中考数学压轴题100题精选(1-10题)

中考数学压轴题100题精选(1-10题)【001】如图，已知抛物线y二a(x-1)2+3J3(aMO)经过点A(—2,0)，抛物线的顶点为D,过O作射线OM〃AD.过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C,B在x轴正半轴上，连结BC．求该抛物线的解析式；若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s).问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？若OC=OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动•设它们的运动的时间为t(s)，连接PQ,当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长.图16图16【002】如图16,在RtAABC中，ZC=90°,AC=3,AB=5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).当t=2时，AP=，点Q到AC的距离是；在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；(不必写出t的取值范围)在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由当DE经过点C时，请直接写出t的值.【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE±AB交AC于点E，①过点E作EF丄AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长？②连接EQ.在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得ACEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值。28【004】如图，已知直线1:y=x+与直线1:y=一2兀+16相交于点C,I、I分别交x轴于133212A、B两点.矩形DEFG的顶点D、E分别在直线1、l上，顶点F、G都在x轴上，且点G与12点B重合．（1）求厶ABC的面积；（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；（3）若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0<tW⑵秒，矩形DEFG与AABC重叠部分的面积为S，求S关t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围.y/E2Dii必OF:CG\Bx第26题）【005】如图1,在等腰梯形ABCD中，AD〃BC,E是AB的中点，过点E作EF〃BC交CD于点f.AB=4,BC=6,ZB=60。.（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM丄EF交BC于点M，过M作MN〃AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP=x.当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出APM"的周长；若改变，请说明理由；当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使APM"为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.C图1M图4（备用）MC图1M图4（备用）M【006】如图13,二次函数y二X2+px+q(p<0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C5(0,-1),AABC的面积为丁。4求该二次函数的关系式；过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线，若该垂线与AABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。【007】如图1,在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（一3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM,如图2,动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（SM0）,点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，ZMPB与ZBCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.【【008】如图所示，在直角梯形ABCD中，ZABC=90°,AD〃BC,AB=BC,E是AB的中点，CE丄BD。(第託题團)(第託题團)求证：BE=AD；求证：AC是线段ED的垂直平分线；△DBC是等腰三角形吗？并说明理由。k【009】一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M,N,与反比例函数y=的图象相x交于点A,B•过点A分别作AC丄x轴，AE丄y轴，垂足分别为C,E；过点B分别作BF丄x轴,BD丄y轴，垂足分别为F,D,AC与BD交于点K，连接CD.若点AB在反比例函数y=-的图象的同一分支上，如图1,试证明：xS二S；四边形AEDK四边形CFBKAN二BM.k若点A,B分别在反比例函数y=—的图象的不同分支上，如图2,则AN与BM还相等x吗？试证明你的结论．y)2►xy)2►x第25题图2)[010]如图，抛物线y二ax2+bx-3与x轴交于AB两点，与y轴交于C点，且经过点（2,-3a）,对称轴是直线x=1，顶点是M.（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C,M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点PAC，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线y=-x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B,D重合），经过AB,E三点的圆交直线BC于点F，试判断厶AEF的形状，并说明理由；（4）当E是直线y=-x+3上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）.中考数学压轴题100题精选(1-10题)答案【001】解：(1)Q抛物线y二a(x-1)2+3再(a丰0)经过点A(—2,0),1分0二9a*3心•-a1分•••二次函数的解析式为:y•••二次函数的解析式为:y一逼x2+空x+婕3333分⑵QD为抛物线的顶点•D(1，<3)过D作DN丄OB于N，则DN=3、［3,AN=3,・•・AD=$32+(3^3)2=6,\ZDAO=60°QOM〃AD①当AD二AN=3,・•・AD=$32+(3^3)2=6,\ZDAO=60°QOM〃AD①当AD二OP时,四边形DAOP是平行四边形•OP=6•t=6(s)5分②当DP丄OM时,四边形DAOP是直角梯形过O作OH丄AD于H,AO=2,则AH=1(如果没求出ZDAO=60°可由Rt^OHAsRt^DNA求AH=1)4分6分•OP=DH=5t=5(s)③当PD=OA时，四边形DAOP是等腰梯形•OP=AD-2AH=6-2=4•t=4(s)综上所述：当t=6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形.分(3)由(2)及已知，ZCOB=60°,OC=OBAOCB是等边三角形则OB=OC=AD=6,OP=t,BQ=2t,•OQ=6—2t(0<t<3)过P作PE丄OQ于E，则PE=8分•sbcpq卜6x朋—2x(6—2t)咨t巫「—亠9分当t=2时，SBCP的的面积最小值为¥帯310分33393^/3•此时OQ=3,OP=-,OE=-•QE=3—-=-PE=3—2444411分图411分图4①当DE//QB时，如图4.TDE丄PQ,：・PQ丄QB,四边形QBED是直角梯形.此时ZAQP=90°.由AAPasAabc,得些=AP,ACAB即-=口.解得t=9.358②如图5,当PQIIBC时，DE丄BC,四边形QBED是直角梯形.此时ZAPQ=90°.由AAQPsAabc,15t=-8t=5或t=45.214【注：①点P由C向A运动，DE经过点C.方法一、连接QC,作QG±BC于点G,如图6.34PC=t,QC2=QG2+CG2=〒(5-1)]2+[4—(5-1)]2.345由PC2=QC2，得12=[_(5-1)]2+[4-_(5-1)]2，解得t=552方法二、由CQ=CP=AQ，得ZQAC=ZQCA，进而可得ZB=ZBCQ，得CQ=BQ，•:AQ=BQ=5..It=5.22②点P由A向C运动，DE经过点C,如图7.(6-1)2=[3(5-1)]2+[4-4(5-1)]2,t=兰】5514【003】解.(1)点A的坐标为(4,8)…1分将A(4,8)、C(8,0)两点坐标分别代入y=ax2+bx

8=16a+4b0=64a+8b解得a=-2,b=4・抛物线的解析式为：y=—2x2+4x3分(2)①在Rt^・抛物线的解析式为：y=—2x2+4x3分(2)①在Rt^APE和Rt^ABC中,tanZPAE=PEBCPE4~ap=~ab'即~ap=811…PE=2AP=2匚PB=8-t．・••点E的坐标为1(4+t,8-t).2111・••点G的纵坐标为：一^(4+t)2+4(4+t)=—t2+8.22282211・・EG=—§t2+8-(8-t)=—§t2+t.881•••-6V0,・当t=4时，线段EG最长为2.85分7分②共有三个时刻.②共有三个时刻.8分1640t1640t=,t=,t=1321338打2+11分【004】(1)解：由3x+3=0,得x=一4.A点坐标为(—4,0).由一2x+16二0,得x二8.B点坐标为(&0).AB=8-(-4)=12.(2分)28x+328x+33Y=-2x+16.Ix=5,解得=6.・C点的坐标为(5，6).(3分)S=AB・y=x12x6=36.(4分)△ABC2C2(2)解：•点D在l上且x=x=8y=x8+=8・D点坐标为(8,8).(5分)又•点1DBD33E在I上且y=y=8,.•.-2x+16=8.「.x=4.E点坐标为(4,8).(6分)2EDEE.OE=8-4=4,EF=8．(7分)(3)解法一：①当0WT<3时，如图1,矩形DEFG与厶ABC重叠部分为五边形CHFGR(T=0时，为四边形CHFG).过C作CM丄AB于M，则RtARGBsRtACMB.

BGRGtRG・•・=，即一=,・RG二2t.QRtAAFHsRt^AMC,BMCM36BGRGtRG・•・=，即一=,・RG二2t.QRtAAFHsRt^AMC,BMCM36・•・S二S-S-S二36—1xtx2t-1（8-1）x2（8—t）.△ABC△BRG△AFH22341644即S=——t2+—t+—.（10分）【005】（1）如图1,过点E作EG丄BC于点G.•・•E为AB的中点，.•・BE=1AB=2.2在Rt^EBG中，ZB=60。，ZBEG=30°..•・BG=1BE=1,EG=迈2—12=爲.2即点E到BC的距离为€—G图13分(2)①当点N在线段AD上运动时，5PMN的形状不发生改变.•・•PM丄EF，EG丄EF，•PM〃EG.EF〃BC，:.EP二GM，PM二EG二爲.同理MN=AB=4.如图2,过点P作PH丄MN于H，•MN〃AB,.•・ZNMC二ZB二60°，ZPMH二30°.4分・•・PH二23.•・MH=PMgcos30°=-.35则NH=MN—MH=4—=.22C图2在Rt△PNH中，PN斗NH2+PH26分・•・△PMN的周长=PM+PN+MN二J3+叮7+46分②当点N在线段DC上运动时，“PMN的形状发生改变，但AMNC恒为等边三角形.当PM二PN时，如图3作PR丄MN于R，则MR二NR.

3类似①，MR=2•.•・MN二2MR=3.7分•・•△MNC是等边三角形，・•・MC二MN二3.此时，x二EP二GM二BC-BG-MC二6-1-3二2.8分当MP=MN时此时，X目E，如图4,这时°Mc当MP=MN时此时，X目E，如图4,这时°Mc=MN=M二6—1—壮3—5—p3.［当NP二NM时，如图5，B(则zpmN二120。,又幺mNcg60。，m:.ZP图M3+ZMNC=180。.图4因此点P与F重合，5PMC为直角三角形.・•・MC二PMgtan30。二1.M二ZPMNN匚30。.C图5此时，x—EP—GM—6-1-1—4．综上所述，当x—2或4或G-朽)时，△PMN为等腰三角形.55【006】解：(1)OC=1,所以,q=-1，又由面积知0.5OCXAB=4,得AB=亍，I厶设A(设A(a,0),B(b,0)AB=b-a=(a+b)2—4ab=—,解得p=土2，但p<o，所以p=-2。3所以解析式为：y—x2-2x-1311令y=0,解方程得X2-x—1—0，得x—-只,x—2,所以A(—,0),B(2,0),在直角三角形AOC21222中可求得AC=^，同样可求得BC=J5，显然AC2+BC2=AB2，得厶ABC是直角三角形。AB为斜2TOC\o"1-5"\h\z555边，所以外接圆的直径为AB=，所以m=。244存在，AC丄BC,①若以AC为底边，则BD//AC,易求AC的解析式为y=-2x-1,可设BD的解析式y—x2_—x-15为y=-2x+b，把B(2,0)代入得BD解析式为y=-2x+4，解方程组］2得D(--，9)y—-2x+4②若以BC为底边，则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1，可设AD的解析式为y=0.5x+b，把1A(-2，0)1A(-2，0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.25,解方程组y—0.5x+0.2553得D(2,2)综上，所以存在两点：553(-2,9)或(2‘2)。(1)过点A作AEix轴垂足为E(如图1)aAE品OE=3.,OA=VAP+OE1=5.四边形ARCO为菱形.+OC-CB=BA=OA^5,.C(5,盯…

【00刀设直线AC的解析式为:y-kx+b直线AC的斛析式为:图12分2_$討学仔＜ts⑵由（1）得M点坐标为W号）-设直线AC的解析式为:y-kx+b直线AC的斛析式为:图12分2_$討学仔＜ts出斗BP-MH=y（5-2t）-y4'i■峠（0"p当P点在BC边上运动时，记为P,.zlOCM=^BCMCO=CBCM=CMz.AOMC^ABMC/.OM=BM=?一需斗PERM斗⑵-5）号/（3）设OP与AC相交于点Q连接OB交扎C于点K.Z.At）C=AABC,.ZAOM=2LABM/AMPB+ZBCO=90'4LBA0=^ECO乙BAO+乙AOH=90D.上MPB^LAOH/+乙1WFB二乙MBH'气P点在AB诂上运动时t如图2.-^MPB=ZMBH\PM=BM丄FU/TH=HB=2/.PA=AH-PH=I■,ABffOC/,£FAQ±乙OCQvzLAQP=2LCQ0/.AAQP^ACQO在Rt△AEC中AC^VAE'+EC^二詔"在RtAOHB中OR^VlIB^HO2=g+尹=2V5".AC丄OHOK=KBAK=CKz.OK=VTAK=KC=2VT/.QK^AK-AQ-^-^当P点在BC边上运动时，如图3/JunZ_MPB=lanZ_MBH,\tanZ.OQK=由PC//OA•COAQ_3vOK=V5_综匕所述,当匸务时上/JunZ_MPB=lanZ_MBH,\tanZ.OQK=由PC//OA•COAQ_3vOK=V5_综匕所述,当匸务时上MPB与£.BCO互为余角.直线OP与H线AC崩夹锐角的让切值坞当隹字时工hlPB与^BCO互为余他直线0P与直线AC所夹锐爲的正切值为16-+tanL.OQG=••・Z1与Z3互余，Z2与Z3互余，.\Z1=Z21分（第関题團）VZABC=ZDAB=90°,AB=AC

（第関题團）TOC\o"1-5"\h\z.•.△BAD^ACBE2分.•・AD=BE3分（2）VE是AB中点，.•・EB=EA由（1）AD=BE得：AE=AD5分VAD#BCAZ7=ZACB=45°VZ6=45°AZ6=Z7由等腰三角形的性质，得：EM=MD,AM丄DE。即，AC是线段ED的垂直平分线。7分（3）^DBC是等腰三角（CD=BD）8分理由如下：由（2）得：CD=CE由（1）得：CE=BD.CD=BD.•.△DBC是等腰三角形。10分【009】解：（1）①QAC丄x轴，AE丄y轴,四边形AEOC为矩形.QBF丄x轴，BD丄y轴，.四边形BDOF为矩形.QAC丄x轴，BD丄y轴，.四边形AEDK，DOCK，CFBK均为矩形．QOC=x，AC=y，xgy=k，.S矩形AEOC=OC.S矩形AEOC=OCgAC=xgy=k111分QOF=x，FB=y，xgy=k，2222.S=OFgFB=xgy=k．TOC\o"1-5"\h\z矩形BDOF22.S=S．矩形AEOC矩形BDOFQS=S-S，矩形AEDK矩形AEOC矩形DOCKS=S-S，矩形CFBK矩形BDOF矩形DOCK•••S=S•2分矩形AEDK矩形CFBK②由（1②由（1）知S矩形AEDK矩形CFBK.AKgDK=BKgCK．4分.AK=4分'~CK~~DK'QZAKB=ZCKD=90°,.△AKB^△CKD.5分.ZCDK=ZABK..AB〃.AB〃CD.6分QAC〃y轴,四边形ACDN是平行四边形.TOC\o"1-5"\h\zAN二CD.7分同理BM二CD.AN二BM.8分（2）AN与BM仍然相等.9分QS二S+S矩形AEDK矩形AEOC矩形ODKCS二S+S11分矩形BKCF矩形BDOF矩形ODKC11分又QS=S=k,矩形AEOC矩形BDOF.S=S/r/