2022年2022年专升本高数知识点汇总2第二章导数与微分

第二章 导数与微分【考试要求】.理解导数的概念及其几何意义,了解可导性与连续性的关系,会用定义求函数在一点处的导数..会求曲线上一点处的切线方程与法线方程..熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法..掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法,会求分段函数的导数..理解高阶导数的概念,会求简单函数的〃阶导数.6•理解函数的微分概念,掌握微分法则,了解可微与可导的关系,会求函数的ー阶微分.【考试内容】一、导数（-）导数的相关概念.函数在一点处的导数的定义设函数y=/（x）在点七的某个邻域内有定义,当自变量エ在七处取得增量1（点七+ぶ仍在该邻域内）时,相应的函数取得增量每=/（毛+-）-/（%〇）;如果Ay与想之比当Arf0时的极限存在,则称函数y=ハス）在点小处可导,并称这个极限为函数ド=/（%）在点％〇处的导数,记为ア'（%〇）,即八%。）=而包=lim盘ムと△む,

也可记作必“か布或誓说明:导数的定义式可取不同的形式,常见的有,（%0）=lim/（&+"）二）色）和,（ム）=lim/は）ーハる）;式中万，0 h 工-»廠 x-x0的〃即自变量的增量盘..导函数上述定义是函数在一点处可导.如果函数y=/（%）在开区间，内的每点处都可导,就称函数”よ）在区间/内可导.这时,对于任一％g/,都对应着ハス）的ー个确定的导数值,这样就构成了一个新的函数,这个函数就叫做原来函数y=八%）的导函数,记作ブ,广は），虫或也ユ.显然,函数“め在点七处的dxdx导数づは〇）就是导函数rは）在点X=/处的函数值,即尸は。）=/は）.单侧导数（即左右导数）根据函数〃め在点入。处的导数的定义,导数ヂは。）=limルデ二0R是ー个极限,而极限存在的充分必要条件是左右极限都存在并且相等,因此/‘は。）存在（即〃よ）在点X。处可导）的充分必要条件是左右极限!im八/+〃）一ハX。）万メー h及所"…）ーのメ。）都存在且相等.这两个极限分别称为力5）+ h

函数人よ）在点七处的左导数和右导数,记作ぐは。）和ぐは0）,即 r（x0）=lim/（•+--/（.） ,Eは。）=lim"ち+ッゴ（固）.现在可以说,函数人幻在点エ。处ルメ+ h可导的充分必要条件是左导数プは。）和右导数ん’は。）都存在并且相等.说明:如果函数1y•は）在开区间（。,か内可导,且ぐ3）及ぐ®都存在,就说イは）在闭区间タ上可导..导数的几何意义函数y=八%）在点七处的导数r（不）在几何上表示曲线>=/は）在点Mは。,アは0））处的切线的斜率,即f'は:。）=tana,其中a是切线的倾角.如果y=アは）在点%。处的导数为无穷大,这时曲线ド=>/1は）的割线以垂直于ス轴的直线％=%为极限位置,即曲线y=/Iは）在点Mは。,/は。））处具有垂直于ズ轴的切线x=xQ.根据导数的几何意义及直线的点斜式方程,可得曲线y=1y・は）在点%）处的切线方程和法线方程分别为:切线方程:y-y。=7'は。）は7。）；法线方程:y-%=-J・スはーX〇）•アは〇）.函数可导性与连续性的关系

如果函数y=/(x)在点/处可导,则fは)在点x0处必连续,但反之不一定成立,即函数y=ハよ)在点七处连续,它在该点不一定可导.(二)基本求导法则与导数公式.常数和基本初等函数的导数公式(1)(C)'(1)(C)'=0；(3)(sinx)z=cosx；(5)(tan%)'=sec2x；(7)(secx)z=secxtanx；(9)(优)'二优Ina；(H)(log„x)'=-i-；xma(13)(arcsinx)'=-J ；(15)(arctanx)'=—二;1+(2)はケ="ピT；(4)(cos%)'=-sin%；(6)(cotx)'=-esc犬5(8)(escx)'=-escxcotx；(10){exS=ex；(12)(lnx)'=-；X(14)(arccosx)'=————；(16)(arccotx)'= 二,1+.函数的和、差、积、商的求导法则设函数〃=〃は),レ=ソは)都可导,则(1)(M±V)'=«'±V'；(C“)'=C〃’(C是常数)；(wv)'=u'v+uv'；(4)ご)，=吗叱("。ユV V

3.复合函数的求导法则设y=f®，而“=g（x）且ア（〃）及g（x）都可导,则复合函数y=/ig（%）］的导数为孚=半.半或y（x）=r®・g'（x）.axduax（三）高阶导数1.定义一般的,函数y=ハ%）的导数ダ=/は）仍然是ズ的函数.我们把ダ=尸は）的导数叫做函数y=/は）的二阶导数,记作ザ或喫,即ダ=（ジ或卓=よ半］.相应地,把yづは）的导dx- dx\dxJ数f'は）叫做函数y=/"は）的ー阶导数.类似地,二阶导数的导数叫做三阶导数,三阶导数的导数叫做四阶导数,…,一般的,（〃ー1）阶导数的导数叫做〃阶导数,分别记作ym,y4）,•••,严或り,㈢，…,也.厶3dx dx"函数y=八龙）具有〃阶导数,也常说成函数＜y・は）为〃阶可导.如果函数人X）在点ズ处具有〃阶导数,那么ハ尤）在点ス的某ー邻域内必定具有一切低于〃阶的导数.二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.（四）隐函数的导数函数的对应法则由方程ドは,y）=0所确定,即如果方程ドは,y）=0确定了一个函数关系y=7は）,则称メ=アは）是由方

程頃尤,y)=0所确定的隐函数形式.隐函数的求导方法主要有以下两种:.方程两边对X求导,求导时要把y看作中间变量.例如:求由方程"+盯ーe=0所确定的隐函数的导数セ.dx解:方程两边分别对カ求导,(/+サーe)；=(0)；,得/也+>％虫=〇,从而包ニー」.dxdx dx x+e'.一元隐函数存在定理包=一与.dxF；例如:求由方程"+りーe=0所确定的隐函数的导数セ.dx解:设F(x,y)=ey+xy-e,则ー上一とヘツー,.dxF[d/ア丄、 e'+xy~(e+xy-e)oy(五)由参数方程所确定的函数的导数一般地,若参数方程「二，ス确定y是ズ的函数,则称此函数关系所表达的函数为由该参数方程所确定的函数,其导数

为セ=%,上式也可写成包=dx(p(t) dx今一カーdrー人其二阶导函数公式为セ="⑺"⑺「阳"⑺.今一カーdrー人(六)幕指函数的导数一般地,对于形如〃(%)"")(u(x)>0»〃(尤)wl)的函数,通常称为累指函数.对于幕指函数的导数,通常有以下两种方法:.复合函数求导法将專指函数〃はジ⑺利用指数函数和对数函数的性质化为的形式,然后利用复合函数求导法进行求导,最后再把结果中的メ⑺加心)恢复为〃は)心)的形式.例如:求毫指函数ツ=ガ的导数包.dx解:因が=/nx,故包=a(exm')=/nx.(xln%y=%'(l+ln%).dxdx、ノ.对数求导法对原函数两边取自然对数,然后看成隐函数来求y对ス的导数.例如:求幕指函数丫=バ的导数包.dx

解:对幕指函数y=x"两边取对数,得Iny=xlnx,该式两边对エ求导,其中y是よ的函数,得---=l+lnx,故ydx—=y(l+In%)=xA(l+Inx).dx二、函数的微分.定义:可导函数y=f(x)在点％0处的微分为dyx=Xo=f'(x0)dx:可导函数y=/(%)在任意一点ズ处的微分为dy=f'(x)dx..可导与可微的关系函数y=ハ尤)在点x处可微的充分必要条件是y=人龙)在点ス处可导,即可微必可导,可导必可微..基本初等函数的微分公式d(C)-Odx；(3)d(sinx)=cosxdx；(5)J(tanx)=sec2xdx；(7)d(secx)=secxtanxdxd(cscx)=-cscxcotx厶；(9)d{ax)=ax\nadx；(11)d(log“x)=—dx；(2)d(x")=〃(2)d(x")=〃x"T厶5(4)d(cosx)=-sinx厶;(6)d(cotx)=—cscxム:(8)(10)d(ex)=exdx；(12)J(lnx)=—dx；x(14)(16)(13)d(arcsinx)=, dx(14)(16)yjl-X?d(arccosx)=——pJ——dx；Vl-x2(15)6Z(arctanx)=—^rdx ；1+厂6/(arccotx)= ニム・1+.函数和、差、积、商的微分法则设函数〃=〃(%),レ=レ(%)都可导,则d{u+v)=du±dv；d(Cu)=Cdu(C是常数)；d(uv)=vdu+udv；/ハ““、vdu—udv/ハ、d(—)= ；——(uwO).vv.复合函数的微分法则设y=/(«)及u=g(x)都可导,则复合函数y=f[g(%)]的微分为お=,&=f'(〃@(%)<〃.由于g'(x)dx=d〃,所以复合函数V=/[gは)]的微分公式也可写成か=/'(")"〃或dy=y'udu.由此可见,无论〃是自变量还是中间变量,微分形式dy=/"(〃)イ〃保持不变.这ー，性质称为微分形式的不变性.该性质表明,当变换自变量时,微分形式お=/(〃)力/并不改变.【典型例题】

【例2-1】以下各题中均假定イ’は。）存在,指出A表示什么..前盘・匕込2=ん解:根据导数的定义式,因AxfO时,-AxfO,故limアは。…-0%。）=_iim/（%「以）—/■）=ゴ，®）,-Ax ぶf0 —Ax即A=-/（x0）..设lim△2=厶,其中ア（〇）=〇,且ハ〇）存在.5x解:因ハ0）=0,且:⑼存在,故lim^^=limノは）一ハ°）二イ（〇）,即ん=尸（0）.ー。xスメx-03.limル。+かーf。。ー⑶5.解:根据导数的定义式,因/z->0时,-//->0,故=ヂ（天）+ハる）=2ハア）,即A=2f（x0）.【例2-2］分段函数在分界点处的导数问题.—ズス<11.讨论函数人x)=3' 在x=l处的可导性.X2,X>1解:根据导数的定义式,二32/'(I)=lim,"めーハ1)=lim^——=-lim(x2+x+l)=2,5 X-1 5X-1 35

r2_±，，小r r 3f+（1）=lim- =lim -=+oo,5 x-I田x-1故Iy・は）在％=i处的左导数ぐ⑴=2,右导数不存在,所以ア（元）在%=i处不可导.2.讨论函数ア（x）2.讨论函数ア（x）=<2・ 1xsin一,

x。,在％=0处的可导性.x=0解:因尸（〇）=解:因尸（〇）=lim/⑴二/⑼

ー。x-0x2sin——0 ]=lim =limxsin—=0,故函数アは)在％=0处可导.3.已知函数バ%)=[ザ'九"1在工=1处连续且可导,求常[ax+b,x>1数a和わ的值.解:由连续性,因7⑴=1,/(r)=lim/(x)=limx2=l,/(1+)=lim/(x)=lim(ax+b)=a+b,从而a+Z?=1 ①再由可导性,尸⑴=lim ~△り=lim———-=lim(x+l)=2,XT厂 X—1 XT厂%—1X->rガ⑴=lim八")ニハD=而”叱1,而由①可得ろ=1ー。,代Xf+X-lXT1+X-\入ぐ⑴，得X'(l)=lim^(1)-=lim=a尸⑴二刀⑴可得。=2,代入①式得人=-1.【例2-3］已知，は）=ド血匹x<0,求rは）.x,x>0解:当％<0时,/"は)=(sinx)r=cosx,当工20时,/は)=は)'=1,当x=0时的导数需要用导数的定义来求.夕/ハ、1. 7(%)一ア(0) 1.sin%1/(0)=lim ——=lim =],x—0 スー。ーX./ハ、r/(x)-/(0) x-0九(0)=hm- ——=lim =1,x-0 x->o+x, , ,, [cosx,x<0£(0)=£(。)=1，故ハ。)=1，从而尸は)=I、ハ1, x>0【例2-4】求下列函数的导数.y=e”(sin%+cosx).解: y'=(e")'(sin%+cos%)+e*=2excosx.へ .2xy=sin .\+x2’ 2丫、 ワx厶刀 r • ムハ ,人角牛: y=sm =cos ヽ 1+スー丿 !+?2(1-％2)2x= -cos ラ.(1+r)〜 1+X"y=lncos(e*).解: y=[incos(げ)]=し(匕\=-extan(ex).y=ln(x+J1+ギ).解:y'=「ln(Jt+Jl+12)= ；L 」x+y/1(sinx+cosx)'(2xYJU+x2Jf■cos(ex) ，(x+a/1+厂)+x2_1【例2・5】求下列幕指函数的导数.1.だゴ内(X>0).解: ザ=(ゴMッ=ゼ"*")'二esinxlnx.(如X)'=xsinx(cosxlnx+ -).X说明:本题也可采用对数求导法,即:对基指函数y=/n、两边取对数,得Iny=sinxlnx,该式两边对よ求导,其中y是ズ的函数,得=cosxlnx+sinx故 y9故 y9=y(cosxInx+sinx•—)X, ヽX2.y=A (x>0).11+%丿「 I'L 1'，"ヽ” .xAn .［X x\n- x解:y= =e,+x=e_U+エ丿」し_丄］ヾl+x丿y1+x1+x丿说明:本题也可采用对数求导法两边取对数,得iny=x\n-^—,1+X=xsinx(cosxlnx+ ).X,X r 〃、’- Ix"X・xln \ 1+%丿即:对幕指函数ア=［上］11+%丿该式两边对ズ求导,其中y是ズ的函数,得1 ,,X1+x—■y1 ,,X1+x—■y=ln F% y1+xx(白=ln—l+x1+xy,=y\inIn—l+xl+x丿【例26】用对数求导法求下列函数的导数.1.y=x-v(x>o).解:等式两边取对数,得xlny=)，lnx,两边对x求导,注意y是x的函数,得lny+二,y'=y'lnx+丄,整理得(--Inx)^'=--In,y x y x2.y2flnyx22.y2flnyx2-xylnx解:等式两边取对数,得lny=lnx2+1 1]x2解:等式两边取对数,得lny=ln&2+22 +221ny=ln(x?+1)-1ln(x?+2),也即 10Iny=5ln(x2+1)-ln(x2+2),两边对x求导,注意y是x的函数,得两边对x求导,注意y是x的函数,得10, 10x2x—y= yx~+1x?+2ノ10x2xゝブ=上• 10ば2+1x2+2【例2-7】求下列抽象函数的导数..已知函数ギナは）可导,求函数y=/（e熹）的导数セ.dx解:キ=キ/(戸)dxdx1111—/（ザ而ス）.（ザ加ッ,=/（6えリ,ザ而エsmx解:キ=キ/(戸)dxdx1111—/（ザ而ス）.（ザ加ッ,=/（6えリ,ザ而エsmxsin,v-cosxsinxcosxsin2x.设函数，（x）和g（尤）可导,且尸（尤）+g2（尤）工0,试求函数y=イr(尤)+g"%)的导数dx解:[r(X)+g2(%)[解:2，/-(x)+g-(%)2/(%)/'(x)2/(%)/'(x)+2g(x)g\x)

2y]f\x)+g\x)=/(%)/'は)+gは)g'は)— 7?は)+g2は)【例2-8】求由下列方程所确定的隐函数y=yは）的导数.1.x2—xy+y1=0.解:方程两边分别对エ求导,得2%-y-ス也+2y也=0,dxdx整理得はー2y）包=2x-y,故包=汩2.dx dxx-2y说明：此题也可用隐函数存在定理来求解,即:设F（x,y）=x2-xy+y2,则dy=F:=2%_y .dxF；-x+2yx-2y

解:方程两边分别对エ求导,得电=0+/+%/•虫,dx dx整理的(1-ズげ)虫=",故包=_J.dx dx1-xe'说明:此题也可用隐函数存在定理来求解,即：设F(x,y)=l+xey-y,则ゆ=工ー一ユ=上-.dxF；xe'-11-xey【例2-9】求由下列参数方程所确定的函数y=y(%)的导数.め.ーカームー力・力一力ムーガ

-め.ーカームー力・力一力ムーガ

-1+rr+z-

カーム-1-Iかーム

刀牛・犀

角2角1+1—t(M(M【例2-10】求下列函数的微分./(x)=tan2(1+2x2).

解:因f\x)=[tan2(1+2x2)],=2tan(l+2x2)-sec2(1+2x2)-4x,故お=于’3dx=8xtan(l+2x2)sec2(1+2x2)dx.f(x)=e^解:因/,{x)=TOC\o"1-5"\h\z户丫 信-2-x x产解:因/,{x)=丿2y/l-x2 Vl-X21Z xノ^故dy=f\x)dx=——.dx.Vl-x2f(x)=x2arctanVx-1.1TOC\o"1-5"\h\z解:因/'(x)=(x2arctany/x-\\=2xarctany/x-\+x2 ,ヽ ' 1+x-lr ノ故dy=f'(x)dx=2xarctanV-X-l+ , dx.L 2%ムー1」/(x)=sin2xln(l+x2).解 : 因f\x)=[sin2xln(l+x2)]=2sinxcosxln(l+x2)+sin2x- ,故dy=f'(x)dx=sin2xln(l+x2)+ 『dx.1+x【例2-11］求曲线y=xe、在点(0,1)处的切线方程和法线方程.解:ブ=卜"ヴ=ぎ，^二,九カ=1,故曲线在点(0,1)处的切线方程为y-l=l・(x-0),即x-y+l=0;法线方程为y-1=-l-(x-0)即x+y-1=0.

【例2-12】求曲线デ+り+ブ=4在点(2,-2)处的切线方程和法线方程.解:这是由隐函数所确定的曲线,按隐函数求导数,有2x+y+xy'+2y-y'=0f即プ=ーハ+’5由导数的几何意义,x+2y曲线在点(2,-2)处的斜率为/x_2=2£±2 =1,故曲线在y=-2X+2yy=-2点(2,-2)处的切线方程为y+2=l(x-2)9即x-y-4=0;法线方程为y+2=—l・(x—2),即ス+y=0.【例2-13I求椭圆ド"2c°s’在点公エ处的切线方程和法线方y=4sinZ4程.解:将［=三代入椭圆方程,得曲线上对应的点为(血,2血)，4又 /=X=4cos£=_2cotf ,切线斜率为xt-2sinty',=-2cotr.=-2,故所求切线方程为t= t=—ソー2&=-2はー0),即2x+y-4点=0;所求法线方程为y-2V2=-1(x-V2),即x+2y-542=0.【历年真题】ー、选择题(2010年,1分)已知，")=1,则limバ1一2—)一/⑴等于&•.f° Ax

(A)1(B)-1(A)1(B)-1(C)2（D）-2解: 根据导数的定义,同加ー2Ax）一川）=_2Um川+（-2a）］一川）ぶ-*0 Ax 叔->0 —2Ax=一2/⑴=一2,选（D）.（2010年,1分）曲线メ二デ在点（口）处的法线方程为（）（A）y=x （B）y=——+—22（C）y=-+- （D）y=----22 22解:根据导数的几何意义,切线的斜率&=ブし=2%レ=2,故法线方程为y-l=——（x-1）,即y= F—,选（B）.2 22（2010年,1分）设函数イは）在点エ处不连续,则（）（A）rは;0）存在 （B）rは0）不存在（C）limアは）必存在 （D）fは）在点九〇X—>00处可微解:根据“可导必连续”,则“不连续一定不可导”,选项（B）正确.（2009年,1分）若lim十»ーA演一/?）=ん则ん=（ ）ハメ h

（A）（A）rは。）(C)O(D)解:A=limfは。+力ー”%。ー〃）

71fo h=r（M）+r1）=2，（エ。）,选项（B）正确.（2008年,3分）函数〃エ）=W,在点％=0处アは）（ ）（A）可导 （B）间断 （C）连续不可导（D）连续可导解:由yは）=国的图象可知,，は）在点％=0处连续但不可导,选项（C）正确.说明:アは）=区的连续性和可导性,也可根据连续和导数的定义推得.（2008年,3分）设fは）在小处可导,且イ‘は。）W0,则づは。）不等于（）TOC\o"1-5"\h\z（A）lim/（幻ー/®） （B）11myは。+Av）-yは。）-Ax（C）lim/（/--）7a〇） （D）以メ Axlim」は。ー小）一」は。）（—Ax）解:根据导数的定义,选项（C）符合题意.

(2007年,3分)下列选项中可作为函数f(%)在点七处的导数定义的选项是()lim«[/(x0+-)-/(x0)]lim"めー/(/)TOC\o"1-5"\h\zXTめ X-XQlim/(%〇+釵)一/は〇一以)み70 Ax⑴)1油,(エ。+3©)一，壽。+以)— Ax解: 选 项(A )1 /(x0+-)-/(x0)limn[/(x0+-)-/(x0)]=lim =£(%)，选项(C)n—>qo m 〃一>oo 1nlim/(ム+ル)一/(/ーふ)lim/(ム+ル)一/(/ーふ)ぶー° Ax=2If(x0),选项(D)驷，は。+3Ax1(g+润会ハx°),故选(B).(2007年,3分)若/(“)可导,且y=/(2'),则か=()(A)/(2リム (B)f(2x)d2x(C)[/(2')]W2X (D)f'(2x)2xdx解:因い=毋(2*)=/'(2')"2'=ヂ(2')2”1112ム,故选项(B)正确.(2006年,2分)设“(X),レ(x)为可导函数,则dご)=()/、、/、、du(A)—dv(E) 2u-

(C)udv+vdu (D)尻dv-vduTOC\o"1-5"\h\zu2 u2爲刀 ,‘〃、,u、,, uv—uv,u'vdx—uv'dxvdu—udv、ヰ解：d(一)=(一)厶=——--dx= 7 = ,选VV V V V(B).(2005年,3分)设/(%)=x(x—1)(%—2)…(光ー99),则f'(0)=()(A)-99!(B)0(A)-99!(B)0(C)99!(D)99解:当％=0时,rは）中除はー1）（尤ー2）…（尤ー99）项外,其他全为零,故尸(0)=(0—1)(0-2)•.•(〇-99)=一99!,选项(A)正确.(2005年,3分)设y=lnx,贝リ严=()(B)(A)(―1)"〃!よ一"(-1)”(〃(B)(C)(―1)"T(れー1)!よー" (D)(—1)"Tル!％-"+1解:由y=lnx可得,y=—,y"=--,ym= ^―=---=-^-,x x2 ザ％3%3ゴ4)=一お三二一三,…,对比可知,选项(C)正确.XX(2005年,3分)但上=()d(x~)(A)cosx (B)-sinx (C) 2(D)—

解:t/sinxd(x2解:t/sinxd(x2)cosxdx_cosx

2xdx2x选项（D）正确.二、填空题（2010年,2分）若曲线》=/（%）在点（%,/（%））处的切线平行于直线y=2x-3,则/（%）=.解:切线与直线平行,则切线的斜率与直线的斜率相等,故[（%）=2.（2010年,2分）y=cos（sin,则dy=.解:dy=dcos（sin%）=-sin（sinx）cosxdx.（2008年,4分）曲线y=/+i在点（1,2）的切线的斜率等于.解:由导数的几何意义可知,切线斜率ん=ブい）=2Xい）=2.（2008年,4分）由参数方程ド"。。‘‘确定的◎二 .y=sin% dx解:女上四と=卫=ーM"dxx（cosf）'-sin/（2006年,2分）曲线y=x+sin2元在点（エ1+エ）处的切线方程是.解:切线的斜率ん=y'ア・=（l+2sinxcosx）アア=1,故切线（ラ,呷 （テ時）方程为y_（1+—）=]-はーラ）,即y=%+L（2006年,2分）函数y（%）=%（/-1）忖不可导点的个数

是.解:〃x)=[ra+咼，x-°,显然,当％エ。时,"X)可导;[—x(1+厂)，x<0、レ, d，，/ハ、V/(工)—/(°) 「 づ(1+厂)ハ当ス=0时,£(0)=hm丄エ“一〇“=hm =0,X—+ x—0 x^0+X£(0):lim/は)—"°)=lim一“<+ズ)=0,故ハ。)=0.スメー X—0 XT()+X故函数，。)的不可导点的个数为0.(2006年,2分)设y=(l+丄)",贝リの=.XTOC\o"1-5"\h\z解 : 因. 1. xln(l+丄) xln(l+—) 1 1 1y=[(1+-)]=[ex]=ex[ln(l+-)+x --(