机考题库-微积分

多元函数微分学机考题说明：1．考试时间为60分钟，满分为100分。2．每份试卷共有15题，其中容易题6道，中等题6道，难题3道。3．每份试卷中，1—10题每题7分，11—15题每题6分。4．试题范围：多元函数微分学。一、容易题xyy2,(x,y)(0,0)1．二元函数f(x,y)x2在点(0,0)处0,(x,y)(0,0)(A)连续，偏导数存在。(B)连续，偏导数不存在。(C)不连续，偏导数存在。(D)不连续，偏导数不存在。答：C2．设函数uu(x,y),vv(x,y)由方程组xuvuv时，uyu2确定，则当xv2(A)x。(B)v。(C)u。(D)yvuvuvuvu答：B3．设(x0,y0)是二元函数f(x,y)定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是若f(x,y)在点(x0,y0)连续，则f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数都存在。(B)若f(x,y)在点(x0,y0)的两个偏导数都存在，则f(x,y)在点(x0,y0)连续。(C)若f(x,y)在点(x0,y0)的两个偏导数都存在，则f(x,y)在点(x0,y0)可微。若f(x,y)在点(x0,y0)可微，则f(x,y)在点(x0,y0)连续。答：D4．函数f(x,y,z)3x2y2z2在点(1,1,2)处的梯度是(A)(1,1,2)。(B)2(1,1,2)。(C)(1,1,2)。(D)2(1,1,2)。333333999999答：A5．f(x,y)和f(x,y)在(x0,y0)连续对于函数f(x,y)在点(x0,y0)可微是[]xy（A）充分条件。(B)必要条件。(C)充分必要条件。(D)无关条件。答：A6．下列结论中错误的是(A)limxy0(k1)。(B)limxylim10。x0xyx0xyx011ykxy0y0yx(C)limxy1。(D)xy不存在。xlim0xyx0xyyx2xy0答：Bxy,(x,y)(0,0)7．设函数zf(x,y)，又xt,yt，则下列结论中正确x2y20,(x,y)(0,0)的是(A)df(0,0)0。(B)dzt00。(C)dzt01。(D)dzt01dt。22答：D8．若二元函数zf(x,y)在点P0(x0,y0)处的两个偏导数zz存在，则[]，xy（A）f(x,y)在P0点可微。（B）f(x,y)在P0点连续。（C）f(x,y)在p0点沿任何方向u的方向导数存在。（D）一元函数h(x)f(x,y0)在x0连续。答：D9．已知zln(x22)，则2z[]yxy2(y2x2)。(B)2(x2y2)(A)y2)2(x2。(x2y2)2(C)4xy(D)4xy。(x2y2)2。(x2y2)2答：C10．若f(x,y)在点(x0,y0)不可微,则一定有[]（A）f(x,y)在点(x0,y0)不连续。B）f(x,y)在点(x0,y0)沿某些方向v的方向导数不存在。C）f(x,y)在点(x0,y0)的两个偏导数至少有一个不连续。D）f(x,y)在点(x0,y0)两个偏导数存在且连续。答：C11．曲面S:xyzxyz2在点(1,1,1)的切平面[](A)包含y轴。(B)平行于y轴。(C)垂直于y轴。(D)A，B，C都不对。答：B12．设函数f(x,y)有连续的偏导数,在点M(1,2)的两个偏导数分别为f(1,2)f(1,2)1，则f(x,y)在点M(1,2)增加最快的方向是[]x1,yuuruuruuruuruuruurA.i。B.j。C.ij。D.ij。答：D13．函数zarccos(x2y2)212的定义域是[]ln(xy)(A)D(x,y)0x2y21。(B)D(x,y)x2y21。(C)D(x,y)0x2y21。(D)D(x,y)x2y21。答：A14．已知函数zz(x,y)由方程F(xz,yz)0确定，其中函数F具有一阶连续偏导数，且F1F20，则zz]x[y(A)1。(B)0。(C)1。(D)1。2答：D15．二元函数f(x,y)2x2y22xy[]A.没有驻点。B.至多有一个极值点。C至少有两个极值点。D至少有三个极值点。答：B16．椭球面x22y23z26在点的切平面方程是[](1,1,1)Axyz6。Bx2y3z1。Cx2y3z6。Dx2y3z3。答：C17．已知zecosxy，则dz[](A)cosxyxyydxxdy。(B)cosxysin(xy)(ydxxdy)。sin()()cosxyxyxdxydycosxy(ydxxdy)esin(e(C)。(D)。答：B18．设zxyf(y)，f(x)可导，则[]x(A)yzxxzy2f(y)。(B)xzxyzy2f(y)。xx(C)yzxxzy2z。(D)xzxyzy2z。答：D19．已知uxyyzzx，则[](A)uyzzxxy1(yxlnz),uyz1zxxy(zylnx)。xy(B)uyzzxxy1(yxlnz),uyz1zx1xylnx。xy(C)uyz1zxxy1lnz,uyz1zxxy(zylnx)。xy(D)uyz1zxxy1lnz,uyz1zx1xylnx。xy答：Ax3y x2y220．函数 f(x,y)x y极限存在且等于零。极限不存在但是无穷大量。答：D二、中等题

xy3在(x,y)(0,0)时[]极限存在但不等于零。极限不存在也不是无穷大量。1．设有直线L:x3y2z10:4x2yz20，则直线L2xy10z3及平面0(A)平行于。(B)在上。(C)垂直于。(D)与斜交。答：C2．直线x22yzx2y10与yz2之间的关系是20(A)重合。(B)平行。(C)相交。(D)异面。答：B3．曲面x22y23z221的与平面x4y6z0平行的切平面方程是(A)x4y6z21(B)x4y6z21。。2(C)x4y6z21。(D)x4y6z21答：D4．设函数f(x,y)在点(0,0)处的偏导数fx(0,0)4，fy(0,0)1，则下列命题中成立的是[]（A）函数f(x,y)在点(0,0)可微且df(0,0)4dxdy。（B）函数f(x,y)在点(0,0)的某邻域内必有定义。（C）空间曲线zf(x,y)在点(0,0)处的一个切向量为vvy0i4k。（D）极限lim(,)必存在。(x,y)(0,0)fxy答：Cxy,x和都是有理数;5．设f(x,y)y则[]0,其它.(A)f在(0,0)可微且df(0,0)0。(B)f在(0,0)的两个偏导数存在但不可微。(C)f在(0,0)可微，但df(0,0)0。(D)A,B,C都不对。答：A6．设f(x,y)sinxy,则f(x,y)在(0,0)点[]（A）连续,但偏导数不存在。（B）可微。（C）连续且偏导数存在。（D）不连续但偏导数存在。答：C7．已知f(x,y)具有二阶连续偏导数，zf(x,xy)，记vxy，则下列结论中正确的是(A)2z2fy2f。(B)2z2f2y2fx2x2xvx2x2。xv(C)2z2f2y2fy2f。(D)2z2f2y2fy22f。x2x2xvv2x2x2xvv2答：D8．下列命题中正确的是(A)若二元函数zf(x,y)连续，则作为任一变量x或y的一元函数必连续。(B)若二元函数zf(x,y)作为任一变量x或y的一元函数都连续，则zf(x,y)必连续。若二元函数若二元函数

f(x,y)可微，则其必存在连续的一阶偏导数。f(x,y)不连续，则其必不可导。答：A9．已知 f有连续的二阶偏导数， f x2 y,f ax y2,则a [ ]x yA. 1。 B.0 。 C.1。 D. 2.。答：C10．二元函数f(x,y)1,yx(x1)且x0在点(0,0)处[]0,其他(A)连续且偏导数存在。(B)连续但偏导数不存在。(C)不连续但沿任何方向的方向导数都存在。(D)不连续且偏导数不存在。答：C11．设zf(x,y)是由方程3xyzx2y2z20确定的函数.则f在(1,1)的梯度gradf(1,1)[]A{-1,-1}。B{-1,3}。C{3,3}。D{2,2}。答：A12．已知ux2yz3x2yz，v{1,1,1}，则[]u(1,1,1)2。(B)du(1,1,1)2。(A)v(C)gradu(1,1,1){0,0,1}(D)u(1,1,1)2。v3答：D13．已知函数f(x,y)在点(1,1)处可微，且f(1,1)1,fx(1,1)2,fy(1,1)3，又设g(x)f(f(x,x),x)，则dg(1)[]05dx13(A)。(B)。11。(D)。(C)答：Dxt1t2的平行于平面xyz1的切线方程是[]14．曲线y21t2z2(A)(C)

11z1xy8。28(B)211x1y1z122。(D)111

111xyz288。21111x1yz22。111答：A15．设zh(x,y)由方程exyzxyz确定，则h(x,y)在点P0(0,1)的两个偏导数h(0,1)和h(0,1)[]xyA.分别等于0和-1。B.分别等于1和00。C.都等于。D.都等于1。答：D16．椭球面S:x22y2z25的与平面:xyz40平行的切平面是[]525(A)xy(B)xyzz。。22(C)xy5。(D)xyz5z。24答：C17．设函数f(x,y)在点(0,0)附近有定义，且fx(0,0)3,fy(0,0)1，则[](A)dz(0,0)3dxdy。曲面zf(x,y)在点(0,0,f(0,0))的法向量为(3,1,1)。zf(x,y)(C)曲线在点(0,0,f(0,0))的切向量为(1,0,3)。y0z f(x,y)(D)曲线 在点(0,0,f(0,0))的切向量为 (3,0,1)。y 0答：C18．已知f(x,y)y2e2sint2dt，则df(x,y)等于[]x(A)2xex2sine2x2dx2yey2sine2y2dy。(B)2xex2sine2x2dx2yey2sine2y2dy。(C)2xex2sine2x2dx2yey2sine2y2dy。(D)2xex2sine2x2dx2yey2sine2y2dy。答：C19．设f(x,y)(x2y2)sinx1,x2y202y2x2y2，则在(0,0)处f(x,y)[]0,0(A)偏导数不存在。(B)不可微。(C)偏导数存在且连续。(D)可微。答：D20．已知曲面2zx2y2上点M处的切平面平行于平面xyz1，则M点的坐标是[](A)(1,1,1)。(B)(1,1,1)。(C)(1,1,1)。(D)(1,1,1)答：A21．函数zx3y33x23y2的极大值点是[](A)(0,0)。(B)(2,2)。(C)(0,2)。(D)(2,0)。答：A22．考虑二元函数 的下面四条性质：（1）在点处连续，（2）在点处的两个偏导数连续，（3）在点处可微，（4）在点处的两个偏导数存在。若用“”表示可由性质推出性质，则有[](A)。(B)。(C)。(D)。答：A三、难题1．下列命题中错误的是(A)若f(x)在[a,b]上可导，且存在唯一的极值点 M0，若f(M0)是极小值，则f(M0)必是f(x)在[a,b]上的最小值。(B)若f(x,y)在有界闭域 D的内部存在唯一的极值点 M0，若f(M0)是极小值，则f(M0)必是f(x,y)在D上的最小值。(C)若f(x,y)在有界闭域 D的内部取到最小值，且 M0是f(x,y)在D内的唯一极值点，则 f(M0)必是f(x,y)在D上的最小值。(D)连续函数 f(x,y)在有界闭域 D上的最大、最小值可以都在 D的边界上取到。答：B2．下列命题中正确的是(A)设M0为曲面 外一点， M1为曲面 上的点，若 M0M1 min{MM0}，则MM0M1是 在M1处的法向量。(B)设M0为光滑曲面 外一点，M1为曲面 上的点，若 M0M1 min{MM0}，M则M0M1是 在M1处的法向量。设M0为光滑曲面向量，则M0M1设M0为光滑曲面向量，则M0M1

外一点，M1为曲面 上的点，若 M0M1是 在M1处的法min{MM0}。M外一点，M1为曲面 上的点，若 M0M1是 在M1处的法max{MM0}。M答：B3．设f(x,y)是一二元函数， (x0,y0)是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是(A)若f(x,y)在点(x0,y0)的两个偏导数都存在，则f(x,y)在点(x0,y0)的梯度是gradf(x0,y0)(f(x0,y0),f(x0,y0))。xy(B)若f(x,y)在点(x0,y0)的两个偏导数都存在，则f(x,y)在点(x0,y0)沿方向v(cos,sin)方向导数是f(x0,y0)f(x0,y0)cosf(x0,y0)sin。vxy(C)若f(x,y)在点(x0,y0)的两个偏导数都存在，则f(x,y)在点(x0,y0)的微分是df(x0,y0)f(x0,y0)dxf(x0,y0)dy。xy(D)若f(x,y)在点(x0,y0)可微，则f(x,y)在点(x0,y0)的微分是df(x0,y0)f(x0,y0)dxf(x0,y0)dy。xy答：D4．已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且limf(x,y)xy1，则[]x0(x2y2)2y0点(0,0)不是f(x,y)的极值点。点(0,0)是f(x,y)的极大值点。点(0,0)是f(x,y)的极小值点。根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点。答：A5．设D是一有界闭域,函数f(x,y)在D上连续，在D内偏导数存在，且满足等式f(x,y)2f(x,y)f(x,y)，xy若f(x,y)在D的边界上恒为零，则f(x,y)在D上[]存在非零的最大值。存在非零的最小值。只在边界上取到最大值和最小值。能在边界上取到最大值和最小值。答：D6．已知f(x,y)0,xy0，v是任意单位向量，则[]1,xy0(A)f(1,0)0,f(1,0)0。(B)df(0,0)0。xy(C)f(0,0)0。(D)limlimf(x,y)limlimf(x,y)1。vy0x1x1y0答：Dxy,xy07．已知f(x,y)x,y0，则下列结论中错误的是[]y,x0(A)limf(x,y)f