高等数学西安通信学院-第二章

一、高阶导数的定义问题:变速直线运动的加速度.设

s

f

(t

),则瞬时速度为v(t)

f

(t)加速度a是速度v对时间t的变化率a(t)

v(t)

[

f

(t)].定义.x则称存在

,(((为)))函数

在ff

lim

fxxfx

)(()

((f)x)如果函数

的导数(())

在ff

处可导,即x0记作f

(

x),

y

,2d

2

f

(

x)dx dx

2或

.

d

2

y一般地,函数f

(x)的n

1阶导数的导数称为函数f

(x)的n阶导数,记作y(

n

)

,f

(

n

)

(

x),dx

n

dx

nd

n

y d

n

f

(

x)或

.三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.相应地,f

(x)称为零阶导数;f(x)称为一阶导数..f

(

x),

y,3d

3

ydx二阶导数的导数称为三阶导数,.f

(

4

)

(

x),dx4d

4

yy(

4

)

,二、高阶导数求法举例例1设y

arctan

x,求f

(0),f

(0).解y

1

11

x

2

1

x

2y

(

)

(1

x

2

)2

2

x(1

x

2

)2

2

xy

()

2(3

x

1)2(1

x

2

)3x

0(1

x

2

)2

2

x

f

(0)

x

02(3

x

2

1)

0;

f

(0)

(1

x

2

)3

2.1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例2设y

x

(

R),求y(n).解

y

x1y

(x

1

)

(

1)x

2y

((

1)x

2

)

(

1)(

2)x

3y(

n)

(

1)(

n

1)x

n

(n

1)若

为自然数n,则

(

xn

)(

n

)

n!,y(

n

)y(

n1)

(n!)

0.例3设y

ln(1

x),求y(n).解注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)1

x1y

y

(1

x)21(1

x)32!y

(1

x)4y(4)

3!(n

1, 0!

1)(1

x)n(n

1)!

(1)n1y(

n

)例4设y

sin

x,求y(n).解2y

cos

x

sin(

x

)2

2

22y

cos(

x

)

sin(

x

)

sin(

x

2

)22y

cos(

x

2

)

sin(

x

3

)2y(

n)

sin(

x

n

)2同理可得

(cos

x)(

n)

cos(

x

n

)例5设y

eax

sin

bx

(a,b为常数),求y(n).解y

aeax

sin

bx

beax

cos

bx

eax

(a

sin

bx

b

cos

bx)aba

2

eax

b2

sin(bx

)

(

arctan

)a

2y

b2

[ae

ax

sin(bx

)

be

ax

cos(bx

)]a

2a

2

b2

eax

b2

sin(bx

2)y(

n)

(a

2n

b2

)

2

eax

sin(bx

n)ab(

arctan

)2.

高阶导数的运算法则:设函数u和v具有n阶导数,则(u

v)(

n)

u(

n)

v(

n)(Cu)(

n)

Cu(

n)

uv

(

n

)

n(n

1)(n

k

1)

u(

nk

)v(

k

)(3)

(u

v)(

n

)k!2!

u(

n

)v

nu(

n1)v

n(n

1)

u(

n2

)v

nk

0knCu

v(

nk

) (

k

)公式例6设y

x2e2

x

,求y(20).解2

x公式知

x

2))()2)

0

20(20

)1

e

x

2)

20

e设

xv2

,e,则u

由y(

20

x

)((22)0x

(219e

xx

(21818

e2

x

222!

20

19

20

219e2

x

2

x!2

220

e2

x

x

2

20x

95)

220

e2

x

(

x23.间接法:利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.常用高阶导数公式xn(

n)(5)

(ln

x)

(1)n1

(n

1)!2(2)

(sin

kx)(

n)

kn

sin(kx

n

)2(4)

(

x

)(

n)

(

1)(

n

1)x

n(3)

(cos

kx)(

n)

kn

cos(kx

n

)(1)

(a

x

)(

n)

a

x

lnn

a

(a

0)(e

x

)(

n)

e

xn1n!1(

)

(1)n(

n)xx例71,求y(5).

1设y

x

21

1

1解

y

1

)1]

5!x

1)(61

5!

1

[

y(5)2

x

1)(61](

x

1)6

60[(

x

1)6例8

设y

sin6

x

cos6

x,求y(n).解y

(sin2

x)3

(cos2

x)3

(sin2

x

cos2

x)(sin4

x

sin2

x

cos2

x

cos4

x)

(sin2

x

cos2

x)2

3

sin2

x

cos2

x

1

3

sin

2

2x

1

3

1

cos

4

x44

2

5

3

cos

4

x8

8

y(

n)

3

4n

cos(4

x

n

).8

2三、小结公式);高阶导数的定义及物理意义;高阶导数的运算法则(n阶导数的求法;1.直接法;2.间接法.思考题设

g(

x)

连续，且

f

(

x)

(

x

a)2

g(

x)

，求f

(a).思考题解答

g(x)可导

f

(

x)

2(

x

a)g(

x)

(

x

a)2

g(

x)

g

(x)不一定存在故用定义求f

(a)f

(a)

lim

f

(

x)

f

(a)x

axaf

(a)

0x

axaxa

lim

f

(

x)

lim[2g(

x)

(

x

a)g(

x)]

2g(a)练习题一、填空题：e

t1、设y

sin

t

则y

=

.2、设y

tan

x

,则y

=

.3、设y

(1

x

2

)

arctan

x

，则y

=

.4、设y

xe

x

,则y

=

.25、设y

f

(

x

2

),

f

(

x)

存在，则y

=

.6、设

f

(

x)

(

x

10)6

,则f

(2)

=

.7、设xnn1

n

a

xn1

a

xn

21

2

a x

a(1a

,

a

,,

a(

n

)y都是常数)，则

=

.8、设f

(

1)(

x

2)(

x

n),则

f

(

n1)

(

x)

=

.二、求下列函数的二阶导数：1、y

x2

x

3

x

4；2、y

cos

2

x

ln

x

；3、

y

ln(

x

1

x

2

).dy三、试从dx

1

，导出：yyd

2

x

1、

；dy2

(

y)32、dy

3

(

y)6d

3

x

3(

y

)2

y

y.

c

e

x五、验证函数y

c

e

x1

21(

,c2,c

是常数）满足关系式y

2

y

0

.六、求下列函数的n阶导数：1、

x

cos

xe；y2、y

1

x