风险决策问题作业

习题：某农民拟在两种作物中选择一种若旱年1占60%正常年景2占40%1.156(1e0°2y)(单位:万元)，问该农民种植耐旱作物a1.156(1e0°2y)(单位:万元)，问该农民200601001.设该农民的效用函数为u(y)应该采取什么行动？画出该决策问题的决策树2.设气象预报的准确性是，即可七J0.8p(X22)0.8其中：X1表示预报干旱；X2表示预报正常年景。⑴画决策树；⑵求后验概率；⑶进行正规型贝叶斯分析，求贝叶斯规则；⑷讨论两种扩展型贝叶斯分析；⑸分析气象预报费用与是否进行气象预报的关系。求解：1.设该农民的效用函数为u(y)1.156(1e0.02y)(单位：万元)，问该农民应该采取什么行动？画出该决策问题的决策树。解：已知农民的效用函数为u(y)1.156(1e0.02y),0.02y1.156e令：l(y尸1-u(y), 0.02y1.156el(y)11.156(1e0.02y)11.1560.1561.156e0.02y0.1561.156e0.02y其效用函数和损失函数图形如下所示损失函数矩阵l(yj)为:10其决策树如下所示:

n在无观察日寸，Rl,r(,aj l(i，aj(i),已知(i)0.6,11则：r(©)l(i©) (i)l(2©)(2)=x+x==X+0X=风险r小者优，所以 ai为贝叶斯规则，即贝叶斯行动。即应选择耐旱作物。2.设气象预报的准确性是，即p(Xi1)0.8p(x22) 0.8其中：Xi表示预报干旱；X2表示预报正常年景。解：(1)画决策树(2)求后验概率已知p(x11)0.8p(x22)0.8,则在状态1和2下出现X1和】(1)0.4,的条件概率p(Xkj),k1,2,j(1)0.4,的条件概率根据：m(Xk) p(Xki)(i),i得：m(Xjp(。|1)(1)p(X1|2)(2)=,m(X2)=其后验概率分别为：根据：r(,i) l(j,i(Xk))p(Xkj)(j)jk策略1：31 1(X1),比1(X2)o=xX+XX+XX+XX策略2： 2(X2),%2(xJ0=XX+XX+XX+XX策略3: 3(x1)，为 3(xJ,=XX+XX+XX+XX策略4: 4(X2),a2 4(X2),=XX+XX+XX+XX因为：r(,1)r(,3)r(,4)「(，2),所以：1 3 4 2, 1是贝叶斯行动。⑷讨论两种扩展型贝叶斯分析扩展型之一：或l(j,(x))p(x|J()i给定X1(预报干旱)：采用司:rl(i,a1)p(x11)(Jl(2,ai)P(Xi2)(2)=XX+XX=采用a2：rl(i,a2)p(x1J(1)l(2,a2)p(x12)(2)xx+oxx=根据“风险小者优”得：给定Xi应选a-给定X2(预报天气正常)：采用ai,rl(i,ai)p(X21)(1)l(2,Q)P(X22)(2)=xx+xx=采用a2,rl(1,a2)p(X211)(1)l(2，a2)p(X22)(2)=1XX+0XX=根据“风险小者优”得：给定X2应选a2。由此得Bayes策略为：a1 (X1)a2(x2)o扩展型之二：rl(,a)(|x)d 或l(j,a)Jx)i给定X1(预报干旱)：采用a1：rl(1,a1)(1x1)l(2©) (2X1)=x+x=采用a2：rl(1,a2)(1x1)l(2,a2)(2x1)=X+0X=,根据“风险小者优”得：给定X1时应选行动a1。给定X2(预报天气正常)：采用a1,rl(1,a1)(1")l(2,a1) (2X2)=x+x=；采用a2：rl(1,a1) (1X2)l(2,a1)(2X2)=x+0X=o得：给定X2时应选择行动a2

由此得Bayes策略为：a1 (x1)a2⑸分析气象预报费用与是否进行气象预报的关系(X2)。根据：EVPIminE[l(,a)]E[minl(,a)](X2)。minE[l(,a)]min{E[l(,a)E[l(凡)}且.aAmin{0.448,0.6}0.448E(minl(,a))二l(「a。(1)l(2,a2)(2)aA= X+0X=有：EVPI=(万元)故：当气象预报费用小于等于(万元)，即760元时，可以采用天气预报又根据：EVSImipE[l(,a)]minE[EXl(,(x))]aAminE[l(,a)]min{E[l(,a)E[l(凡)}且aAmin{0.448,0.6}0.448则：EVSI=故该天气预报信息值得花钱。根据效用函数u(y)1.156(1e°.02y),其效用值为：uii(yii)1.156(1e°.°2y11)1.156(1e°.°22°)0.3811；已知：(1)0.6, /