2021年度自考线性代数经管类讲义

自考髙数线性代数课堂笔记第一章行列式线性代数学核心内容是:研究线性方程组解存在条件、解构造以及解求法。所用基本工具是矩阵,而行列式是研究矩阵很有效工具之一.行列式作为ー种数学工具不但在本课程中极其重要,并且在其她数学学科、乃至在其她许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少。1.I行列式定义（-）ー阶、二阶、三阶行列式定义注意:在线性代数中,符号bl不是绝对值。（-）ー阶、二阶、三阶行列式定义注意:在线性代数中,符号bl不是绝对值。⑵定义:符号パ叫二阶行列式，它也是一种数,其大小规定为：cd=ad-be因此二阶行列式值等于两个对角线上数积之差。（主对角线减次对角线乘积）=1x4—2x3=—2り3=（3）符号り3=（3）符号alめ叫三阶行列式,它也是一种数，其大小规定为生bゝc\ち“与C3-a也Q+勺ムq+［あぐ2-a也ら-a也c2-［ユ句心123456例如789^]X5x9+4x8x3+7x2x6-7x5x3-4x2x9-lx6x8=o三阶行列式计算比较复杂,为了协助人们掌握三阶行列式计算公式，咱们可以釆用下面对角线法记忆瓦•G]b[Qb/Vg/Lレ=a也c?+的ムq+aユ瓦G-a382cl-ク也。2-a261cl办法是:在已给行列式右边添加已给行列式第一列、第二列。咱们把行列式左上角到右下角对角线叫主对角线,把右上角到左下角对角线叫次对角线,这时,三阶行列式值等于主对角线三个数积与和主对角线平行线上三个数积之和减去次对角线三个数积与次对角线平行线上数积之和.例如:=1x5x9+2x6x7+3x4x8-3x5x7-1x6x8-2x4x9=0=a1xi2xc34-2>1xc2x04-c1x0x0-c1xh2xO-^x^xO-^xOxcj二a也Q(3)=%x瓦xq+0x0xa3+0xa2xムーOx/^xg—/xOxあーOxa?xc3二a也c?（2）和（3）叫三角形行列式,其中（2）叫上三角形行列式,（3）叫下三角形行列式,由（2）（3）可见,在三阶行列式中,:向形行列式值为主対角线三个数之积,别的五项都是0,例如

213031=2x3x(-2)=-1200-23001-20=3x(-2)x4=-24234200030=2x3x(-l)=-600-12a=0例1a为什么值时,34［答疑编号10010101:针对该题提问I2a一=8-3a解由于34〇2a24=0因此8-3a=0, 3时$くTOC\o"1-5"\h\zx-1 4 2-2 x x >0例2当x取何值4 2 1 时,［答疑编号10010102:针对该题提问］解:X-I42 X-I♦2」34ハXX= 7、ドス:、-ノ、41« 4,21イ・2=(x-l)x1+4x4+2(-2)2-2x4-(x-1)x2-4(-2)1=x2-x+16x-8-8x-2X2+2x+8=-x2+9x=x(9-x)>0

=(スー1)ス1+4x4+2-(-2)2-2x4-(x-l)x2-4(-2)1=-え+16x-8—8x—2ズ+2x+8=-x2+9x=x(9-x)>0解得0vxv9因此当0vxv9时,所给行列式不不大于0。(二)n阶行列式レL: ： :‘符号: ム142 …ann它由n行、n列元素(共ね2个元素)构成,称之为n阶行列式。其中,每ー种数称为行列式ー种元素，它前ー种下标i称为行标,它表达这个数.在第i行上:后ー种下标j称为列标,它表达这个数唱.在第j列上。因此网;在行列式第i行和第j列交叉位置上。为论述以便起见,咱们用(ij)表达这个位置。n阶行列式如通也简记作卜n阶行列式2=I。＞L也是一种数,至于它值计算办法需要引入下面两个概念。(1)在n阶行列式&中，划去它第i行和第上列,余下数按照本来相对顺序构成一种(n-1)阶行列式叫元素13V余子式,记作坊，例如，在三阶行列式以］I% &ク3=a2x叼2ク23も2密中，斫珠子式必“表达将三阶行列式a划去第1行和第1列后，余下数按照相对位置构成二阶行列式,因此相似地，ク女余子式婚》表达将三阶行列式ス划去第二行和第三列后，余下数构成二阶行列式。因此ム31

1322=478例1若569,求:⑴ム［答疑编号10010103:针对该题提问］⑵跖21［答疑编号10010104:针对该题提问］(3)必［答疑编号10010105：针对该题提问］(4)比32［答疑编号10010106：针对该题提问I解⑴№45,8=36-40=-49(2)符号4项元素クび代数余子式定义:4=(-'1)”'招(系数其实是个正负符号)例2求例】中为弋数余子式［答疑编号10010107:针对该题提问］4ji［答疑编号10010108：针对该题提问］&［答疑编号10010109:针对该题提问］(4)ム2［答疑编号10010110:针对该题提问］解：(1)マ监2=-4二&=(-1ザ/=(-1)3M12=(-1)(-4)=4⑵=1541=(-1严"21=—A/21=—15⑶ゝ・焰3=T1：.&=(-1ド,必a=Afn=-11(4);/=〇&=(-1)3+2M32=_必2=0(如果符号是奇数,等于相反数;如果是偶数,等于原数)以11 a!2り3=以21叼2a23例3若01 %3计算ユ1141+。2141+%141 (以上两组数相等)［答疑编号10010110针对该题提问］解:的14+。2Ml+%&='】(-1产％】+%(-1严%1+%(-1严监1=auMn-/r%i+勺1%1

=1（。22a33ー。23032）ー （/2%3一013%2）+。31（。12。23ー013。22）=22033+“12a23与1+，3a21a32—011023%2一%%为3一,3022a31由于G"Q>> 0，•小I，G”&i=22a33+，2a23%1+013021a32ー。!3。22a31一/1aム% 2a21生3与例3成果比较,发现ananaiz£）3=以21以22423=«1141+2141+为1032ク33这一成果阐明:三阶行列式鼻等于它第一列元素与相应代数余子式积和,这ー成果可以推广到n阶行列式作为定义。定义:n阶行列式anfli2ai»&=： : ：=%1ム1+。2141Hha»iAi4142…。松n=Zq14即规定n阶行列式ユ值为它第一列元素与相应代数余子式积和,上面成果中由于4=aいム=ー並シ&=%ド4=（一1严此12=，!监1I囹％1+的峪1■,卜（-1严へ四“特别情形ユ=。1I峪1-a21M21+。幫ム1り4=。11峪1-％舷21+«31幀1一041M41例4计算下列行列式以]]0D4=0(1)TOC\o"1-5"\h\za以]]0D4=0(1)a22 a23 a24〇 与 a340 0 a44［答疑编号10010112:针对该题提问］%ぴ!3 /4a22 a23 め40 a33 %0 0 a44-+。21413M31+4141=«］iAi+0x4］+0x4］+Ox&i=的跖a22 a2Sa24=an0 以33%4。〇而=。11旳必力。44由本例可见四阶上三角形行列式值也等于它主对角线各数之积二为1の必犯ム4国1ai2aYi%4。150&篮。23%ちロ5=00。33为445000，4。45(2)0000a55［答疑编号10010113:针对该题提问］a\2ai3以14ai50a22以23%%D5=00ほ33%4为5000以440000%=以1141+“2141+。31&+a4141+。5Ml=/Mu+0+0+0+0=。”瓶]]+0+0+0+0

=22a33a“知可见五阶上三角形行列式值仍等于它主对角线各数之积即汹公生3a44aお普通地可推得即任意n阶上三角形行列式值等于它主对角线各数之积斯代公"“小同理有TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"% 0 0 -- 0。21 。22 0 0.=/汹22…a；a*i a*2 %3 …ム*1.2行列式按行（列）展开在1.1节讲n阶行列式展开时,是把ユ按其第一列展开而逐渐把行列式阶数减少后来,再求出其值.事实上,行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它值。当前给出下面重要定理，共证明从略。定理.1.2.1（行列式展开定理）n阶行列式"=1%し等于它任意一行（列）各元素与其相应代数余子式乘积之和,即D=an41+（^2-42+•,,+°»4« （i=l,2，…,n） （1.8）或。=クトム+a2,4j+…+aヤ4 （j=l,2,...,n） （1.9）其中,4是元素在d中代数余子式。定理1.2.1（行列式展开定理）n阶行列式"=1囹L等于它任意一行（列）各元素与其相应代数余子式乘积之和,即Z)=ail4i+<2j242+"+l3»4« (i=l,2，…,n) (1.8)或D=aジム+“2j4+"-+%& (j=l,2,...,n) (1.9)其中,4是元素a溶d中代数余子式。(1.8)式称为D按第i行展开式,(1.9)式称为D按第j列展开式,这里ij=l,2,...上述展开定理也可以表达到0=(-1),+%］此1+(-1),，財2+…+(-1)"・怒峪, (i=l,2,…,n)D=(ー严如g+(ー产%Mj+…+(-1严％% (j=l12>...,n)这两个展开式中每ー项都由三某些构成:兀素内?.和它前面符号以及它背面余子式加い三者缺ー不可!特别容易忘掉是把元素々/(特别是aが=一1)抄写下来。依照定理!.2J懂得,凡是含零行(行中元索全为零)或零列(列中元素全为零)行列式,其值必为尊特别情形(1)ananai3ク3=421a22a31% 的3=«11A]+72141+白3141二412エ!2+422工22+432A?二仪13413+以23423+以弘4=白114+[]2A2+4!34=42141+以2242+以2343二以a141+032ムス+a力42¢2)

=。114+出141+。3141+%i4i二白12ス12+22242+もス厶2+^42月42=413413+72343+电3冯3+ス43ム3=。14&+%4+%4&+ム4ん4=，1ム+，24+713&+ほ14ん—白ユ1421+«2242+以2343+以制4M=03141+ +a3343+“3444=44141+以4242+143ん3+ほ44ム4以］］〇 〇 〇ク_a21a22 〇 〇め］陶与〇例5计算4142443a44［答疑编号10010201:针对该题提问］解:由于第一行或第四列所含零最多,故可按第一行展开（解题技巧）D=+aロ4+ロ!34+%44；=。13=な］4=〇ュ。=以］］M］］+0+0+0%0〇=anロ32%3 0以42 43 %4=が33a4可见四阶下三角形行列式值也等于它主对角线各数之积=的1も/めさ44例5成果可推广为咱们称这种行列式为下三角行列式（可任意取值元素在主对角线下面）。

例6计算21-1030003121［答疑编号10010202:针对该题提问］例6计算21-1030003121［答疑编号10010202:针对该题提问］解:由于第2行含〇最多,因此应按第二行展开=a2M1+旳る+a2543+a2444■■白21=。22=〇24=°；.ム=0+0+a2343+0=ー财112-1=-3203111=-3(白2141+42242+a234}=-3{—a21M2i+。ーa23M23}=-3{-2x3-3x(-1)}=9TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"0 1 0 0 0 0\o"CurrentDocument"0 0 2 0 0 00 0 0 3 0 00 0 0 0 4 00 0 0 0 0 5例7计算例7计算03：针对该题提问］解：将&按第6行展开得A=。614il+/242+a6343+a644+a6545+，6415=-a6MlTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 0 0 0 00 2 0 0 0=-60 0 3 0 00 0 0 4 00 0 0 0 5

=-6xlx2x3x4x5=—61例8计算（i）［答疑编号10010204：［答疑编号10010204：针对该题提问］解:按第4行展开D=a4141+0+0+0=一a41M4i=~d\a=~d\0c20［答疑编号•［答疑编号•10010205：针对该题提问］解:将D按第一行展开D= +0+〇+ムん=。11峪1ー/4”14ちち〇=生=ん厚3-3）-4ム得3-ちら）（重新分组后得出）=（%ムー44）（3-&ら）（重新分组后得出）13行列式性质与计算由于n阶行列式是n!项求和,并且每ー项都是n个数乘积,当n比较大时,计算量会非常大,例如,

10!=3628800。因此对于阶数较大行列式很难直接用定义去求它值,这时运用行列式性质可以有效地解决行列式求值问题。下面咱们来研究行列式性质,并运用行列式性质来简化行列式计算。行列式性质将行列式D第一行改为第一列,第二行改为第二列……第n行改为第n歹リ,仍得到ー种n阶行列式,这个新行列式称为D转置行列式，记为D1I或D<即如果性质1行列式和它转置行列式相等,即D=DT或0n an •-% an % ••\a2l fl2Ja2x an a12an2依照这个性质可知,在任意ー种行列式中，行与列是处在平等地位。凡是对“行”成ウ性质,对“列”也成立;反之，凡是对“列”成立性质,对“行’‘也成立。因此只需研究行列式关于行性质,其所有结论对列也是自然成立。（运用最多）性质2用数k乘行列式D中某一行（列）所有元素所得到行列式等于kD。这也就是说，行列式可以按某・行和某ー按列提出公因数:证将左边行列式A按其第i行展开后来，再提出公因数k,即得右边值:ワ1=Z/4=たZ%4=kPvL=中>1>1

注意如果行列式行多行或多列仃公因数,必要:按行或按列逐次提出公因数。2556410例1计算行列式:1615［答疑编号10010206:针对该题提问］5 210=2x3x35 210=2x3x315 125=2x3x5325 1=30(4+6+5-2-4-15)=30(-6)=-180在例1计算过程中,咱们先提出第二行公因数2和第三行公因数3,得到第一种等号右边式子,然后提出这个行列式中第三列公因数5,把行列式中各元素绝对值化小后来,再求出原行列式值。-abacaebd-cdde例2ジグーガ［答疑编号1(X)10207I针对该题提问］-abacbd-cdkfグ由于由于=(-1)-F14-1—(―1)—(―1)—(―1)=4因此原式二4abcdef这里是把上式第一种等号左边行列式第一、二、三行分别提出了公因子adf,第二个等号左边行列式第一、二、三列分别提出了公因子b,c,e,化简后再求出其值。

-a例3计算行列式:—b-c0在行列式D每一行中都提出公因数（-1）并-a例3计算行列式:—b-c0［答疑编号10010208:针对该题提问］0aD=—a0—b-cb0-ac0aD=—a0—b-c—b-c

0由于行列式D是ー种数,因此山D=-D,可知行列式D=0«—b-c

0由于行列式D是ー种数,因此山D=-D,可知行列式D=0«用这种办法可以证明:上元素金为〇,而以由对角线为轴,两边处在对称位置上元素异号0=1%1“反对称行列式,则它满足条件%/=_%，ルノ=1,2,••,机（运用最多）性质3互换行列式任意两行（列）,行列式值变化符号,即对于如下两个行列式依照这个性质可以得到下面重要推论:推论如果行列式中有两行（列）相似,则此行列式值等于零。由于互换行列式D中两个相似行（列）,其成果仍是D,但由性质3可知其成果为-D,因而D二一D,因此D=0。性质4如果行列式中某两行（列）相应元素成比例,则此行列式值等于零。证设行列式D第i行与第j行相应元素成比例,不妨设第j行元素是第i行元素乘以k得到,则

由于将行列式D中第j行比例系数k提到行列式外而來后由于将行列式D中第j行比例系数k提到行列式外而來后來,余下行列式仃两行相应元素相似,因而该行列式值为零,从而原行列式值等于零。行列式中某两列元素相应成比例情形可以类似地证明。12〃x）=2例4验算x=3与否是方程 42371x3=0345266根。［答疑编号10010209:针对该题提问I/(3)=解:由于237133=0345266（第二行与第四行成倍数）.♦.x=3是方程f（x）=0根。性质5行列式可以按行（列）拆开,即证将左边行列式按证将左边行列式按其第i行展开即得d=E(%+%)4=Z44+E44这就是右边两个行列式之和。

（运用最多）性质6把行列式D某・行（列）所仃元素都乘以同一数k后来加到另一行（列）相应兀素・上去,所得行列式仍为D。即:例5证明:11001k10D=00k2002k充要条件是k=l或k=±2I答疑编号10010301:针对该题提问1II②+（-i）x（D（第一行数乘与（.））加到第二行上去）k-11因此,D=0充要条件是k=l或k=+2o此题中，为了论述以便,咱们引入了新记号，将每一步行变换写在等号上面（若仃列变换则写在等号下面,本题没有列变换）,即第一步中②+（-1）x①表达将第一行一1倍加到第二行上,第二步是第一列展开。依照行列式展开定理与行列式性质，咱们有下面定理:

z）=kL定理1.3.1n阶行列式 任意一行（列）各元素与另一行（列）相应元素代数余子式乘积之和等于零,即知41+4242"1 h%ム=°（iwk）,（1.10）+ ■*aボん=°（j。凡）（11［）行列式计算行列式计算重要采用如下两种棊本办法。（1）运用行列式性质,把原行列式化为容易求值行列式,惯用办法是把原行列式化为上三角（或ド三角）行列式再求值。此时要注意是,在互换两行或两列时，必要在新行列式前面乘匕（-1）,在按行或按列提取公因子k时,必要在新行列式前面乘上k。（2）把原行列式按选定某一行或某一列展开,把行列式阶数减少,再求出它值,普通是运用性质6在某一行或某一列中产生诸各种“〇’‘元素,再按包括〇最多行或列展开。由于上三角行列式值等于其主対角线上元素乘积,因此咱们只要设法运用行列式性质将行列式由于上三角行列式值等于其主対角线上元素乘积,因此咱们只要设法运用行列式性质将行列式化23104-2-1-1-2121例6计算行列式0110［答疑编号10010302:针对该题提问］为上三角行列式,即可求出行列式值。TOC\o"1-5"\h\z2 3 1 01 12 3 1 04 -2 -1 -1 0 -8 -3 -1-2 1 2 1②+ (-2) X①〇 4 3 10 1 1 0|釧1、¢ |〇 ! 1 0\o"CurrentDocument"12 3 1 00110'0 4 3 1②一④ !〇 -8 -3 -123 100110③+(-4)X200-11④坨X②00 5-123 10011000-11④+5X③00 04咱们在计算例6中行列式时,是运用行列式性质先将它化成上三角行列式后,再求出它值,并实上在计算行列式值时,未必都要化成上三角或下三角行列式，若将行列式性质与展开定理结合起来使用，往往可以更快地求出成果。10212-110D.=4 1203例7计算行列式:［答疑编号10010303:针对该题提问］解观测到行列式第一行第一列位置元素au=l,运用这个（1,1）位置元素1把行列式中第一列其她元素全都化为〇,然后按第一列展开,可将这个四阶行列式降为三阶行列式来计算,详细环节如下:102-11203211003②+(-2)X①21③+(-1)X①按第一列展开,得-1-3-22=2-22321131-132132②+(-1)X①-2x0-4-1⑥+(-3)、〇0-7-5=-2x-4-1=—2610210-1-3-202-220321例8计算行列式［答疑编号10010304：23571-120徇）4232②+IX①@+(-2)X100046-5212II5按第一列!?开~5231037310370 3125按第二行展开375=1在本例中,记号①—②写在等号下面,表达互换行列式第一列和第二列,②+5x①写在等号下面,表达将行列式第•列乘以5后加到第二列。311113111131（例子很特殊）例9计算行列式:1110（例子很特殊）［答疑编号10010305:针对该题提问J解这个行列式有特殊形状，其特点是它每一行元素之和为6,咱们可以采用简易办法求其值，先把后ー:列都加到第一列上去,提出第一列公因数6,再将后三行都减去第一行:31116111111111111311631113110200一=6=6=4811316131113100201113611311130002(32)a2(a+1)2(a+2)2(a+3)2b2(b+1)2(b+2)2(b+3)2c2(c+l)2(c+2)2(c+3)2例10计算行列式:d2(d+1)2(d+2)2(d+3)2a2-b2=(a+b)(a-b)［答疑编号10010306：针对该题提问］(a+1)22a+36a+9(b+1)32b+36b+9(c+l)32c+36c+9(卅1)32d+36d+9TOC\o"1-5"\h\za2 (a+1)2 (a+2)2 (a+3)2I la2b2 (b+1)2 (b+2)2 (b+3)2 b2c2 (c+1)2 (c+2)2(c+3)2 =—pd2 (d+1)2 (d+2)2 (d+3)2| ④+(川ズ①ド(a+1)22a+33(2a+3)(b+D32b+33(2b+3)(c+l)22c+33(2c+3)(d+1)22d+33(2d+3)TOC\o"1-5"\h\z例11计算n阶行列式(n>l)；a b 0 0 00 a b --- 0 0D-=： :: zz0 0 0 -• a bb 0 0 -• 0 a［答疑编号10010307:针对该题提问］解将行列式按第一列展开,得2=%41+〇+…+°+Md（简化过程就是消阶,次方也应减少,为（№1）等ab0a0000…001…00•••abb-0a1-i严o0…0000b0--ab,=aガ"+(-l)iび“=ax+(-1)/%"111匕=ムx2x3デ X1 ;-2例12计算范德蒙德（VanderMonde）行列式: 1 2 3［答疑编号10010308:针对该题提问］（第一行乘（-X1）加到第二行上:第二行乘（-X1）加到第三行上）0弓0弓(X,-X1)Xj(x3-X])ろース1/Fxjxz-xj^(X3-Xi)=(x2 )(x3-Xj)=。2-再）。3一再）。3口2）=思3（ジ）aabb2a

bsa a a a a Ib b2 bs =abc Ic c2 cs Ixaaaaaxaaaaaxaaaaaxa例14计算aaaax（解题规律：每行或是每列中和是同样,故每行或是每列都例13计算［答疑编号10010309：针对该题提问］bb?=cピabc(b-a)(c-a)(c-b)(这是个定律)乘つ”加到第一行或是第一列上去,乘つ”加到第一行或是第一列上去,后再化简）［答疑编号10010310:针对该题提问1xaaaax+4ax+4ax+4ax+4ax+4aaxaaaaXa a a①论aaxaa①理）aax a aaaaxa(D-H3)イaa x aaaaax①遮aaa a x1111111111axaaa0x-a0 0 0(-a)①；(x+4a)aaxaa(7①00x-a0 0aaaxa®+(-a)①000x-a0aaaaX©+(~a)①000 0x-a(x+4a)(x-a)41.4克拉默法则由定理1.2.1和定理1.3.1合并有,\Dn,i=k;知41+円242■* 加ん=1c ..1[〇,iwk;. . “巴,j=k；jん+a2}-^lk •"%41fc=]0 ,(一)二元一次方程组(方程1、2左右同乘以ー种数,上下对减);%ム+ユ内泡①a21X1+a„x2=b2(2)由a22*①-al2*②得31户或一,2。21）再=。2A一,2ち由an②①得31al2Iあ=也ー。214anana21 aanana21 a22=Dbl%b?a22ana2iblb0=D：ク于ユ则有］“ちー。2 A是常数项.•・当D/）时,二元一次方程组有唯一解、一"一D（二）三元一次方程组知A+、拝”づゆ1①。21，1+&22,2+&23*3ーレZに）円］4+&変ズ2+a§ズす瓦③aH a]2 a]3a2i a22 a4 =D令a31 a32 a33 叫系数行列式瓦a12Sbanb]aBalla12瓦ル^22 a23="1a2ib?a23=ク2a21 a22ヒ2=Aセ3a32 a33a31b3a33a31 a32 ^3由D中An①+A21②+A3i③得（ム1141+。2141+♦3141）え1=441+ち41+ら4即Dx、=Dゝ由D中Al2①+A22②+A32③得312&+a2242+。32&）ス2=ム&+ち&+ち&即"勺="a由D中Al3①+A23②+A33③得（阳4+%43+。33ム3）ス3=44+ち43+ち&即"芯=鼻...当D/）时,三元一次方程组有唯一解L方，"万,ろー下普通地,有下面成果定理（克拉默法则）在n个方程n元一次方程组-auxl+a12x2+-+alj,xB=bl<221x1+a„x2+--+a2),xI=bjaslx1+aa2x2+-+aMxll=ba(|)中,若它系数行列式生1ai2alnD=%ia2z…a2nれa2 JM和则n元一次方程组有唯一解。推论:在n个方程n元一次齐次方程组■a11x1+a12x2+-+ahxa=0a21xx+a22x2+--+aailxB=0a,1x1+aa2x2+-+aJ,J,xa=0⑵中(1)若系数行列式D#),0方程组只有零解Xi=0, =0,x*=0(2)若系数行列式D=O0则方程组(2)除有零解外,尚有非零解(不证)例在三元一次齐次方程组A+x2+Xs=0<xx+2x2-3xs=02x.+3x?+ax,=0中,a为什么值时只有零解,a为什么值时有非。解。［答疑编号10010401:针对该题提问］111D=12-323a解: =2a-6+3-4-(-9)-a=a+2A(1)aチ-2时,D/),只有零解a=-2时，D=0,有非零解。本章考核内容小结（-）懂得一阶,二阶,三阶,n阶行列式定义懂得余子式,代数余子式定义（二）懂得行列式按一行（列）展开公式D*= +424TF”4D*=%4j+丿羯+…+9&（三）熟记行列式性质,会用展开公式或将行列式化为三角形办法计算行列式重点是三阶行列式计算和各行（列）元素之和相似行列式计算（四）懂得克拉默法则条件和结论第二章 矩阵矩阵是线性代