五年级（上册）思维训练

..五年级上册思维训练第一讲小数乘、除法的简算与巧算例题1：根据被除数和除数同时乘以或除以同一个数〔零除外商不变的规律,及某数除以1仍得某数的运算特征,可以使一些除法算得快。如：2.4÷0.5=〔2.4×2÷〔0.5×2=4.8÷1=4.8例题2：我们知道整数除法的运算性质同样适用于小数除法,一个数除以几个数的积,可以用积中的各个因数,去除这个数,应用这个运算性质,也能使某些除法计算简便如：31.4÷2.5÷412.5÷〔12.5×4=31.4÷〔2.5×4=12.5÷12.5÷4=31.4÷10=1÷4=3.14=0.25练习：①1.2÷2.5②3.1÷0.125③0.99÷4.5④〔6.4×12.5×0.5÷〔2.5×1.6×0.2⑤5.6×16.5÷0.7÷1.1⑥3700÷6.4÷2.5÷12.5÷0.5⑦2400÷15⑧0.04×0.5×1.25×0.8×0.2×0.05第二讲找规律例题1：18÷11的商的小数点后面第2008位数字是几？策略和方法：我们可以先计算18÷11的商,当余数重复第二次出现的时候,计算就可以停止了,这时就可以确定循环节有几位,周期是几,然后再看商的第2008位经过了几个周期,最后判定这位数是几。思考与操作：计算18÷11的商,结果是1.6363……,可以简写为1.63,它是一个纯循环小数,纯循环有两位,即周期是2。2008÷2=1004,数到2008位刚好经过了1004个周期,周期的最后一位是3,那么18÷11的商的小数点后面第2008位数字就是3。118111.6363117.0664.0337.0664.0337想：循环节有几位,周期就是几。想：循环节有几位,周期就是几。答：18÷11的商的小数点后第2008位数字是3例题2：有一列数字402140214021……问第31个数字是多少？前面30个数字的和是多少？策略与方法：先观察,4021在不断重复出现,4个数是一个周期,因为31÷4=7.…3,第31个数经过了7个周期,还余3个,所以第31个数字是"2",一个周期安适字的和是4+0+2+1=7,30个数里包含了7个周期还多2个数,我们用7个周期的和再加余下的两个数字,就可以求得这列数前30个数字的和是多少？思考与操作：该数列以4个数字为一个周期,所以37÷4=7〔个周期…3〔个；该周期中的第三个数字是2,所以第31个数字是2。此数列一个周期的和是：4+0+2+1=7这30个数字的和是：7×7+4+0=53练习：1、9÷7的商的小数点后第2005位数字是几？2、18÷13的商的小数点后第2010位的数字是几？3、17÷6的商的小数点后第123位和第124位上的数字的和是多少？4、5÷7的商的小数部分后面第100位上的数字是几？5、13.258小数部分第1000位上的数字是几？小数点后面前300个数字的和是多少？6、不用计算,直接写得数1÷……2÷7=0.285714285714……3÷7=0.428571428571……4÷7=5÷7=6÷7=7、23÷7的商的小数点后面2000个数字之和是多少？8、15÷52的商的小数点右边第200个数字是多少？小数点后面前200个数字的和是多少？第三讲观察物体前言：解数学题,从已知条件到未知的结论,除了计算外,更重要的一个方面是推理,解题时,必须根据事情的逻辑关系进行合情推理。仔细分析,寻找突破口,并且助于图表,步步深入,这样才能使问题得到较快的解决。例题1：一个正方形6个面上分别写着1,2,3,4,5,6,根据下图摆放三种情况,判断每个数学对面上的数字是几？264264531142531142ABC思路导航：如果直接思考哪个数字的对面是几,有一定的困难,我们可以这样想：这个数字的对面不会是几。①从A、B两种摆法中可以看出：4对面不会是2,5也不会是1,6,那么4对面的一定是3。②从B、C两种摆法中可以看出：1对面不会是4,6,也不会是2,3。那么1的对面一定是5。③剩下的2对面一定是6。例题2：如图所示的物体是由一些小正方体木块堆积而成,这个由多少个小正方体组成的呢？思路导航：数小正方体的块数,要做到不重复和不遗漏的数。则必须有序的数,方法是一层一层的数。①第一层先数露在外面的小正方体的块数共4块,面数藏在下面的块数一共有5块,则第一层共有4+5=9块。②再数第二层的块数,方法同上,露在外面的有4块,藏在下面的有1块,则共有4+1=5块。③最后数第三层有1块,这样,这个物体一共有9+5+1=15块,反之,可以先数最上层,一层一层往下数,也可以。练习：1、一个正方形的6个面分别涂着红,黄,蓝,白,黑,绿6种颜色,根据下面三种摆法,判断哪种颜色的对面涂着哪种颜色。绿黑黄绿黑黄白红蓝白红蓝白红蓝白红蓝2、根据一个正方体的三种不同摆法,判断出相对的两个面上的字母是什么？EBFEBFCDACDACDACDA42523、下图是由四个完全一样的正方体拼成长方体。每个正方体的六个面都按同样的顺序写有1、2、3、4、5、6六个数字,请写出每个数字的对面上的数这了是几？425251534515344、如图,将图中的硬纸片沿虚线折起来。便可折成一个正方体,问这个正方体的2号面对面是几号面？33124565、如图是一个正方体木块面展开图,若在正方体的各面填上数,使对面数之和为7,A、B、C处填的数各是多少？2C2C1B1B4A4A数一数,每个图形各由多少块小正方体组成的7、如图,请你用种不同的方法把等边三角形分割成面积相等的三部分。8、其形状如图所示7种,如果只用其中的一种图形拼成面积是16的正方形,那么可以用的图形有哪儿种？〔1〔2〔3〔4<5><6><7>第四讲包含与排除在解包含与排除问题时,要善于使用形象的图示帮助理解题意,搞清数字关系和逻辑关系。有些语言不易表达清楚的关系。用了这适当的图形数量就很直观,很清楚,因而容易进行计算。例题1：五年级有96名学生都订了刊物,有64人订了少年报,有48人订了小学生报,问两种刊物都订的有多少人？思想导航：用左边的圆表示订少年报的64人,右边的图表示订小学报的48人,中间重叠部分表示两种报刊都订的人数,显然,两种报刊都订的人数被统计了两次：64+48=112人,比总人数多112-96=16人,这16人就是订两种报刊的人数。64+48-96=16〔人96人答：两种刊物都订的有16人。①．想一想：还有其它解法吗？各是怎么想的？64人48人例题2：学校开展课外活动,共有250人参加,其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动,参加象棋组的有83人,参加乒乓球组的有86人,这两个小组都参加的有25人,问250名同学中,象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？思路导航：两个小组都参加的有25人,因此,至少参加这两组小组中的一个小组的人数是83+86-25=44〔人,所以这两个组都不参加的人数是250-144=106〔人答：象棋组、乒乓球组都还参加的有106人。练习：1、一个班的52人都在做语文和数学作业,有32人做完了语文作业,有35人做完了数学作业。这个班语文,数学作业都做完的有多少人？2、某班有50名学生,在一次测验中有26人满分,在第二次测验中有21人满分。如果两次测验都没有过满分的学生有17人,那么两次测验都获满分的有多少人？3、某班的在一次测验中有26人语文获优,有30人数学获优。其中语,数双优的有12人,另外还有8人语,数均未获优。这个班共有多少个学生？4、第一小组的同学们都在做两道数学思考题,做对第一题的有15人,做对第二题的有10人,两道题都做对的有7人,两道题都做错的有2人,第一小组共有多少人？5、有122名同学参加语文,数学考试,每人至少有一门得优,已知语文65人得优,数学78人得优,求只有语文一门得优的有多少人？6、在100位旅客中,有70人懂英语,65人懂日语,既懂英语又懂日语的有45人,那么,既不懂英语又不懂日语的有多少人？7、老师在统计考试成绩,数学得分90分以上的有25人,语文得90分以上的有21人,两科中有一科的在90分以上有38人,问：两样都得90分以上的有多少人？8、少年乐团学生中有170人不是五年级的,有135人不是六年级的,已知五,六年级的共有205人,小年乐团中,五,六年级以外的学生共有多少人？第五讲简易方程列方程解应用题是小学数学的一项重要内容,,根据等量关系,列出含有未知数的等式,也就是方程,然后解出未知数的值。它的优点在于可以使未知数直接参加运算。列方程解应用题的关键在于能够正确地设立未知数,找出等量关系,从而建立方程。而找出等量关系,又在于熟练运用数量之间的各种已知条件。掌握了这两点,就能正确地列出方程。列方程解应用题的一般步骤是：1．弄清题材意,找出未知数,并用x表示；2．找出应用题中数量之间的相等关系,列方程；3．解方程；4．检验,写出答案。例题1：两块地一共100公顷,第一块地的4倍比第二块地的3倍多120公顷。这两块地各有多少公顷？解：设第一块地为X,则第二块地为<100-X>.4X-3<100-X>=1204X-300+3X=1207X=420X=60100-X=100-60=40答：第一块地是60公顷,第二块地是40公顷。例题2：六〔1班同学合买一件礼物送给母校留作纪念。如果每人出6元,则多48元；如果每人出4.5元,则少27元。求六〔1班学生人数。解：设六〔1班有X人。则6X-48=4.5X+271.5X=75X=50答：六〔1班有50人。练习：1、篮球、足球、排球各1个,平均每个36元。篮球比排球贵10元,足球比排球贵8元。每个排球多少元？2、一次数学竞赛有10道题,评分规定对一道题得10分,错一题倒扣2分。小明回答了全部10道题,结果只得了76分,他答对了几道题？3、XX路小学图书馆一个书架上有上、下两层,一共有245本书。上层每天借出15本,下层每天借出10本,3天后,上、下两层剩下图书的本数一样多。上、下两层原来各有图书多少本？4、甲、乙、丙三个数的和是166,已知甲数除以乙数,乙数除以丙数都是商3余2,甲、乙、丙三个数各是多少？5、玲玲今年11岁,爷爷今年74岁。再过几年,爷爷的年龄是玲玲年龄的4倍？6、甲、乙两个养鸡专业户,一共养鸡3000只。乙养鸡专业户卖掉800只鸡后,甲养鸡专业户养鸡的只数正好是乙养鸡专业户剩下的3倍。甲、乙两个养鸡专业户原来各养鸡多少只？7、妈妈买回一箱库尔勒香梨,按计划天数,如果每天吃4个,则多出24个香梨；如果每天吃6个,则又少4个香梨。问：计划吃多少天？妈妈买回香梨多少个？8、一架飞机所带的燃料最多可以用9小时,飞机去时顺风,每小时可飞1500千米；返回时逆风,每小时可以飞1200千米。这架飞机最多飞出多少千米,就需要往回飞？第六讲可能性与公平性例题1：小羊和小兔正在玩掷骰子〔小正方体,6个面上分别有1、2、3、4、5、6的游戏。如果他们俩的骰子合起来一同掷出去,两个骰子朝上的点数之和得几的可能性最大？可能性多少呢？〔如果一个是2点,一个是6点,和就是8点分析：我们可以把所有可能的情况列成下面的表格,就容易看出得几的可能性最大了。解答：从上图中可以看出,一共有36种情况,两个骰子朝上的点数之和得7有6种情况,可能性最大,可能性是6/36。例题2：把三枚硬币同时任意抛向上抛,落地时,三枚硬币都是正面朝上的可能性是多少？解：三枚硬币落地时,朝上的面有8种可能：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反所以：三枚硬币都是正面朝上的可能性是。练习：1、五〔4班进行演讲比赛,一共有20个题目,从1到20编号,同学们进行抽签决定演讲内容。吴阳对其中的4个内容不熟悉,如果吴阳第一个抽签,他抽到熟悉的内容的可能性是多少？如果吴阳第11个抽签,不熟悉的内容已经有2个被别人抽走,这里他抽到不熟悉的内容的可能性是多少？明明和亮亮各有6张卡片,分别是1、2、3、4、5、6,两人同时出一张卡片〔1两数积大于10的明明胜出,小于10的亮亮胜,每人胜的可能性各是多少？〔2这种游戏公平吗？如果不公平,请你重新设计游戏规则。3、准备10张卡片,写上数字,要使摸出4的可能性为3/10,这10张卡片的数字可以怎样安排？4、桌子上有3张扑克牌,分别是3、4、5,背面都朝上,摆出的三位数是2的倍数的可能性是多少?摆出的三位数是3的倍数的可能性是多少?摆出的三位数是5的倍数的可能性是多少？5、三张扑克牌排成一列,已知:<1>K右边的两张牌中至少有一张是A;<2A左边的两张牌中也有一张是A；<3方块左边的两张牌中,至少有一张是红桃；<4红桃右边的两张牌中,也有一张红桃；请按顺序排列这三张牌。6、学校进行跳高比赛,参加决赛的有A、B、C、D、E、F六个人,对于谁是冠军,看台上甲、乙、丙、丁四人猜测如下；甲说：冠军不是A,就是B；乙说：冠军绝不是C；丙说：D、E、F都不可能是冠军；丁说：冠军可能是D、E、F中的一个。比赛时发现：这四个人中只有一人的猜测是正确的。请你判定,冠军到底是谁？7、甲、乙、丙三支球队进行一次足球比赛,每两队之间赛一场。已知甲队总进球数是0,并且有一场打了平局,乙队1:0胜了一场,0:2输了一场。判定丙球队的成绩。8、8张牌上分别标有2、3、4、5、6、7、8、9。两人玩抽牌游戏。一次抽2张牌,抽出的数字之和是10的可能性是多少？甲乙两人约定,若抽出的数字和小于10,则甲胜,若抽出的数字之和大于10,则乙胜。这样的游戏公平吗？你认为应该怎样改？第七讲平面图形的计算在这一讲,我们主要讨论这样的问题：根据已知平面图形的特点以及图中各部分之间的关系,应用公式或其他数量关系,计算出该图形〔或其中某个部分的面积或图形中有关线段的长度。到目前为止,我们已经学过了长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形这五咱简单图形,它们的概念、性质〔特征与它们的周长、面积的意义的计算公式,课本上都作了介绍。这些都是我们解答"图形计算"问题所必需的基础知识。例题1：图中的甲和乙都是正方形,求阴影部分的面积。〔单位：厘米想：连结BD,分别求出三角形ABD,三角形BDC,三角形ADC的面积,再把它们加起来例题2：下图是两个相同的直角三角形叠在一起,求阴影部分的面积。〔单位：分米想：梯形ABCD+三角形BCF=+三角形BCF+梯形BFEG,求+梯形BFEG=梯形ABCD练习：1、求图中阴影部分的面积。2．求图中阴影部分的面积。3．下左图的长方形中,三角形ADE与四边形DEBF和三角形CDF的面积分别相等,求三角形DEF的面积。4．四中平等四边形ABCD的边BC长10厘米,直角三角形BCE的直角边EC长8厘米,已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米,求CF的长。5．右图是一块长方形草地,长方形长为16,宽为12,中间有一条宽为2的道路,求草地〔阴影部分的面积。6．如图,长方形的长是8,宽是6,A和B是宽的中点,求长方形内阴影部分的面积。7．如图,BC长为5,求画斜线的两个三角形的面积之和。8．上右图是两个一样的直角三角形重叠在一起,按照图上标出的数,计算阴影部分的面积。第八讲平均数问题例题1：五〔1班第一小组7个同学测量身高,有两个同学的身高都是153厘米,有一个同学的身高是152厘米,有两个同学的身高是149厘米,还有两个同学和身高是147厘米。这个小组同学的平均身高是多少厘米？分析与解：〔153×2+152+149×2+147×2÷7=1050÷7=150〔厘米答：这个小组同学的平均身高是150厘米。例题2：小红上学期共参加数学测试五次,前两次的平均分数是93分,后三次的平均分数是88分。小红这五次测试的平均分数是多少？分析与解：〔93×2+88×3÷5=〔186+264÷5=450÷5=90〔分答：小红这五次测试的平均分数是90分。练习:1、小玲四次英语测验的平均成绩是92.5分,第五次测验得100分。小玲五次英语测验的平均成绩是多少？2、小军期终考试,语文、外语、自然三门的平均成绩是78分,数学成绩公布以后,四门的平均成绩提高了5分。小军数学考了多少分？3、甲、乙、丙三个数的平均数是6,甲、乙两个数的平均数是4,乙、丙两个数的平均数5.3。乙数是多少？甲、丙两个数的平均数是多少？4、五个数的平均数是60,若把其中的一个数改为80,平均数变为70。灾个数原来是多少？5、小强前几次数学测验的平均成绩是84分,这一次测验要得100分,才难把平均成绩提高到86分。这一次是第几次测验？6、小华读一本书,第一天读83页,第二天读74页,第三天读71页,第四天读64页,第五天读的页数比这五天中平均每天读的页数多功能3.2页。小华第五天读多少页？7、以2为首的连续52处自然数的平均数是多少？8、有四个自然数,从第二个数起,每个数都比前一个数大3。已知这四个数的平均数是24.5,其中最大一个数是多少？第九讲数字编码例题1：某校为每个学生编号,设定末尾用1表示男生,用2表示女生；9713321表示"1997年入学的一年级三班32号同学,该同学是男生。"那么9532012表示的学生是哪一年入学的？几年级几班的？学号是多少？男生还是女生？分析：让学生理解9713321每一位数字代表的信息,然后与"9532012"一一对照,就能说出该学生的所有信息。例题2：了解身份证号中蕰含的信息和含义。分析：学生在此之前大概只知道身份证号码中蕴含自己的出生年月日,我们就从这里入手,首先让大家知道身份证号码中的第七位至第十四位是出生年、月、日,懂得月、日都是两位数表示。只有一位的,前面补0,然后具体讲解一个身份证号每位数字表达的含义。例33代表XX省02代表XX〔地区19余姚〔县,市73顺序号2性别〔偶代表女性5校验码练习：1、王华的身份证号码是：。根据这个身份证号码,你认为王华的生日是,性别是。2、某宾馆有两幢客房大楼,分别是9层楼和12屋楼,每层都有30个房间。你认为宾馆应该怎样为房间编号,才能使旅客拿到房间号就明白自己房间的具体位置。试着给每幢客房大楼的房间编号。3、某学校共有3000多个学生,每个学生都有统一的学号,20XX入学的陆柯,就读于6班,班学号为28号,他的统一学号为20050628,你能给20XX入学,读于4班,班号为3号的赵清编个统一学号吗？4、小军家住在金色豪园A幢3楼2号房,他家的门牌号为A302,小红家住在金色豪园C幢7楼4号房,小宇家住在金色豪园E幢1楼3号房,你能给小红和小宇家各编一个门牌号吗？5、今天刘芳家里来了四位客人。他们分别是外公、外婆、姑父、姑姑,下面是他们的身份证号,请你来分析,这些号码分别是谁的？6、如果一名同学的身份证号码是370323××××××××0028,请给这名同学补全身份证号码,她是1995年3月26号出生的7、李华于20XX参加高考的报名号为09421182110628前2位数表于参考年份,第10位表示科别,"1"表示文科,"5"表示理科,后四位表于顺序号。小恒表哥,表姐也于20XX和李华在同一地点参加高考,表哥报考理科。报名顺序号为1082,表姐报考文科,报名顺序号为0927,你给小恒表哥,表姐各编一个报名号码？8、身份证号,422129表示,19730227表示,008表示,2表示。综合练卷〔一一、我会填1、利民商店促销某种商品的规则是：一次购买不超过10件,每件5元；超过10件,超过部分每件3元。甲、乙两人购买此种商品,甲比乙多付19元,那么甲买了〔件,乙买了〔件。2、某人向东走300米,再向北走90米,再向西走80米,再向南走90米,这时此人与出发地相距〔米。3、如右图,点A、B、C、D是在正方形的各边的四等分点,则小正方形ABCD的面积占大正方形面积的〔〔填分数4、甲、乙、丙、丁四人一起完成一项工程,每人预领了相等的劳动报酬,可是丁工作一天就病倒了,结果是甲工作6天,乙工作5天,丙工作4天后把工程完成了,丁退回48元补偿其他三人,最后四人各得报酬〔元。5、小红和小东一起去文具店买文具,小红买了3支钢笔和2支圆珠笔,共用去了19元钱；小东买了2支钢笔和3支圆珠笔,共用去16元钱。问1支钢笔〔元,一支圆珠笔〔元。6、有两个数的最小公倍数是108,最大公因数是18,这两个数的和是90,这两个数是〔、〔。7、小明买了一段电线,安装有线广播。从电线杆到他家,拉单线余8米,拉双线少3.5米。他买的电线长是〔米。8、一个盒子里有1个红球,1个绿球,2个白球。除颜色外其余都相同,现在从盒子里一次取出两个球,则这两个球都是白球的可能性是〔〔填分数9、学校走廊里安装了100盏灯,从头到尾依次编号为1、2、3、4、5、6、7、8、9……100,每盏灯有一个拉线开关控制,因为是白天,所有的灯都是关着的。有100个学生从走廊经过,第一个同学把凡是1的倍数的电灯拉一下；2号学生把所有2的倍数的灯拉一下…如此下去,100号同学把凡是100的倍数的电灯拉一下。这时走廊里〔盏灯是亮着的,它们分别是〔〔填写编号10、通讯兵骑一辆摩托车行驶3000千米,除了车上的2只轮胎外还有一支备用胎,要使3个轮胎磨损程度相同,应有规律的把3只轮胎轮换使用,则达到终点时,每只轮胎行驶〔千米。二、我会用11、一个长方体长宽高都是整数,且都是质数,如果它的上面和正面的面积之和是209平方厘米。那么它的长宽高分别是多少？12、今年小刚年龄的3倍与小芳年龄的5倍相等,10年后小刚年龄的4倍与小芳年龄的5倍相等,则小刚今年的年龄是多少岁？13、一块长方形的铁皮,长28厘米,在这块铁皮的四角各剪下一个边长为4厘米的小正方形,然后通过折叠、焊接做成一个无盖的长方体盒子。已知这个盒子的容积是960立方厘米,求原来长方形铁皮的面积。14、小明是个中学生。他说："我的名次乘以我的年龄,再乘以我的考试分数,结果是2910。"你知道小明的名次、年龄和他这次的考试分数吗？15、如图,有一个棱长是1米的正方体木块。沿水平方向锯2次,竖直锯3次,再横着锯4次,共得到大大小小的长方体小木块60块,求这60块长方体表面积的和。五年级下册思维训练第一讲奇数与偶数例题1：某班同学参加学校的数学竞赛,试题共20题,评分标准是：答对一道给3分,不答给1分,答错倒扣1分。请说明：不管情况如何,这个班的得分总数一定是偶数。分析：此题可以采用"假设法"解决。它和后面的"鸡兔同笼"问题有相似之点。假设某个同学20道题全答对,他可以得60分,是偶数；如果他答错一道题,便要在60分中扣去〔3+1共4分,答错几道题,扣去几个4分,所以得分仍为偶数；如果他有一题没答,便要在60分中扣去2分,不管他有多少道题没答,被扣去的总是2的倍数,同样,得分仍是偶数,所以这个班每个同学的得分仍为偶数。因为"若干个偶数的和仍为偶数"所以这个班的得分总数一定是偶数。这道题运用的是：偶数-偶数=偶数、偶数+偶数=偶数,这个规侓,把它拓展到：偶数减若干个偶数仍是偶数,若干个偶数的和是偶数。这道题的突破口学生难以找到：就是使用假设法,假设全答对,然后再去倒扣"没答的"和"答错的"分数。还有一点,就是让学生理解"倒扣"的意思。例题2：一间会议室里有9盏灯,从1~9依次编号,开始时,只有编号是2,6,9的灯是亮着的,一个同学按1~9,再从1~9的顺序不停地按开关,一共按了300下,这时编号是几的灯不是亮着的？分析：让学生想象,亮的灯按奇数次就熄灭,按偶数次就亮。这个题目也包含"周期问题"在内。一共按了300下,9个灯一轮回。300÷9=33.……3,4号至9号灯被按奇数次,原来亮着的灯就不亮了。1号、2号、3号被按偶数次,原来亮的仍亮,不亮的仍然不亮。所以,现在有1号、3号、6号、9号灯不亮。练习：1、1+2+3+4+5+……+999+1000的和是奇数还是偶数？2、15个连续自然数相加,和是奇数还是偶数？3、能不能将2000写成10个连续自然数之和？如果能,把它写出来,如果不能,请说明理由。4、有20个自然数,它们的和是1999,在这些数里,奇数的个数比偶数的个数多,那么这些数里偶数至多有多少个？5、小亮晚上在家写作业,突然停电了,弟弟以为谁碰着开关了,跑去把开关不停的按了几下,哥哥说：你随便按,只要你告诉我按的次数,我就知道电来了,灯亮不亮。弟弟又去按了几下,他说："我先按了15下,现在又按了11下"。你们帮忙思考：如果来电了,他们能否知道？6、四个连续奇数的平均数是8,这四个奇数分别是多少？7、判断12+13+14+……+86+87是奇数还是偶数？8、A、B、C、D、E、F、G七盏灯,现在B、D、F亮着,一个小朋友不断地从A到G按开关,一共按了2000次,问：此时哪几盏灯是亮的？第二讲长方体和正方体例题1：在一个长15分米,宽12分米的长方体水箱中,有10分米深的水。如果在水中沉入一个棱长为10厘米的正方体铁块,那么,水箱中水深多少分米？想：加入的正方体的棱长是10厘米,它放入水中会淹没在水中,当这个正方体放入水中,升高的水的体积等于正方体的体积。例题2：一个长方体棱长的总和是48厘米,已知长是宽的1.5倍,宽是高的2倍,求这个长方体的体积。想：如果设高为xcm,那么宽为2xcm,长为2xcm×1.5,然后依据棱长的总和列出方程例题3：有一个棱长是3厘米的正方体,先从它的每个顶点处挖去一个棱长是1厘米的小正方体,再在它每个面的中央粘上一个棱长是1厘米的小正方体。所得物体的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？想：从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的小正方体,它的体积减少了一个棱长为1厘米的正方体,表面积没有变化；它一个面的中央粘上一个棱长是1厘米的小正方体,体积培加了1厘米的正方体体积,表面积增加了四个边长为1厘米的正方形的面积。练习：1、用2100个棱长是1厘米的正方体木块堆成一个实心的长方体。已知长方体的高是10厘米,并且长和宽都大于高。这个长方体的长和宽各是多少厘米？2、在一个长20分米,宽15分米的长方体容器中,有20分米深的水。现在在水中沉入一个棱长20厘米的正方体铁块,这时容器中水深多少分米？3、把一个长9厘米,宽7厘米,高3厘米的长方体铁块和一块棱长5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是20平方厘米的长方体。求这个长方体的高。4、有一块长方形的铁皮,长32厘米。在这块铁皮的四角各剪下一个边长为4厘米的小正方形,然后制成一个无盖的长方体盒子。已知这个盒子的容积是768厘米,求原来长方形铁皮的面积。5、18个边长为2厘米的小正方体堆成如图的形状,求它的表面积。6、把8个同样大小的小正方体拼成一个大正方体。已知小正方体的表面积是150平方厘米,大正方体的表面积是多少平方厘米？7、图中A的面积是25平方米,B的面积是15平方米,h是4米。现在把A处的土堆到B处,使A、B两处同样高,这时B处比原来升高了多少米？AABh8、在一个棱长为2厘米的正方体上面的正中间向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞,接着在小洞的底面再向下挖一个棱长为0.5厘米的小洞。第三个小洞的棱长为0.25厘米挖法与前两个小洞的挖法相同。现在这个立方体图形的表面积是多少？第三讲解决问题例题1：一个长方体玻璃缸,长8分米,宽6分米,高4分米,玻璃缸内水深2.8分米。把一块棱长为4分米的正方体铁块放入玻璃缸内后,水会溢出多少升？解：铁块的体积：4×4×4=64〔立方分米玻璃缸内的空间：8×6×〔4—2.8=48×1.2=57.6〔立方分米溢出的水的体积：64—57.6=6.4〔立方分米=6.4〔升答：溢出的水为6,4升。例题2：把一个底面积为正方形且边长是3分米,高是5分米的长方体石料尽量加工为体积最大的正方体,那么凿去的石料体积是多少立方分米？〔不计损耗分析：要加工成最大的正方体,正方体的棱长应是3分米。凿去的石料的体积=长方体的体积-凿去正方体的体积5×3×3-3×3×3=18〔立方分米答：凿去的石料的体积是18立方分米。练习：1、一个长方体的玻璃缸,最多可装水120升,已知玻璃缸里面长6分米,宽4分米,现有水深3分米。如果在玻璃缸内放入体积为15立方分米的玻璃球,里面的水会不会溢出,为什么？2、一个棱长8分米的正方体水槽里装了490升水,把这些水倒入一个长10分米,宽7分米,高8分米的长方体水槽里,水槽里的水深是多少？3、把一块棱长8厘米的正方体钢坯,锻造成长16厘米,宽5厘米的长方体钢板,这钢板有多厚？〔损耗不计4、一个长方体油桶,底面积是18平方分米,它可装43.2千克油,如果每升油重0.8千克,油桶内油高是多少？5、一个长方形铁皮长30cm,宽25cm,从四个角各切掉一个长为5cm的正方形,然后做成一个无盖的盒子,这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？6、把一块长26dm的长方形木板,在四个角上分别剪去边长为3dm的正方形,将它制成容积为840立方分米的长方体无盖容器,这块木板原来的宽是多少？7、一个长方体游泳池长60米,宽30米,深2米,游泳池占地多少平方米？沿游泳池的内壁1.5米处用红漆划一条水位线,这条线的长度是多少？现在游泳池内的水正好到达水位线,求池内水的体积？8、一个长方体玻璃缸,从里面量长40厘米,宽25厘米,水深12厘米,把一块石头浸入水中后,水面上升到16厘米,求石块的体积？第四讲分解质因数例题1：李老师带领一班学生去植树,学生恰好分成4组,如果老师和每个学生植树棵数一样多,那么他们共植树539棵。这个班共有多少名学生？每人植多少颗树？策略与方法：学生人数和每人植树的棵数与乘积有关,可以用分解质因数的方法来解答。思考与操作：植树的人数×每人植树的棵数=539,把539分解质因数。539=7×7×11=7×77=11×49。由题中的条件可知：植树的人数=学生的人数+1。因此,当学生的人数是77-1=76〔人时,每人值树7棵,当学生的人数是49-1=48〔人时,每人植树11棵。结合实际,一般情况下,一个班76人的情况下很少,所以这个班最有可能是48人,每人植树11棵。例题2：把40,44,45,63,65,78,99,105这8个数字分成两组,使这两组4个数的乘积相等。策略与方法：两组数的乘积相等,两组数的乘积的质因数也一定相等,而且相同的质因数的个数也一定相等。思考与操作：40=2×2×2×544=2×2×1145=3×3×563=3×3×765=5×1378=2×3×1399=3×3×11105=3×5×7可以看出,这8个数中含有6个2,8个3,4个5,2个7,2个11,2个13,因为两组数的积相等,所以分组后应该为3个2,4个3,2个5,1个7,1个11和1个13。经过分析排列,40,63,65和99为一组,44,45,78和105为另一组。练习：1、下面的算式里"□"里的数字各不相同,求这四个数字之和□□×□□=19952、3月12日3、王老师和同学们去植树,全班同学刚好可以平均分成4个小组。如果老师与学生每人植树的棵数相等,一共植了520棵,参加植树的一共有多少个学生？平均每人植多少棵？4、有三个学生,他们的年龄一个比一个大3岁,他们三人年龄的乘积是1620,这三个学生的年龄和是多少？5、将下面八个数分成两组,使这两组数的乘积相等2、5、14、24、27、55、56、996、把30、33、42、52、65、66、77、78、105九个数字分为三组,使每组数的乘积相等。7、将0.09、0.15、0.3、0.34、0.28、0.77、0.55、0.85八个数分成两组,使这两组数的乘积相等。8、将下面8个数分成个数相等的两组,怎样分才能保证两组数的乘积相等？1.4、0.33、0.35、16.9、14.3、0.75、0.39、0.3第五讲最小公倍数与最大公因数例题1：一块长48cm,宽42cm的布,不浪费边角料,能剪出最大的正方形布片多少块？解析：剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长48cm,宽42cm.。所以它是48与42的公因数。题目又要求剪出的正方形最大,也就是求48与42的最大公因数。因为48=2×2×2×2×3,42=2×3×7。所以它们的最大公约数是6,也就是正方形的边长是6cm,这样长边每排剪8块,宽边剪7块,共可剪〔48÷6×〔42÷6=8×7=56〔块例题2：用长16cm,宽14cm的长方形木板来拼成一个正方形,最少需要用这样的木板多少块？解析：所铺的正方形的木板它的边长必定是长方形木板长和宽的倍数。也就是长方形长和宽的公倍数,又要求最少需要多少块,所以正方形的边长应是14与16的最小公倍数,先求14与16的最小公倍数[14,16]=112,因为正方形的边长最小为112,所以最少需要用这样的木板〔112×112÷〔16×14=7×8=56〔块练习：1、一个长180cm,宽45cm,高18cm的木料,能锯成尽可能大的正方体木块多少块？2、两个自然数的和是50,它们的最大公因数是5,则这两个数的差是多少？3、一个两位数,用它除58余1,除73余3,除85余1,这个两位数是多少？4、幼儿园有糖115颗,饼干148块,桔子74个,都分给大班小朋友,结果糖果多出7颗,饼干多出4块,桔子多出2个。这个大班的小朋友最多有多少个小朋友？5、一个数能被3、5、7整除,若用11去除则余1,这个数最小是多少？6、五年级两个班的学生一起排队出操,如果9人排一行,多出1个人。如果10人排一行,同样多出一个人,这个班最少共有多少人？7、有一盒乒乓球,每次8个8个地数,10个10个地数,12个12个地数,最后总是剩下3个,这盒乒乓球至少有多少个？8、把几十个苹果平均分成若干份,每份9个余8个,每份8个余7个,每份4个余3个,这堆苹果共有多少个？第六讲余数问题通常把这一算式称为带余除式,它使我们容易从"余数"出发去考虑问题,这正是某些整数问题所需要的.特别要提请注意：在带余除式中,余数总是比除数小,这一事实,解题时常作为依据.例题1：5397被一个质数除,所得余数是15.求这个质数.解：这个质数能整除5397-15＝5382,而5382＝2×32×13×23.因为除数要比余数15大,除数又是质数,所以它只能是23.当被除数较大时,求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍,从而得到余数.例题2：有一个大于1的整数,它除967,1000,2001得到相同的余数,那么这个整数是多少？解：由上面的结论,所求整数应能整除967,1000,2001的两两之差,即1000-967＝33＝3×11,2001-1000＝1001＝7×11×13,2001-967＝1034＝2×11×47.这个整数是这三个差的公约数11.请注意,我们不必求出三个差,只要求出其中两个就够了.因为另一个差总可以由这两个差得到.例如,求出差1000-967与2001-1000,那么差2001-967＝〔2001-1000＋〔1000-967＝1001＋33＝1034.从带余除式,还可以得出下面结论：甲、乙两数,如果被同一除数来除,得到两个余数,那么甲、乙两数之和被这个除数除,它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数.练习：1、237除以一个两位数的余数是6.求出所有这样的两位数.2、小张在计算有余数的除法时,把被除数113错写成131,结果商比原来多3,但余数恰巧相同,那么该题的余数是多少？3、如果某个三位数除492,2241,3195都余15,那么这个三位数是几？4、73,216,227被某个数b除的余数相同,那么108被这个数b除的余数应是多少？5、一个数除以5余1,除以6余2,除以7余3,这个数是几？6、有学生在操场上列队做操,只知人数在90～150之间.如果排成3列不多也不少；如排成5列则少2人；如排成7列则少4人.问共有学生多少人？7、阿龙喜欢把电话号码作为数学练习.一个电话号码是八位数,它被3除余1,被4除余2,被11恰好整除.阿龙只记着前六个数字是257633□□但是算了一下,他便知道后两个数字.问这个电话号码最后两个数字是什么？8、下面写了一串数0,1,6,7,12,13,18,19,….按这个规律写下去,问第134个位置上的数被7