b,x'y'xCBFAyFByyaA

bFAz'FBz'mg问题1：如果板不转动，如何求约束力？C

C

MmaC

FLrAy

By2F

F

1

mgFAz

'

FBz

'

0

F

0

MC

0问题2：如果板转动，如何求约束力？

a

0C

C

MC 0

FLr问题：有几个独立的方程？162021/11/7§6-2动力学方程'

J

z'

z'

(J

y'

Jx'

)x'y'

M

z'

J

y'

y'

(Jx'

J

z'

)x'z'

M

y'

Jz'y'x'

cos

,

sin

,

0x'y'xCBFAyFBymgyabAFAz'FBz'x

'

y

'FAz

'L

sin

FBz

'L

sin

0FAz

'L

cos

FBz

'L

cos

0m(b

a

)

sin

2

FBy

L

FAy

L24

1

2

2

2

Fy

0

Fx

0

0

0

Fz

0

FAz

'

FBz

'

0FAy

FBy

mg

0z'

x'

0,

y'

0,

0AC=CB=L172021/11/7问题：A、B处哪个18约束力大？§6-2

动力学方程x'y'x用动量矩定理解释附加动反力产生的原因yCAB

x

'

y

'LC

1

ma2

sin

j'12对C点的动量矩矢量的大小不变，并且始终位于板内12CL

1

mb2

cos

i'CL的方向垂直于屏幕向内LC

MC

(F

)A、B处约束力对C点之矩也应垂直于屏幕向内。FAyFBy

b2

)

2

sin

22F

1

mg

m

(aBy

2

48LFAz

'

FBz

'

02021/11/7AyF

1

mg

m

(a2

b2

)

2

sin

22

48L2021/11/7 0

F

LO

MO19§6-2

动力学方程例：求支架C,D的约束力。已知：m，R

，CD=2L1,2问题1：如果圆盘不转动，如何求约束力？Cz

Dz2F

F

1

mg

FDy

0FCy

MO

0F

0FCzFDzmaC

FLO

MO

aC

0问题2：如果圆盘转动，如何求约束力？1,2大小为常量§6-2

动力学方程41y

'

J

mR221x'z

'J

mR2

,

Jx'

2

sin

,y'

2

cosz'x'y'21J

z'

z'

(J

y'

Jx'

)x'y'

M

z'

J

y'

y'

(Jx'

J

z'

)x'z'

M

y'

Jx'

x'

(Jz'

J

y'

)y'z'

M

x'

z

'

1

z

'

0

x'

21

cos

,

y'

21

sinL