高数下册课件-对弧长和曲线积分

第一节对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的背景二、对弧长的曲线积分的概念与性质三、对弧长的曲线积分的计算法第十一章机动上页下页返回结束分割M1

,

M2

,,

Mn1

si

,(i

,i

)

si

,Ai

h(i

,i

)

si

.ni

1h(i

,i

)

si

.取极限0A

lim近似

求和一、对弧长的曲线积分背景1.几何背景

柱面的面积设柱面∑是母线平行z轴，准线为xoy面上曲线L其高度为hx,y,

x,y

L，求柱面的面积.取zxyoLz

h(x,

y)MiMi1siAi机动上页下页返回结束AB假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB

,

其线密度为求此构件的质量。可得nk

1M

Mk

skMk

1(k

,k

,

k

)2.物理背景曲线形构件的质量分割近似

求和取极限机动上页下页返回结束ni

1一点,②作乘积f

(i

,i

)

si

,③并作和

f

(i

,i

)

si

,④如果当各小弧段的长度的最大值

0时,Oxy2MABMn1isMi

1L(

,

)M1i i

Mi二、对弧长的曲线积分的概念与性质1.定义

设L为

xOy面内一条光滑曲线弧,①函数

f

(

x,

y)在L上有界.

在L上任意

一点列M1

,M2

,,Mn1

把L分成n个小段.设第i个小段的长度为si

,又(i

,i

)为第i个小段上任意取定的机动上页下页返回结束即f

(

x,

y)ds

L这和的极限存在,则称此极限为数量值函数f

(x,y)在曲线L上的曲线积分,或第一类曲线积分

(对弧长的曲线积分).积分和式弧长元素记作L

f

(x,y)ds,积分曲线n

f

(i

,i

)

sii

1被积函数nii

ii1f

(

,

)

slim0机动上页下页返回结束2.

存在条件当

f

(

x,

y)在光滑曲线弧L上连续,3.

推广函数f

(x,y,z)在空间曲线弧上的第一类曲线积分为n或者f

(x,y)有界,并只有有限个间断点时,第一类曲线积分L

f

(x,y)ds

存在.

0

i

1

f

(

x,

y,

z)ds

lim

f

(i

,i,

i

)

si机动上页下页返回结束柱面的面积LA

h

x,

yds注1曲线形构件的质量

M

x,y,z

ds与积分路径的方向无关,

即f

(

x,

y)ds

L(

AB)

⌒Lf

(

x,

y)ds(BA)

⌒注2如果f

(x,y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作L

f

(x,y)ds注3机动上页下页返回结束性质1（线性性质）

f

(

x,

y,

z)

g(

x,

y,

z)

ds(

由

组成)性质3（归一性质）(l

为曲线弧

的长度)12

f

(

x,

y,

z)ds

f

(

x,

y,

z)ds

f

(

x,

y,

z)ds

g(

x,

y,

z)ds（k

为常数)性质2（对曲线的可加性）f

(

x,

y,

z)ds机动上页下页返回结束22f

[

(t

)

,Lf

(

x,

y)ds

(t

)]

(t

)

(t

)

dt

三、对弧长的曲线积分的计算法转化基本思路:

求曲线积分

计算定积分定理:

设且(

t

)是定义在光滑曲线弧

x

t

L

:

y

t

上的连续函数,则曲线积分机动上页下页返回结束dxd

ydsxyo注1弧微分

ds

(d

x)2

(d

y)2

2

(t

)

2

(t

)

dtx注2

sk

0,

tk

0,

因此积分限必须满足

!（即积分上限大于下限）注3常见曲线类型（1）

L

:

y

(

x)

(a

x

b

),视x为参数f

(

x,

y)dsLf

(

x,

(

x))ba1

2

(

x)

dxds

1

2

(

x)dx机动上页下页返回结束视y

为参数c

y

dL(2)

L

:

x

(

y),dcds

1

2

(

y)dyf

(

x,

y)ds

f

[(

y),

y]21

(

y)dy(c

d

)L

f

(

x,

y)dsf

[r(机动上页下页返回结束

)cos

,

r(

)sin

]视

为参数r

2

(

)

r2

(

)d(3)

L

:

r

r(

),

x

r(

)cos

y

r(

)sin(

)(

t

)推广

:

x

(t

),

y

(t

),

z

(t

)

f

(

x,

y,

z)ds2

2

2

f

[(t

),

(t

),(t

)]

(t

)

(t

)

(t

)dt(

)

2

z

g(x,y)

或

(

x,

y,

z)

0z

f

(

x,

y)1

(

x,

y,

z)

0此时需把它化为参数方程(选择x,y,z中某一个为参数),再按上述方法计算.如果积分路径L是两个曲面的交线机动上页下页返回结束解例2

求I

xyzds,其中

:

x

a

cos

,z

k

的一段. (0

2

)y

a

sin

,解2I

02a

cos

sin

k

2

a2

1ka2

k

22上自原点到Lyds,其中L为y

2

x例1求I

(2,2)的一段.y2

2x

x

20yI

13(5 5

1)2y2a2

k

2d21

y

dy对x积分?(0

y

2)y2

2x(2,2)xyO例3.计算I

(x2

y2

)ds,其中L为x2

y2

a2

,x

0,y

0所围解:x2

y2

a2y

0

Aa

xL区域的整个边界.L

OA

OB

AB(1)

OA

:

y

0,

0

x

a，1I

x2ds

OA

0

2x

1

0dx

1

a3，oa32(2)

OB:

x

0,0

y

a，I

y2ds

OB03ay21

0dy

1

a3

.AB3(3)

AB:

y

a2

x2

,0

x

a,

I

4a2ds

a2

1

2a.1所以I

I2

33

3

2

3

2

I

I

1

a3

1

a3

1

a3

(2

1

)a3yＢx

0L计算

ex2

y2

ds,

L

:由圆周x2

y2

a2

,直线y

x及x轴在第一象限中所围图形的边界.ABLx2

y2ds

OA

AB⌒

BO提示

e

解OA

:y

0,0

x

a,ds

e

dsx

y2

2OA4A⌒B

:

x

a

cos

,

y

a

sin

,

0

A⌒Bxe

ds

2

y204ae

ad

axe

dx

0a1

02dxe

1aea4xyOABe

dsx2

y2BO2a2x20

1ae

2dx

eL故

e4x2

y2

ds

2(ea

1)

aea22

a.BO

:

y

x,

0

x

ds

1

12dxxyO例4.

计算

其中L为双纽线(

a

0)(

x2

y2

)

2

a2

(

x2

y2

)解:在极坐标系下它在第一象限部分为L1

:

r

a

cos

2

(0

4

)利用对称性,

得r

2

(

)

r2

(

)

d0

4

4

r

cos0

4

4

a2

cos

dyox机动上页 下页 返回 结束y2

4xox1-22y例5.计算I

Lyds,L：y

4x,从(1,2)到(1,

2)的一段弧.2解:分析:

若

L:

y

2

x222y

1

(

y)2

dy

0I

需要分段计算，较复杂.L:

x

1

y2

,

2

y

2,4注意到：Ｌ关于x轴对称，被积函数关于y是奇函数.若L关于y轴对称，则f

(x,

y)

f

(x,

y)，0，f

(x,

y)ds，f

(

x,

y)

f

(

x,

y)，1L

f

(

x,

y)ds

2

LLL1Ox若L关于x轴对称，则LL1OxyLf

(

x,

y)ds

2f

(x,y)

f

(x,

y)，f

(

x,

y)

f

(

x,

y)，0，L1f

(x,

y)ds，重要结论结论1

利用奇偶对称性计算第一型曲线积分！yf

(x,y,z)关于z是奇函数，

f

(x,y,z)ds，f

(x,y,z)关于z是偶函数.结论2

利用轮换对称性计算第一型曲线积分！若L关于y

x轴对称，则L

f

(

x,

y)ds

L

f

(

y,

x)ds.注:对空间曲线上的第一类曲线积分也有类似的性质.如.若

关于xoy面对称，则0，1

f

(x,

y,

z)ds

2

上半曲线L(

x

y

)ds.3其中L是圆周222x

y

R

.例6

计算解

L

Lxds

y

ds3(

x

y

)dsL3LLy

ds,3对被积函数y3y3ds

0L因积分曲线L关于x2

y2

R2线性性,得

0对

xds,因积分曲线L关于y轴对称,被积函