复习and考试1随机变量及其分布

1.1

随

量及其分布随量的引进,是概率论研究的重大事件，在随量引进之前，只是孤立地研究一个或几个事件，引进随量后，可用联系的观点来研究问题，进而把所有事件都联系起来。随量的引进，使得还可以利用其他的数学工具来研究概率论中的问题。一、随

量的概念有些随机试验的结果本身就是数量。例1：投一枚 所得的点数，这时基本空间={1，……，6}

，例2：对于某 总机在时间(0,T]内收到的呼叫次数，这时基本空间

={0,1，2，……,k，……}，k表示在(0,T]内收到k次呼叫。有些随机试验的结果本身不是数量，但可以用数量来表示。=“正面向例2中，取例3

抛一枚硬币，可能结果：1上”，

2

=“向上”，基本空间={

1

，

2}，但如果分别用0，1表示“

向上”和“正面向上”，则基本空间可以表示为

={0,1}。在上述例子中，很容易建立“样本点”与“数”之间的对应关系，即对每一样本点

，可有一个数

(

)

与之对应。在例1,

(

)

,在例3中，取

(

1)

1,

(

2

)

0

。把这种定义在基本空间上的函数

(

)称为随

量。这种函数的取值是不能预先确定的，是随机的，因而称为随

量。定义设E是一个随机试验，Ω是其基本空间．若基本空间上的单值实函数满足：对于任意实数x,

(),(

):

()

x

是随机事件，

则称

是随量。二、离散型随量的概率分布定义若随 量

X

的可能取值是有限个或可列个,

则称

X

为离散型随

量描述X的概率特性常用分布列表示P

(

X

xk

)

pk

,

k

1,2,即或x1

x2

xk

p1

p2

pk

XP(X=x)容易看出任何一个离散型随

量的概率函数满足下列的性质p

0,

k1,2,非负性kkp

1规范性k1离散型随量可完全由其分布列来刻划．即离散型随量取值的统计规律性可完全由其的可能取值以及取这些值的概率唯一确定．例

设离散型随 量

X

的分布列为012345131434161616161616XP{X=x}|求P{

X

2

}

,P{

0.5

X

3

}解：

PX

2

PX

0

PX

1

PX

2

1

3

1

516

16

16

16P0.5

X

3

PX

1

PX

2

3

1

416

16

16定义

设

X

为随 量,

x

是任意实数

,称函数F

(x)

P(

X

x),

x

为X的分布函数.由定义知X

落在区间[a,b

)里的概率可用分布函数来计算：P(a

X

b)

P(

X

b)

P(

X

a)

F

(b)

F

(a)三、分布函数分布函数的性质

F

(x

)单调不减，即

x1

x2,

F(x1)

F(x2

)

0

F(x)1

且lim

F

(

x)

1, lim

F

(

x)

0x

x

F

(x

)左连续，即lim

F(t)

F(x)tx0四、离散型随量的分布函数离散型随 量分布函数

分布列例：设离散型随

量X的分布列为：X

－1

2

3P

¼

½

¼求X的分布函数F(x)。解：对x

1,有4F

(x)

P{X

x}

P{X

1}

1

.F(x)

P{X

x}

P{}

0.当1

x

2时，4

2F

(x)

P{X

x}

P{X

1或X

2}

1

1

.当2

x

3,有当x

3时，有F

(x)

P{X

x}

P{}

1.1,

4

3

0,

1

,, 2

x

3,x

3.

1

x

2,x

1,F

(

x

)

4-1

0

1

2

3x分布函数F

(x)在x

=xk

(k

=1,

2,…)处有跳跃，其跳跃值为pk=P{X=xk}.0.2

,0.9

,1F(x)

例 设随 量X的分布函数为

0

,

x

11

x

11

x

2,

x

2F

(x)的间断点xi

,

有P{X

xi}

F

(xi+0)

F(

x

i)若已知X的分布函数为F(x)，则对试写出X的分布列。解：X的分布列为X-112P(X=x)0.20.70.1五、连续型随量及其概率密度定义

设

X

是随 量,

若存在一个非负可积函数

p(

x

),

使得xp(t)dt

x

F(x)

其中F

(x

)是它的分布函数则称X

是连续型随 量，p(

x

)是它的概率密度函数，简称为密度函数或概率密度分布函数与密度函数几何意义xp

(

x)xy

p

(

x

)F

(

x

)-10-550.040.08密度函数p

(x

)的性质p(x)

0p(x)

d

x

F()

1常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续型随量的密度函数在p

(x

)的连续点处，p(x)

F(x)a量X的分布函数为（2）P{-1<X<0.5};（3）X的密度函数p(x).2试求：（1）常数a,b;

bax

, 0

x

1,

x

1例：设连续型随

0,

x

0F

(

x

)

解：（1）b=

limF(x)

1x

0a

a12

F(1)

1（2）P{-1<X<0.5}=F(0.5)-F(-1)=0.25（3）p(x)=2x

,0

x

1,其他1.2

常用的离散型分布一、

分布如果随 量X

的分布律为X

aP(

X=x)

1则称X服从分布或单点分布。Zhu

fengfeng二、两点分布b如果随 量

X的分布律为X

aP(

X=x)1-p

p其中0<p<1.则称X服从两点分布。特别当a=0,b=1时，则称X服从0—1分布。三、二项分布n

重Bernoulli

试验中,X

是事件A

在n

次试验中发生的次数,P

(A)=p,若P(

X

k

)

Ck

pk

(1

p)nk

,

k

0,1,,nn一般地，如果一个随 量

X

的概率函数由上式给出，则称X服从参数为n,

p

的二项分布，记作

X

~

B(n,

p)四、几何分布几何分布的概率背景：在独立重复试验序列中，事件A发生的概率是p

，若用X

记直到A发生为止所需的试验次数，则X

的可能取值为1，2，3，gk;

p

PX

k

qk1p,

q

1

p,

k

1,

2,

3,由于g(k,p)是一个几何数列（等比级数列），因此将上式给出的概率函数的随 量

X称为服从参数为p

的几何分布。例

4

一个人喝醉了酒，回到家门口拿出

准备开门，他共有n把

，其中仅有一把是开此门的。现随机从中取出一把来开门。在试开时每一把

均以1

n

的概率被取用。问此人直到第s

次试开方成功的概率。五、超几何分布NCnP

k

M

N

Mk

0，

1，

，

n其中N，M，n

均为自然数，n

M则称随 量

服从参数为N，

M，n

的超几何分布如果随

量

的分布律为Ck

CnkNC

n超几何分布的概率背景从装有M

个白球，N-M

个红球的袋中不放回地任取n个球,其中恰有k个白球的概率为C

k

C

n

k

M

N

M

六、泊松（Poisson

）分布如果随

量X的概率函数,

k

0,1,2,k

!若

P

(

X

k

)

e

k其中

0

是常数，则称

X

服从参数为

的泊松（Poisson

）分布.

记作

X

~

P()

。应用场合在某个时段内：①大卖场的顾客数；②市级医院数；③

某地区拨错号的

呼唤次数；④某地区发生的交通事故的次数.⑤放射性物质发出的

粒子数；⑥

一匹布上的疵点个数；⑦一个容器中的细菌数；⑧一本书一页中的印刷错误数；1.2.3

常见的连续型分布一、均匀分布若X

的密度函数为

0,

其他

1

,a

x

bp(x)

ba则称

X

服从区间(a

,

b)上的均匀分布，记作

X

~

R(a,b)

。X

的分布函数为xF(x)

1p(t)

dt

,0,

b

a

x

a

x

ba

x

b,x

a,xp

(

x)abxF(

x)ba二、指数分布若

X

的密度函数为0,x

0其他p

(

x

)

e

x

,

>0

为常数则称

X

服从

参数为的指数分布

，记作X

~

E()。X

的分布函数为0,x

01

e

,

x

0F

(

x)

xxp

(

x)0xF(

x)0应用场合用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间问题中的通话时间无线电元件的动物的”指数分布常作为各种“分布的近似三、正态分布e

x

p(x)

2

2若X

的密度函数为(

x

)212

,为常数，

0

，则称X

服从参数为

,

2

的正态分布

，记作

X

~

N

(

,

2

)。正态随 量的分布函数F(

x

)

为xdx

eF

(

x)

(

x

)22

2120

xx密度函数p(x)的性质

图形关于直线x=

对称,即p(

+

x)

=

p(

-

x)

在

x

=

时,

p

(x)

取得最大值p

(x)

曲线

y

=

p(x)

的图形呈单峰状12

密度函数p(x)的两个参数的意义012

x

—位置参数即固定

,对于不同的

,对应的p

(x)的形状不变化，只是位置不同p(x)

—形状参数x0几何意义

大小与曲线陡峭程度成反比固定，对于不同的，p(x)的形状不同.p(x)小大应用场合若随

量ξ

受到众多相互独立的随机

因素的影响,而每一因素的影响都是微小的,

且这些影响可叠加,则

ξ

服从正态分布.各种测量的误差；农作物的收获量；工厂产品的尺寸；学生们的考试成绩；海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度；e

x

标准正态分布N（0，1）当

0,

1时，这时的分布称为标准正态分布，并记密度函数和分布函数分别为x22(x)

x(

x)

t

2e

2

dt

x

1212x

0时，由对称性标准正态分布表0

(

x)-xx(x)

1

(x)x

0

时,直接查表求出(x)

(0)

0.50.10.20.40.30.20.1-3-2-11230.40.31

x

2

3-3

-2

-x

-1P(|

X

|

x)

2(x)

1一般正态分布与标准正态分布的关系满足:F（x）

(x

)若X

~

N

，

2

，则

X的分布函数F（x）结论一般正态分布的概率计算

(

5

2)

(1

2)3

33

1

1

3

1

1

1

0.8413

0.6293

1

0.4706例：设随 量X

~

N

(2,9),求(1)P{1

X

5};

P{|

X

2

|

6};(3)P{X

0}解：⑴

P{1

X

5}

F

(5)

F

(1)⑵

PX

2

6

PX

8

P{

X

4}3

3

1

F

(8)

F

(4)

1

Φ(8

2)

Φ(

4

2)

1

2

2

2

1

2

2

1

0.9772

0.0456⑶

PX

01

PX

03

1

(

0

2)

1

2

2

3

3

0.7486例

(3

原理）设

X

~

N

(

,

2),求

P(|

X

|

3

)

F(

3)F(

3)解P(|

X

|3)

P(3

X

3)

3

3

3

3

0.9974一次试验中,

X

落入区间(

-

3

,

+3

)的概率为

0.9974,

而超出此区间可能性很小由3

原理知:当

a

3时(a)

0,

b

3

时(b)

11.2.4

随量函数的分布作热运动的气体分子的运动速度X是一个2质量）很自然也是一个随

量。一般地，若y

=

f

(x)是一元函数，X是一个随

量，那么Y=f(X)作为随随

量。

要量X的函数，同样也是的问题是如何由X的分布去求Y=f(X)的分布。由于函数关系在现实世界中大量存在，这个问题无论在理论上或是应用中都有重要意义。随

量，它的动能

Y

1

mX

2（m为分子的一、离散型随问题

已知随量函数的分布量X

的分布列，求随机变量Y

的概率分布。例1

已知

X

的概率分布为XP{X=x}-1

0

1

21

1

1

18

8

4

2求Y

1=2X–1

与Y

2=X

2

的分布列解Y

1piY

2pi-3-114131882由此可见，假设随P(X

xk

)

pk

,量X

的分布律为k

1,2,则

Y=g(X)

的概率分布为k:

g

(

xk

)

yipk

,

i

1,2,P(Y

yi

)

二、连续型随问题

已知随量函数的分布量X

的密度函数pX

(x)求

随

量Y=

g

(

X

)的密度函数例已知X

~

N

(0,1),Y=X

2

,求pY

(y)解

从分布函数出发FY

(

y)

P(Y

y)当

y

0

时，FY

(y)

=

0当y>0

时][

yyy[FY

(

y)

P(

X

2

y)

P(

y

X

y

)

FX

(

y)

FX

(

y)FY

(y)

0,

y

0y),

y

0

XXF

(

y)F

(故pY(y)0,y

0(

y

),

y

0y

)

f

1

f (2

yXXpY

(y)

y2

,0,12

y1/

2

ey

0y

0§

1.3量随随量的分布1.2.

条件分布与随

量的独立性1.3.1随量的分布在实际问题中,

试验结果有时需要同时用两个或两个以上的随 量来描述.例如 用温度和风力来描述天气情况.通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究钢的成分.

要研究这些随系,

就需考虑若干个随

变量及其取值规律——量之间的联量,即随机分布.对于随量，当然可以分别研究它们，一个一个的处理，然而这些随数之间可能有联系，把它们作为一个整体来考虑，还可以考虑它们之间的联系。一、随机向量及其分布函数上的随 量，则称X1

(),

X

2

(),,

Xn

()定义

设为随机试验的基本空间，X1

(

),X

2

(

),,Xn

(

)

是定义在基本空间ni1(

Xi

xi

)}

P{（为n维随 量或随机）向量;

称F

(x1,

x2

,,

xn

)

P{X1

x1,

X

2

x2

,

Xn

xn

}量{X1(),X2(),,Xn

()}的联合分布为n维随函数。着重

n=2为了叙述简便起见，的情形，即二维随 量。联合分布函数的性质二维随 量的分布函数F(x,y)满足①

对每个变量单调不减固定x

,对任意的y1<y2

,F

(x,

y1)

F

(x,

y2)固定y

,对任意的x1<x2

,F

(x1,y)

F

(x2,

y)②

对每个变量左连续F

(x0

,

y0)

=

F

(x0-

0

,

y0

)F

(x0

,

y0)=

F

(x0

,

y0

-0

)x

yF

(b,d)

–

F

(b,c)

–

F

(a,d)

+

F

(a,c)

0④

lim

F

(

x,

y)

lim

F

(

x,

y)

0x

y

lim

F

(

x,

y)

1③

对于任意

a

<

b

,

c<

d二维随

量的边缘分布函数xyFY

(

y)

PY

y

lim

F

(x,

y)定义：若二维随机向量（X,Y）的分布函数为F(x,y);X,Y的分布函数分别为FX

(x)，FY

(y),则称FX(x)，FY

(y),为(X,Y)关于X,Y

的边缘分布函数。由联合分布函数边缘分布函数,逆不真.FX

(x)

PX

x

lim

F

(x,

y)二、二维离散型随量的概率分布定义

若二维随量(X

,Y

)的所有可能的取值为有限多个或无穷可列多个,则称(X

,Y

)

为二维离散型随

量.定义设(X

,Y

)的所有可能的取值为(xi

,

y

j

),

i,

j

1,2,则称

P(

X

xi

,Y

y

j

)

pij

,

i,

j

1,2,为二维随机向量(X

,Y)的联合概率函数或联合分布律,也简称概率函数或分布律显然，pij

0,i,

j

1,2,

1

piji

1

j

1为了直观，常常将(X

,Y)的联合分布律用表格的形式表示出来X

Yy1

yjx1xip11

p1

j

pi1

pij

定义：设（X,Y）为离散型随机向量，则称X或Y的概率函数为（X,Y）关于

X,Y的边缘分布律。由联合分布可确定边缘分布,其逆不真.P(

X

xi

)

pij

,

i

1,2,jj

1,2,P(Y

yj

)

pij

,i三、二维连续型随

量的概率密度函数定义

设二维随 量(

X

,Y

)的分布函数为F(x

,y

),若存在非负可积函数p

(x,y),使得对于任意实数x,y

有

x

yp(u,

v)dudvF

(x,

y)

则称(

X,Y

)为二维连续型随 量,

p

(x,y)为(X,Y)的联合概率密度函数,简称为密度函数或概率密度。联合密度与联合分布函数的性质1p

(

x

,

y

)

0

p(x,

y)dxdy

12对每个变元连续,在p(x,y)的连续点处3xy

2

F

p(

x,

y)P(

X

=

a

,Y

=

b

)

=

04G若G

是平面上的区域，则P(

X

,Y

)

G

p(

x,

y)dxdy定义：若p(x,y)

为二维随机向量（X,Y）的联合密度函数，若

pX

(x)，

pY

(x)

分别

X

,

Y

的密度函数，则称

pX

(x)或

pY

(x)

为（X,Y）关于X

,

Y的边缘密度函数。边缘分布函数与边缘密度函数

xXp(u,

v)dv

)du(F

(

x)

p

X

(

x

)

p

(

x

,

v

)

dvyp(u,

v)du

)dv(YF

(

y)

Yp

(

y)

p(u,

y)du与离散型随

量相同,已知联合分布可以求得边缘分布；反之则不能唯一确定.区域G

上的均匀分布G

是平面上的有界区域,面积为A若随

量(

X,Y

)

的联合密度为(x,

y)G

0,

其他p(x,

y)

1/

A,则称(X,Y

)服从区域G上的均匀分布例

设随机向量（X,Y）密度函数为30,xy,

0

x

1,0

y

2其它2x

1p(x,

y)

求（1）（X,Y）边缘密度函数；（2）P{X<0.5,Y<1}.解：30，

其它3

302x2

2

x，

0

x

121

2p

(x)

2(x

xy)dy

2x2

x即

pX

(x)

XpY

(y),则当0

x

1时(1)

记（X

,Y）的边缘密度函数分别为pX

(x),同理0，1

16

y，

0

y

2其它Yp

(

y

)

3（2）116300

.5

102

(

x

1

xy

)

dxdyP

{

X

0

.5

,

Y

1}

x

,

y

则称(X

,Y

)服从参数为1,1,2,2,r

的正态分布,

记作(

X

,Y

)

~

N(1,

2

;

1

2

,

22

;

r

),其中1,2>0,

-1<

r

<

1

.四、二维正态分布若随机向量(X,Y

)的联合密度函数为21

21

22

2(

x

1

)(

y

2

) (

y

2

)2

2

r

1

(

x

1

)2

2

(1

r

)e1

21p(

x,

y)

2

1

r

2二维正态分布密度函数图二维正态密度函数剖面图正态分布的边缘分布仍为正态分布e

,

x

X1p

(x)

112

2

(

x1

)22eY,

y

1p

(

y)

222

2

(

y2

)221.3.2

条件分布与随一、二维离散型随量的独立性量的条件概率分布设二维离散型随 量(

X

,Y

)的分布i,

j

1,2,P(X

xi,Y

yj

)

pij,P(X

xi

)

0则称iP(

X

x

)

P(Y

yj

X

xi)P(X

xi

,Y

y

j

)记作j

1,2,若P(Y

yj

)

0,

则称jP(Y

y

)为在Y=yj

的条件下X

的条件概率函数。

P(X

xi

Y

yj

)i

1,2,P(X

xi,Y

yj

)记作为在X=xi

的条件下,Y

的条件概率函数。例

把三个球等可能地放入

为1,

2,

3的三个盒子中,每盒可容球数无限.记X为落入1

号盒的球数,Y

为落入2

号盒的球数，求条件概率P(X=1

|

Y= 0)。解

：P

(X

=

1|

Y

=

0

)

32

81

23

2

1

1

C1

1二、二维连续型随量的条件分布设（X,Y）为连续型随

量时,

联合密度为p(x,y),边缘密度为

pX(x)，pY

(x)；与离散型的情形相对照，

也想 在Y=y的条件下X的条件分布。但是这时Y是连续型的随

量，P{Y=y}总是等于零，无法定义条件概率。因此必须寻求新的定义办法。x

p(u,

y)

dupY

(y)(x|y)F定义

若

p(x,y)为（X,Y）密度函数，且Y的密度函数pY

在给定点

y满足

pY

(y)>

0,

则称为Y=y

的条件下X

的条件分布函数,记作x

p(u,y)

dupY

(

y)yXp

(

x

)p

(

x,

v

)

dv为X=x

的条件下Y

的条件分布函数;F

(y|x)

pX(x)为X=x

的条件下Y

的条件概率密度函数.p

(

y

x)

p(x,y)p

(y)Y为Y=y

的条件下X

的条件概率密度函数.类似地,

称称

p(

x

y)

p(x,y)

称Xp

(x)>0（

pX(x)

>0)F

(x

y),

p

(

x y

)

dx

1注意p(x

y)

,

p(

y

x)即满足p

(

x y

)

0还是密度函数,p

(

y x

)

0

p

(

y x

)

dy

1F(y

x)

还是分布函数即满足：单调不降性、左连续性以及lim

F

(

x y

)

1lim

F

(

x y

)

0x

x

lim

F

(

y

x

)

1lim

F

(

y

x

)

0y

y

例设

0,0

x

y,0

y

1其他p(x,

y)

8xy,求

p(x

y)

,

p(

y

x)解y

=

x1118xydy, 0

x

10,

其他pX

(x)

x0,2), 0

x

1其他4x(1

xypY

(

y)

00,8xydx, 0

y

10,

其他0

y

1其他

4

y3

,y

=

x1y10

x

y

0,

其他

y22x,y

=x11x当0<y

<1

时，p(x

y)p(x,

y)pY

(

y)当0<x

<1

时，p(x,

y)Xp

(

y

x)

p

(x)0,,

x

y

1其他1

x22

y三、两个随量的相互独立性定义设(X,Y

)为二维随

量,

若对任何实数x,y都有P(X

x,Y

y)

P(X

x)P(Y

y)则称随

量X

和Y

相互独立二维离散型随 量(

X,

Y

)

相互独立P(X

xi,Y

yj

)

P(X

xi)P(Y

yj

)pX

(

x)

pX

|Y

(

x

y)pY

(y)

pY

X

(y

x)二维连续型随 量

(

X,

Y

)

相互独立p(x,

y)

pX

(x)pY

(y)

(a.e.)二维随 量

(

X,

Y)

相互独立,则边缘分布完全确定联合分布二维连续型随量(X,Y

)相互独立(

pY

(

y)

0)(

pX

(x)

0)

021

2121121

2

12222

2(x1)(y2)

(y2)21

(x

)e

2(1

)p(x,y)证因，则（X,Y）相互独立命题若(

X,

Y

)

~

N(

,

;2

21

2

1

2

,

;)，且将

0

代入

f

(

x,

y

)

即得p(x,

y)

pX

(x)

pY

(

y)例

已知(

X,

Y

)的联合概率密度为

0,0

x

1,0

y

1其他p

(x,

y)

4xy,(1)

1

0,2p

(x,

y)

8xy,

0

x

y,0

y

1其他(2)X,Y

是否独立？11

0,

其他解(1)

由图知边缘密度函数为0

x

1,p

(x)

2x,X0

y

1,

0,

其他p

(

y)

2

y,Y显然，p

(x,y)

p

(x)p

(y)1

X

Y故X,Y

相互独立(2)

由图知边缘密度函数为0,4x(1x2),0

x

1,其他pX

(x)

4y3,0

y

1,

0,

其他pY

(y)

显然，p2(x,

y)

pX

(x)

pY

(y)故X,Y

不独立11四、

n

个随量的相互独立定义：若P(X1

x1,X2

x2,,Xn

xn)

P(X1

x1)P(X2

x2)P(Xn

xn)则称随

量X

1,X

2

, ,

X

n

相互独立若（X

1,X

2

,则X

1,X

2

,,X

n）为离散型随机向量，,X

n相互独立P(X1

x1,X2

x2,,Xn

xn)

P{X1

x1}P{X2

x2}P(Xn

xn)p(x1,x2,,xn)

p

(x

)pX

1

X1

22(x

)pXnn(x

)

(a.e.)若（X

1,X

2

,则X

1,X

2

,,X

n）为连续型随机向量，,X

n相互独立定理：若

n1

n2

nk

个随

量11,12

,,1n

,1

,

,,21

22

2n2,

,k1,k

2

,,knk相互独立又

fi

是

ni元实连续函数，且i

fi

(i1,i

2

,,in

),i

1,,ki则1,2

,,k也相互独立。例如，若

X

,Y

为相互独立的随

量则aX

+

b,

cY

+

d

也相互独立；X

2,Y

2也相互独立；§

1

.

3

.

3

二维随

量函数的分布求二元函数g(x,

y)Z=g(X,Y

)的分布已知随量(X,Y

)的分布及一、离散型二维随机向量的函数的分布例1

设二维随机向量(X,Y

)的概率分布为XYpij-1-1

1

21

40求X

Y

,

X

Y

,

XY

,Y

X

的概率分布解根据(X,Y

)的联合分布可得如下表格：P12X

+YX

-YX

YY

/

X(

X,Y

)

(-1,-1)

(-1,0)(1,-1)

(1,0)

(2,-1)

(2,0)-2011-1

0

1

1

2-1

2

1

3

20

-1

0

-2

00

-1

0

-1/2

0故得X+Y-2-10

1

2PX

-

YP1

4

1

4

1

6

1

4

1

12-101231

41

4

1

81

41

8XYP1-1

01

61

4-21

811

24Y

/XP0

11124

1

4-1

-1/21

6

1

8具有可加性的两个离散型分布

设X

~B

(n1,p),Y

~B

(n2,p),且独立，则X+Y

~

B

(n1+n2,p)

设

X~ P

(1),

Y

~

P(2),

且独立，则

X

+

Y

~

P(1+

2)二、二维连续型随量函数的分布问题

已知二维随量(X

,Y

)的密度函数，g(x,y)为已知的二元函数，求Z=g(X,Y

)的密度函数方法从求Z的分布函数出发,将有关Z的事件转化为有关(X,Y

)的事件(1)和的分布：Z=X+Y设(X,Y

)的联合密度函数为p

(x,y),则Zp

(z)

p(x,

z

x)dx

z

(1)或Zp

(z)

p(z

y,

y)dy

z

(2)特别地，若X,Y

相互独立，则pZ

(z)

pX(x)

pY

(z

x)dx

pX(z)pY(z)记作ZpX

(z

y)

pY

(y)dyp

(z)

或

pX(z)pY(z)记作称之为函数p

X

(z)与p

Y

(z)的卷积0,

y

0ye

e dx

ye

x

(

y

x

)

yp

(

y)

p

(x)p

(

y

x)dx例设随数，独立，同服从

1的指数分布，求

的密度函数。解：

的密度函数为正态随量的结论

若X,Y

相互独立,221

1

2

2

),Y

~

N(

,

)X

~

N(

,2212,

)1则

X

Y

~

N

(

2i

i

i相互独立,ni1i

ini1i

i则

k

X

~

N

(ni12

2k

)i

ik

,推广

若X

1

,X

2

,,X

nX

~

N

(

,

2

),i

1,2,,

n(2)最大值与最小值的分布设连续型随

量X

,Y

相互独立,

X

~

FX

(x),Y

~

FY

(y),

M

=

max{X

,Y

},

N

=

min{X

,Y

},则M的分布函数为FM

(z)

P(max{X

,Y}

z)

FX

(z)FY

(z)密度函数为fM

(z)

fX

(z)FY

(z)

FX

(z)

fY

(z)FN

(z)

P(min{X

,Y}

z)

1[1

FX

(z)][1

FY

(z)].密度函数为fN(z)

fX

(z)[1FY(z)][1FX(z)]fY(z)例设系统L由两个独立工作的电子元件L1

,L

2连接而成。连接的方式分别度分别为为（1）串联，（2）并联。设L1

,L

2的

分别为X,Y,已知它们的概率密0111

0.,

x

0,其他

ef

(

x)

xX,22

0.0,

y

0,其他,

f

(

y)

e2

yY试分别就以上两种方式求系统L的的寿

20,1,

z

0,z

0.命Z的概率密度。解：（1）串联时，Z=min(X,Y),所以fZ

(z)

fX

(z)[1

FY(z)][1

FX

(z)]

fY

(z)(

)e(12

)

z212121)e

,(1

ez

0,fZ

(z)

0,

z

0.（2）并联时，Z=max(X,Y),所以fZ

(z)

fX

(z)FY

(z)

FX

(z)

fY

(z)

z

z

z

z)

(1

e

e推广（p58推论）设X1,

X

2

,,

Xn

相互独立，且Xi

~

Fi

(xi

),

i

1,2,,nnnM

max{

X

1

,

X

2

,,

X

n

}N

min{

X

1

,

X

2

,,

X

n

}则

FM

(u)

Fi(u)i1FN

(v)

1(1Fi

(v))i1§1.4

随量的数字特征量的数学期望一、离散型随离散型随

量的统计规律完全可以由其概率函数或分布函数描述，但在许多实际问题中，有时只需了解随

量的某些特征.例如

一射手的水平,只需要看他的平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,

即环数的波动是否小.由此例看出与随量有关的某些数值，虽不能完整地描述随

量，但能清晰地描述随

量在某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.随

量某一方面的概率特性可用数字来描写下面引进的随特征用于反映随量的数学期望这一数字量取值的平均位置。定义设

X

为离散型随

量,其概率函数为P(

X

xk

)

pk

,

k

1,2,k

1|

p

k

若

|

x

k则称和k

1

xk

pk为X

的数学期望，记作

E(X

)。二、连续型随定义设连续型随量的数学期望量X的密度函数为p(x)，若

|

x

|

p(x)dx

绝对收敛,则称此积分xp

(

x)dx为X

的数学期望，记作

E(X

)。例假定X的分布列为X00.110.620.3P{X=x}求

EX.解：EX=

0

0.11

0.6

2

0.3

1.2例设随 量X的密度函数为x

, 0

x

1,

1

x

20

,

其他p(

x)

2

x210012

1x

0dxx

0dx

求EX.解：EX

x

xdx

x(2

x)dx

xp(

x)dx三、随量函数的数学期望随

量函数g(X

)的数学期望

设离散型随P(

X

xi

)

pi

,量X

的分布列为i

1,2,若i1|

g(xi

)|

pi

，则i1E(g(

X

))

g(

xi

)

pi

设连续型随

量X

的密度函数为p(x)若

|

g(x)|

p(x)dx

,

则E(g(X))g(x)p(x)dx四、随

量的方差定义

若E

[X

-

E(X)]2

存在,

则称其为随机变量

X

的方差,

记为D

(X

)

或

Var

(X

)并称

D(

X

)为X

的标准差.D(X

)——

描述随 量

X

的取值偏离其数学期望的平均偏离程度若X

为离散型随量，分布律为P(

X

xk

)

pk

,k

1,2,kk2D(

X

)

k

1x

E(

X

)

p则若X

为连续型随量，概率密度为

p

(x)2x

E(

X

)

p(x)dxD(

X

)

则计算方差的常用公式：D(X)

E(X

2

)

E2

(X)例设随 量X的密度函数为

0

x

, 0

x

1,

1

x

2,

其他p(x)

2

x7621210222x

(2

x

)

dx

x

xdx

x

p

(

x

)dx求DX.解：

EX

而EX=1,故DX=1/6五、随

量的矩与切比雪夫不等式几个重要的随

量函数的数学期望E(

X

k

)——X

的k

阶原点矩E(|

X

|k

)

——X

的k

阶绝对原点矩E((X

E(X

))k

)

——X

的k

阶中心矩E(|

X

E(X

)|k

)——X

的k

阶绝对中心矩定理（马尔可夫（Markov）不等式）设随 量

X

的k阶绝对原点矩

E(

|X

|k)存在，则对于任意实数

>0,E(|

X

|k

)

kP(|

X

|

)

推论——切比雪夫(chebyshev)不等式设随 量

X

的方差

D

(

X

)存在，则对于任意实数

>

0,

2P(|

X

E(

X

)

|

)

D(

X

)2

、若六、一些常用分布的期望与方差1、若

X

~

B(n,

p)

，则E(

X

)

npDX=np(1-p).X

~

P()

,则E(X

)=DX

3

、若

X

~

E(

)

,则E(

X

)=

12DX=

1

2P(|

X

E(

X

)

|

)