中考数学二轮复习专题练习(上)常用辅助线-旋转新人教版

答案：见解析答案：见解析解析：答案：见解析答案：见解析解析：223.辅助线之—旋转1.如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE,ZAEB=90。,AC、BD交于O.已知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形AOBE的面积.解析：解析：显然ZBOA=ZBEA=90°,所以ZOBA+ZOAB=ZEBA+ZEAB=90°,所以ZOBA-ZEBA=ZEAB—ZOAB,所以ZOBE=ZOAE,则逆时针旋转AOEA，旋转90°，则OA与OB重合,E落在BE上的E'处，且ZBOE'=ZAOE,OE，二OE,BE二EA二4,因为ZBOE'+ZEOA=90°,所以ZOAE+ZAOE丨90°,所以AOEE'是等腰直角三角形．且EE'=5-3=2，作OF丄BE，所以OF=2EE=1.所以S=1所以S=1x5=2.5cm2AOEB2•如图所示，在四边形ABCD中，ZADC=/ABC=90。,AD=CD,DP丄AB于P，若四边形ABCD的面积是16，求DP的长.解析：QAD=DC••把VDAP绕D点逆时针旋转90。，使DC与AD重合,则/PDE=/ADC=90°,Q/DPB=90°,•••四边形DPBE为矩形.QDP旋转至DE，则DP=DE，•••矩形DPBE为正方形，且S=S=16，正方形DPBE四边形ABCD'・•・DP=4.3.如图，正方形ABCD中，/FAD=/FAE.求证：BE+DF=AE.•・•四边形ABCD是正方形，・•・AB=AD.将VADF绕A点顺时针旋转至VABM,使AD与AB重合.则BM=DF，且ZDAF=ZBAM，ZM=ZAFD.DCPAB，.:ZAFD=ZFAB.•・•ZBAF二ZEAF+ZBAE,且ZEAF=ZDAF=ZBAM,・•・ZBAF=ZBAM+ZBAE=ZEAM二ZAFD二ZM.故AE二EM=BE+BM二BE+DF.4.如图，正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分ZBAF交BC边于点E.求证:AF二DF+BE.答案：见解析解析：••四边形ABCD是正方形，・•・AB二AD.将VADF绕A点顺时针旋转至VABM,使AD与AB重合.则BM=DF，且Z3=Z4，ZM二ZAFD.•・•AE平分ZBAF,・•・Z1=Z2，・•・Z3+Z2=Z4+Z1,即ZEAD二ZMAE.yAD〃BCZMEA=ZEAD,:.ZMEA=ZMAE,.・.AM=ME.即AM二BM+BE.:.AF=DF+BE，得证.5.E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且ZEAF=45。,AH丄EF,H为垂足，求证：AH二AB.F答案：见解析F答案：见解析解析：FF•・•四边形绕ABCD为正方形，・•・AD=AB.将VADF绕A点顺时针旋转至VABG.则Z1二Z2,AF=AG.•/Z3+Z4=45。，・•・Z1+Z5=45。.・•・Z2+Z5=45。，即ZEAG=ZEAF.•・•AE二AE,・•・VAGE仝VAFE(SAS).根据全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)，可得AB二AH.6•如图所示，在正方形ABCD中，AB=43，点E、F分别在BC、CD上，且ZBAE=30。,ZDAF=15求求AAEF的面积.求求AAEF的面积.答案：见解析解析：如图所示，将AADF绕点A顺时针旋转90。，得到AABG，则G、B、E共线.ZBAG=ZDAF=15。,AG=AF.而ZGAE=15。+30。二45。，且ZFAE=90。—15。—30。二45。,故ZGAE=ZFAE，丁AE二AEAGAE=VFAE.由此可得EF=EG，ZAEF=ZAEG=90。—30。=60。，・•・ZFEC=180。—60。—60。二60。,・：ZEFC=90。—60。二30。.在RtAABE中，AB=、込，ZBAE=30。，故BE二1，CE二J3—1.在RtAEFC中，ZEFC=30°，则EF=2（再—1）=EG.故S=S=-EGXAB=-X2^/3—1）心3=3―、运AAEFAAEG227•如图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各存一点P、Q，若AAPQ的周长为2，求ZPCQ的度数.解析：解析：解析：QDPBQDPB把ACDQ绕点c旋转90。到ACBF的位置，CQ=CF.・.•AQ+AP+QP=2,又AQ+QD+AP+PB=2，.:QD+BP=QP.又DQ=BF-PQ=BP+BF=PF-AQCP竺AFCP-Z.QCP=ZFCP又ZQCF=90°，.:ZPCQ=45。.&如图：正方形ABCD的边长为6cm,E是AD的中点，点P在AB上，且ZECP=45°.则PE的长是多少cm.VPEC的面积是多少cm2.AED答案：5；15C求C求PE的长：•・•四边形ABCD为正方形，・•・BC=DC.将VEDC绕C点逆时针旋转90。至VBCM处，使DC与BC重合，则EC=CM，Z1=Z2.MB=ED=-AD=3.2•/Z1+Z3=90。—45。二45。，・・Z2+Z3=45。，则ZPCM=ZPCE,•/PC=PC,・・VPCM=VPCE,・•・PM=PE.设PB=x，则PM=x+3=PE,AP=AB—BP=6—x.・•.在RtVAPE中，有AP2+AE2=PE2.(6—x匕+32=(x+3匕，解得x=2.PE=x+3=5.求VPEC的面积：•/VPEC=VPCE,...s=S=1BC-PM=1BC-(bp+BM)=1x6x(2+3)=15VPECVPCM2229.如图，在直角梯形ABCD中，AD〃BC(BC>AD)，ZB=900，AB=BC=12，E是AB上一点，且ZDCE=450，BE=4，求DE的长.解析：过C作CG丄AD，交AD延长线于G.•・•四边形ABCD是正方形，・•・BC=CG.将VBEC绕C点顺时针旋转90。，至VCGF,使BC与CG重合.则有Z1=Z2,CE=CF，GF=BE=4.•/ZECD=45。，・•・Z1+Z3=90。-45。=45。.・•・Z2+Z3=45。.•/CD=CD,・•・VCED=VCFD.故DE=DF.设DG=x，则DF=x+4=DE，AD=AG-DG=12-x，在RtVAED中，AE2+AD2=ED2.即82+(12—x)2=(x+4匕.解这个方程，得：x=6.・•・DE=x+4=10.10.如图，在AABC中，ZACB=900，AC=BC，P是AABC内的一点，且PB=1PC=2,pA=3，求ZBPC的度数.如图，将AAPC绕点C旋转，使CA与CB重合，即AAPC竺ABEC,PC=CE,Z1=Z2,Z2+ZPCB=90°,・•・Z1+ZPCB=90°.・•・APCE为等腰直角三角形，・•・ZCPE=45。，PE2=PC2+CE2=8.又PB2二1，BE2二9,・•・PE2+PB2=BE2则ZBPE=900.・•・ZBPC=ZCPE+ZBPE=450+90°=1350.11.如图，P是等边AABC内一点，若AP=3，PB二4，PC=5，求ZAPB的度数.解析：CC如图，将ABPC沿点B逆时针旋转60o，则BP=BP，连接P'P，AP'.•ZP'BP=60o，BP=BP=4，・•・VBPP为等边三角形，.•・PP=4,ZP'PB=60。.・•・AP2+P'P2二APS,・•・ZAPP'=90。,・ZAPB=ZP'PB+ZAPP'=150。12.P为等边AABC内一点，ZAPB=113。,ZAPC=123。，求证：以AP、BP、CP为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数.答案：见解析解析：P要判断AP、BP、CP三条线段可以构成一个三角形的三边，常采用判定其中任意两条线段之和大于第三条线段的办法，然而求所构成的三角形各内角的度数时又会束手无策如果以C为中心，将AAPC逆时针旋转60。，则A点变到B点，线段CA变到CB，P点变到弋点，此时，CP二CP，并且ZPCP=60。，ZBPC=ZAPC=12丸APCP为等边三角形，所以PP=CP，ZCPP=ZCPP=60。.这时，ABPP就是以BP、AP（二BP）、CP（二PP）为三边构成的三角形.易知ZBPP=ZBPC-ZCPP=ZAPC-60。=123。-60。=63。而ZBPC=366—113o—123o=124o所以ZBPP=ZBPC—ZCPP=124o—60o=64。因此ZPBP=180。—63o—64o=53。113.如图，P为正方形ABCD内一点，PA=UD=2，C=3.求ZAPD的度数.解析：•・•四边形ABCD为正方形，・•・AD=DC.将APDA绕着D点按顺时针旋转90。到AMDC的位置（如图），连接PM.则PD=DM=2,ZPDM=90°・APDM是等腰直角三角形.・•・PM=2迈，ZPMD=45°•PM2=8，MC2=PA2=1，PC2=9PM2+MC2=PC2・APMC为直角三角形.・•・ZPMC=90°,・•・ZAPD=ZDMC=ZPMD+ZPMC=135°.13.13.如图所示，P是等边AABC中的一点，PA二2,PB=2、込,PC=4，试求AABC的边长.13.13.如图所示，P是等边AABC中的一点，PA二2,PB=2、込,PC=4，试求AABC的边长.BA答案：2*7解析：由于有等边三角形，故可考虑将APBA绕点B旋转60。，使PA、pb、PC出现在一个三角形中，从而构造出一个直角三角形.解：将APBA绕点B逆时针旋转60。，则BA与BC重合，A点转至C点，P点转至P点，连接PP，如图所示，有PC=pA=2，PB=PB=2彰'3，ZpBp二60°.11111故APBP为等边三角形，PP=BP=2、厅，11在APCP中，PC2=42=22+（2\.；'3）2=PC2+PP2，111故ZPPC=90°，PC=-PC，112从而有ZCPP=30°，故ZBPC=ZBPP+ZPPC=60°+30°=90°.所以，在RtAPBC中，BC2=PB2+PC2=42+(2j3)2=28，BC=2的.14.如图所示，P为正方形ABCD内一点，若PA=a,PB=2a,PC=3a(a>0).求：(1)ZAPB的度数；(2)正方形的边长.答案：(1)135°；(2)AB=、；5+22a解析：(1)将AAPB绕点B顺时针旋转90°，得到ACQB.连接PQ，因为ZPBQ=90°,PB=QB=2a,所以ZPQB=ZQPB=45°，PQ=2、迂a.在APQC中，pc=3a，CQ=a，PQ=2、辽a，则PC2二CQ2+PQ2,所以ZPQC=90°，故ZAPB=ZCQB=90°+45°=135°.（2）因ZAPB+ZBPQ=135°+45°=180°，则A、P、Q三点共线，故AQ=2p2a+a=（1+2*2）a，QC=a，在RtAAQC中，根据勾股定理得AC=、ja2+[（1+2迈）a]2=<10+4、辽a所以AB=AC-sin45°=2AC=$5+2迈a.2

15.在AABC中，AB=AC,P是AABC内任意一点，已知ZAPC〉/APB，求证：PB〉PC.答案：见解析解析：ABC因为AB=AC，所以可将AABP绕点A旋转到AACD的位置，连结PD、AD、CD，则AP二AD，PB=DC，/ADC=/APB因为/APC〉/APB，所以/APC〉/ADC由AD二AP，可得/APD二/ADP，则/DPC〉/PDC.DC〉PC，即PB〉PC.16.如图，P是等边AABC外的一点，PA=3，PB二4，PC=5，求/APB的度数.CC答案：30解析：解析：解析：解析：解析：AAB=AC,・•.将VAPC绕A点逆时针旋转60。至VABM，使AC与AB重合,则AM=AP=3,ZPAB=60°,BM=PC=5,ZBAM=ZPAC=ZPAB+ZBAC=120°.・•・ZPAM=ZBAM—ZPAB=120。—60。=60。,・•・VAPM为等边三角形，则PM=AM=3，ZAPM=ZPAM=60°,在VPMB中，BM2=PM2+PB2,•VMPB为直角三角形，即ZBPM=90°.・•・ZBPA=ZBPM—ZAPM=90°—60°=30°.APBC是等边三角形吗？17.如图，正方形ABCD内一点P，ZPAD=ZPDA=15°，连结PB、APBC是等边三角形吗？为什么？答案：见解析将AAPD绕点D逆时针旋转90。，得ADPPC,再作ADP'C关于DC的轴对称图形ADQC，得VAPD仝VCQD仝CPD.所以PD=QD,Z.QDC=ZDCQ=ZPAD=PDA=15。,ZPDQ=90。—15。—15。=60。,・•・APDQ为等边三角形，即/PQD=60。.又ZDQC=ZAPD=180。—15。—15。=150。,.・.ZPQC=360。—60。—150。=150。=ZDQC.•/ZPAD=PDA=15。,・•・AP=PD，则有DQ=QC.•PQ=QD.PQ=CQ，・ZPCQ=ZQCP=15。.・•・ZPCD=30。,・•・ZPCB=ZDCB—ZPCD=90。—30。=60。.同理可得ZPBC=60。.'+SVADE'+SVADEVBEF18.VABC中，ZC=90。,四边形CDEF是VABC的内接正方形，AE=30cm,BE=24cm,的值.

解析：如图，•・•四边形EFCD是正方形，・•・EF=ED,将VBEF绕点E逆时针旋转90。至VGED，使EF与ED重合.则有VBEF=VGED.•/ZFED=90°,・•・ZBEF+ZAED=90°.•/ZBEF=ZGEDZGED+ZAED=90°.故S+S=S+S=S=1GE-EA=1BE-EA=27VADEVBEFVADEVGEDVAEG2219.梯形ABCD中，ADPBC,ZB=90°,AB=1,AD=3,BC=5,DE丄DC且DE=DC，求AE的长和VADE面积.解析：

•・•DE=DC,・•.将VADE绕D点顺时针旋转90。，至VFDC处，使DE与DC重合.则DC=DE,DF=AD=3,AE=FC,延长FD交BC于点G,••旋转角是90。，・•・ZFDA=90。,•/ADPBG,•ZFGB=90。,・•・四边形ABGD是矩形，BG=AD=3,•/BC=5,・•・GC=BC-BG=5-3=2,DG=AB=1,在RtVFGC中,根据勾股定理有FG2+GC2=FC2,即（3+1）2+22二FC2,解得FC二2J5.S=S=S-S=-FG-GC--DG-GC=3VADEVFDCVFGCVDGC2220.在梯形ABCD中，ADPBC,zD=90。，BC=CD=12,ZABE=45。，若AE=10,求CE的长。答案：6或4解析：答案：见解析答案：见解析解析：答案：见解析答案：见解析解析：答案：见解析答案：见解析解析：ADPBC,ZD=90。，・•・ZC=90。,过点B作BM丄DA,交DA延长线与点M，故四边形DMBC是矩形，•・•BC=DC=12,・•.矩形DMBC是正方形，则BM=DC=BC=12,将VBCE绕B点顺时针90。，至VBMN处，则VBCE竺VBMN，・•・ZMBN=ZEBC,•/ZABE=45。，・•・ZEBC+ZABM=45。，•ZMBN+ZABM=45。二ZABE,•/BE二BN，•VABE竺VABN，•AN=AE=10，设EC=x，则MN二x，AM=AN-MN=10-x，.・.DA=DM-AM=12-（10-x）=2+x,•/DE=DC-EC=12-x，•在RtVADE中，（x+2）2+（12-x）2二102，解得x=6或x=4，即EC的长为6或4.21.如图，P等边三角形ABC内一点，且ZAPC=117。，ZBPC=130。，求以AP、BP、CP为边的三角形各内角的度数。BC

要判断AP、BP、CP三条线段可以构成一个三角形的三边，常采用判定其中任意两条线段之和大于第三条线段的办法，然而求所构成的三角形各内角的度数时又会束手无策如果以C为中心，将AAPC逆时针旋转60。，则A点变到B点，线段CA变到CB，P点变到D点，此时，CP=CD，并且ZPCD=60。，ZBDC=ZAPC=117°.APCD为等边三角形，所以PD=CP，ZCPD=ZCDP=60°.这时，ABPD就是以BP、AP（=BD）、CP（=PD）为三边构成的三角形.易知ZBDP二ZBDC—ZCDP=ZAPC—60°=117。—60°=57°而ZBPC=360°—117°—130°=113°所以ZBPD=ZBPC—ZCPD=130°—60°=70°因此ZPBD=180°—57°—70°=53°22.如图，AABC中，AB=AC，ZBAC=90°，D是BC中点，ED丄FD，ED与AB交于E，FD与AC交于F.求证：BE二AF，AE=CF.连结AD．连结AD．•・•AB=AC,ABAC/