应用经济统计学数据的集中趋势课件

第四章集中趋势

和

离中趋势​第四章集中趋势

和

离中趋1数据分布的特征和测度峰度偏态数据的特征和测度分布的形状集中趋势离散程度众数中位数变异系数方差和标准差四分位差异众比率位置平均数数值平均数算术平均数调和平均数几何平均数​数据分布的特征和测度峰度偏态数据的特征和测度分布2数据集中趋势

算术平均数几何平均数调和平均数中位数及四分位数众数​数据集中趋势算术平均数​3算术平均数

(概念要点)集中趋势的测度值之一最常用的测度值一组数据的均衡点所在易受极端值的影响​算术平均数

(概念要点)集中趋势的测度值之一​4算术平均数

(计算公式)设一组数据为：简单算术平均值的计算公式为设分组后的数据为：相应的频数为：加权算术平均值的计算公式为​算术平均数

(计算公式)设一组数据为：设分组后的数据为：​5简单算术平均数

(算例)原始数据: 10 5 9 13 6 8​简单算术平均数

(算例)原始数据: 10 5 9 13 6 6加权算术平均数

（算例）

【例4.1】设某企业经理付给他的雇员的每小时工资分为三个等级：6.5元、7.5元、8.5元。拿这三种工资的人数分别为：14人、10人、2人，则该公司雇员的平均工资为：

​加权算术平均数

（算例）【例4.1】设某企业经理付给他的雇7加权算术平均数

（分组数据算例）表4-1某车间50名工人日加工零件均值计算表按零件数分组组中值（Xi）频数（fi）Xifi105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064322.5562.5940.01715.01275.0795.0550.0合计—506160.0【例4.2】根据表4-1中的数据，计算50名工人日加工零件数的均值​加权算术平均数

（分组数据算例）表4-1某车间50名8算术平均数的数学性质1.各变量值与均值的离差之和等于零2.各变量值与均值的离差平方和最小​算术平均数的数学性质1.各变量值与均值的离差之和等于零2.9几何平均数

(概念要点)1.集中趋势的测度值之一2.主要用于计算平均比率及平均发展速度3.计算公式为简单几何平均数加权几何平均数4.数据都为正数时才可计算几何平均数5.可看作是均值的一种变形​几何平均数

(概念要点)1.集中趋势的测度值之一510几何平均数

(算例)【例4.3】设某建筑公司承建的四项工程的利润分别为3%、2%、4%、6%。问这四项工程的平均利润率是多少？​几何平均数

(算例)【例4.3】设某建筑公司承建的四项工程的11几何平均数

(算例)【例4.4】一位投资者持有一种股票，1996年、1997年、1998年和1999年收益率分别为4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。计算该投资者在这四年内的平均收益率。平均收益率＝103.84%-1=3.84%​几何平均数

(算例)【例4.4】一位投资者持有一种股票，1912几何平均数

(算例)【例4.5】设某银行有一笔20年的长期投资，其利率是按复利计算的，有1年为2.5%，有3年为3%，有5年为6%，有8年为9%，有2年为12%,有1年为5%，求平均年利率。​几何平均数

(算例)【例4.5】设某银行有一笔20年的长期投13调和平均数

(概念要点)集中趋势的测度值之一均值的另一种表现形式易受极端值的影响计算公式为简单调和平均数加权调和平均数​调和平均数

(概念要点)集中趋势的测度值之一​14调和平均数

(说明）加权调和平均​调和平均数

(说明）加权调和平均​15调和平均数

(算例)

【例4.6】某人开车，前10公里以时速50公里驾驶，后10公里以时速30公里驾驶。则此人跑这20公里的平均时速为：​调和平均数

(算例)【例4.6】某人开车，前10公里以时速16

【例4.7】某种蔬菜价格：早上0.4元/斤（x1），中午0.25（x2），晚上0.20（x3），若某人早、中、晚分别购买的金额是1元（m1）、2元（m2）、3元（m3），求平均价格。解：平均价格=总金额/总数量

调和平均数

(算例)

​【例4.7】某种蔬菜价格：早上0.4元/斤（x1），中午017

【例4.8】某种蔬菜价格：早上0.4元/斤（x1），中午0.25（x2），晚上0.20（x3），若某人早、中、晚分别买2.5斤（f1）、8斤（f2）、15斤（f3），求平均价格。解：平均价格=总金额/总数量

调和平均数与算术平均数的区别​【例4.8】某种蔬菜价格：早上0.4元/斤（x1），中午018中位数

(概念要点)1.集中趋势的测度值之一2.排序后处于中间位置上的值Md50%50%3.不受极端值的影响4.各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即​中位数

(概念要点)1.集中趋势的测度值之一Md50%50%19中位数

(位置的确定)未分组数据：中位数位置组距分组数据：2∑f=中位数位置​中位数

(位置的确定)未分组数据：中位数位置组20未分组数据的中位数

(计算公式)​未分组数据的中位数

(计算公式)​21数值型未分组数据的中位数

(5个数据的算例)原始数据:

2422212620排序: 2021222426位置: 123 45中位数22​数值型未分组数据的中位数

(5个数据的算例)原始数据:22数值型未分组数据的中位数

(6个数据的算例)原始数据:105 91268排序:56891012位置: 123

4

56

位置=中位数8+928.5​数值型未分组数据的中位数

(6个数据的算例)原始数据:23根据位置公式确定中位数所在的组，设落入第组采用下列近似公式计算数值型分组数据的中位数

(要点及计算公式)​根据位置公式确定中位数所在的组，设落入第组数值型分组数24数值型分组数据的中位数

(算例)表4-2某车间50名工人日加工零件数分组表按零件数分组频数（人）累积频数105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064381630404650合计50—【例4.9】根据第三章表3-3中的数据，计算50名工人日加工零件数的中位数​数值型分组数据的中位数

(算例)表4-2某车间50名工人25四分位数

(概念要点)1.集中趋势的测度值之一2.排序后处于25%和75%位置上的值3.不受极端值的影响QLQMQU25%25%25%25%​四分位数

(概念要点)1.集中趋势的测度值之一3.不26四分位数

(位置的确定)未分组数据：组距分组数据：下四分位数(QL)位置=n+14上四分位数(QU)位置

=3(n+1)4下四分位数(QL)位置=∑f4上四分位数(Qu)位置

=3∑f4​四分位数

(位置的确定)未分组数据：组距分组数据：下四分位数27数值型未分组数据的四分位数

(7个数据的算例)原始数据:

2321 3032 282526排序:21232526283032位置:1234567n+1QL=237+1QL位置=4=4=2QU位置=3(n+1)43(7+1)4

==6QU=30​数值型未分组数据的四分位数

(7个数据的算例)原始数据:28数值型未分组数据的四分位数

(6个数据的算例)原始数据:

232130 282526排序:212325262830位置:123 4 56QL=（21+23）/2=22QL位置=n+14=6+14=1.75QU位置=3(n+1)43(6+1)4==5.25QU=（28+30）/2

=29​数值型未分组数据的四分位数

(6个数据的算例)原始数据:29数值型分组数据的四分位数

(计算公式)上四分位数:

下四分位数:

上式仍是利用线性插值得到​数值型分组数据的四分位数

(计算公式)上四分位数:下四分位30数值型分组数据的四分位数

(计算示例)QL位置＝50/4＝12.5QU位置＝3×50/4＝37.5表4-3某车间50名工人日加工零件数分组表按零件数分组频数（人）累积频数105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064381630404650合计50—【例4.10】根据表4-3中的数据，计算50名工人日加工零件数的四分位数。​数值型分组数据的四分位数

(计算示例)QL位置＝50/4＝131众数

(概念要点)1.集中趋势的测度值之一2.出现次数最多的变量值：一组数据分布的最高峰点

3.不受极端值的影响4.可能没有众数或有几个众数​众数

(概念要点)1.集中趋势的测度值之一​32众数

(众数的不唯一性)无众数

原始数据:10591268一个众数

原始数据:65

9855多于一个众数

原始数据:252828

364242​众数

(众数的不唯一性)无众数

原始数据:1033计算该企业该日全部工人日产量的众数。日产量（件）工人数（人）1011121314合计70100380150100800单值型数列的众数

(算例)【例4.11】已知某企业某日工人的日产量资料如下:​计算该企业该日全部工人日产量的众数。日产量（件）工人数（人）34数值型分组数据的众数

(要点及计算公式)1.众数的值与相邻两组频数的分布有关4.

该公式假定众数组的频数在众数组内均匀分布2.相邻两组的频数相等时，众数组的组中值即为众数Mo3.相邻两组的频数不相等时，众数采用下列近似公式计算MoMo​数值型分组数据的众数

(要点及计算公式)1.众数的值与相35数值型分组数据的众数

(算例)【例4.12】某市公寓房租金的统计资料如下表4-4，试求房租金的众数表4-4某市公寓房屋租金资料表每周租金（元）房屋套数（套）累计房屋套数（套）7.5～12.512.5～17.517.5～22.522.5～27.527.5～32.532.5～37.537.5～42.542.5～47.512264560371352123883143180193198200​数值型分组数据的众数

(算例)【例4.12】某市公寓房租金的36众数、中位数和

算术平均数的关系左（负）偏分布算术平均数

中位数

众数右（正）偏分布众数

中位数

算术平均数对称分布

算术平均数=中位数=众数注:对称图形,重叠左右偏时,均值变化最快,中位值次之,众值不变​众数、中位数和

算术平均数的关系左（负）偏分布算术平均数37众数、中位数和

算术平均数的经验关系式

中位数大约位于均值与众数之间距离的1/3处，用关系式表示如下：从而可以利用均值、中位数、从数三者中的任意两个数值按以上公式推出另一个数值。​众数、中位数和

算术平均数的经验关系式​38众数、中位数和

算术平均数的经验关系式

(算例)

【例4.13】某车间生产的一批零件中，直径大于402厘米的占一半，众数为400厘米，试估计其平均数，并判定其偏斜方向。

解：已知​众数、中位数和

算术平均数的经验关系式

(算例)【例4.39愚者用鲜血换取教训，智者用教训避免事故。11月-2211月-22Monday,November7,2022宁愿事前检查，不可事后返工。01:38:3501:38:3501:3811/7/20221:38:35AM工地小型机械多、要安漏电保护器。11月-2201:38:3501:38Nov-2207-Nov-22小心无大错，粗心铸大过。01:38:3501:38:3601:38Monday,November7,2022整理——腾出更大的空间。11月-2211月-2201:38:3601:38:36November7,2022消除一切安全隐患，保障生产工作安全。2022年11月7日1:38上午11月-2211月-22记住山河不迷路，记住规章防事故。07十一月20221:38:36上午01:38:3611月-22高空作业最危险，安全绳扣系腰间。十一月221:38上午11月-2201:38November7,2022树名牌意识、创精品工程。2022/11/71:38:3601:38:3607November2022别用鲜血换教训、应借教训免血泪。1:38:36上午1:38上午01:38:3611月-22绳子总在磨损地方折断，事故常在薄弱环节出现。11月-2211月-2201:3801:38:3601:38:36Nov-22责任心是安全之魂，标准化是安全之本。2022/11/71:38:36Monday,November7,2022企业成功的秘决在于对人才、产品、服务三项品质的坚持。11月-222022/11/71:38:3611月-22谢谢大家！愚者用鲜血换取教训，智者用教训避免事故。11月-2211月-40第四章集中趋势

和

离中趋势​第四章集中趋势

和

离中趋41数据分布的特征和测度峰度偏态数据的特征和测度分布的形状集中趋势离散程度众数中位数变异系数方差和标准差四分位差异众比率位置平均数数值平均数算术平均数调和平均数几何平均数​数据分布的特征和测度峰度偏态数据的特征和测度分布42数据集中趋势

算术平均数几何平均数调和平均数中位数及四分位数众数​数据集中趋势算术平均数​43算术平均数

(概念要点)集中趋势的测度值之一最常用的测度值一组数据的均衡点所在易受极端值的影响​算术平均数

(概念要点)集中趋势的测度值之一​44算术平均数

(计算公式)设一组数据为：简单算术平均值的计算公式为设分组后的数据为：相应的频数为：加权算术平均值的计算公式为​算术平均数

(计算公式)设一组数据为：设分组后的数据为：​45简单算术平均数

(算例)原始数据: 10 5 9 13 6 8​简单算术平均数

(算例)原始数据: 10 5 9 13 6 46加权算术平均数

（算例）

【例4.1】设某企业经理付给他的雇员的每小时工资分为三个等级：6.5元、7.5元、8.5元。拿这三种工资的人数分别为：14人、10人、2人，则该公司雇员的平均工资为：

​加权算术平均数

（算例）【例4.1】设某企业经理付给他的雇47加权算术平均数

（分组数据算例）表4-1某车间50名工人日加工零件均值计算表按零件数分组组中值（Xi）频数（fi）Xifi105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064322.5562.5940.01715.01275.0795.0550.0合计—506160.0【例4.2】根据表4-1中的数据，计算50名工人日加工零件数的均值​加权算术平均数

（分组数据算例）表4-1某车间50名48算术平均数的数学性质1.各变量值与均值的离差之和等于零2.各变量值与均值的离差平方和最小​算术平均数的数学性质1.各变量值与均值的离差之和等于零2.49几何平均数

(概念要点)1.集中趋势的测度值之一2.主要用于计算平均比率及平均发展速度3.计算公式为简单几何平均数加权几何平均数4.数据都为正数时才可计算几何平均数5.可看作是均值的一种变形​几何平均数

(概念要点)1.集中趋势的测度值之一550几何平均数

(算例)【例4.3】设某建筑公司承建的四项工程的利润分别为3%、2%、4%、6%。问这四项工程的平均利润率是多少？​几何平均数

(算例)【例4.3】设某建筑公司承建的四项工程的51几何平均数

(算例)【例4.4】一位投资者持有一种股票，1996年、1997年、1998年和1999年收益率分别为4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。计算该投资者在这四年内的平均收益率。平均收益率＝103.84%-1=3.84%​几何平均数

(算例)【例4.4】一位投资者持有一种股票，1952几何平均数

(算例)【例4.5】设某银行有一笔20年的长期投资，其利率是按复利计算的，有1年为2.5%，有3年为3%，有5年为6%，有8年为9%，有2年为12%,有1年为5%，求平均年利率。​几何平均数

(算例)【例4.5】设某银行有一笔20年的长期投53调和平均数

(概念要点)集中趋势的测度值之一均值的另一种表现形式易受极端值的影响计算公式为简单调和平均数加权调和平均数​调和平均数

(概念要点)集中趋势的测度值之一​54调和平均数

(说明）加权调和平均​调和平均数

(说明）加权调和平均​55调和平均数

(算例)

【例4.6】某人开车，前10公里以时速50公里驾驶，后10公里以时速30公里驾驶。则此人跑这20公里的平均时速为：​调和平均数

(算例)【例4.6】某人开车，前10公里以时速56

【例4.7】某种蔬菜价格：早上0.4元/斤（x1），中午0.25（x2），晚上0.20（x3），若某人早、中、晚分别购买的金额是1元（m1）、2元（m2）、3元（m3），求平均价格。解：平均价格=总金额/总数量

调和平均数

(算例)

​【例4.7】某种蔬菜价格：早上0.4元/斤（x1），中午057

【例4.8】某种蔬菜价格：早上0.4元/斤（x1），中午0.25（x2），晚上0.20（x3），若某人早、中、晚分别买2.5斤（f1）、8斤（f2）、15斤（f3），求平均价格。解：平均价格=总金额/总数量

调和平均数与算术平均数的区别​【例4.8】某种蔬菜价格：早上0.4元/斤（x1），中午058中位数

(概念要点)1.集中趋势的测度值之一2.排序后处于中间位置上的值Md50%50%3.不受极端值的影响4.各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即​中位数

(概念要点)1.集中趋势的测度值之一Md50%50%59中位数

(位置的确定)未分组数据：中位数位置组距分组数据：2∑f=中位数位置​中位数

(位置的确定)未分组数据：中位数位置组60未分组数据的中位数

(计算公式)​未分组数据的中位数

(计算公式)​61数值型未分组数据的中位数

(5个数据的算例)原始数据:

2422212620排序: 2021222426位置: 123 45中位数22​数值型未分组数据的中位数

(5个数据的算例)原始数据:62数值型未分组数据的中位数

(6个数据的算例)原始数据:105 91268排序:56891012位置: 123

4

56

位置=中位数8+928.5​数值型未分组数据的中位数

(6个数据的算例)原始数据:63根据位置公式确定中位数所在的组，设落入第组采用下列近似公式计算数值型分组数据的中位数

(要点及计算公式)​根据位置公式确定中位数所在的组，设落入第组数值型分组数64数值型分组数据的中位数

(算例)表4-2某车间50名工人日加工零件数分组表按零件数分组频数（人）累积频数105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064381630404650合计50—【例4.9】根据第三章表3-3中的数据，计算50名工人日加工零件数的中位数​数值型分组数据的中位数

(算例)表4-2某车间50名工人65四分位数

(概念要点)1.集中趋势的测度值之一2.排序后处于25%和75%位置上的值3.不受极端值的影响QLQMQU25%25%25%25%​四分位数

(概念要点)1.集中趋势的测度值之一3.不66四分位数

(位置的确定)未分组数据：组距分组数据：下四分位数(QL)位置=n+14上四分位数(QU)位置

=3(n+1)4下四分位数(QL)位置=∑f4上四分位数(Qu)位置

=3∑f4​四分位数

(位置的确定)未分组数据：组距分组数据：下四分位数67数值型未分组数据的四分位数

(7个数据的算例)原始数据:

2321 3032 282526排序:21232526283032位置:1234567n+1QL=237+1QL位置=4=4=2QU位置=3(n+1)43(7+1)4

==6QU=30​数值型未分组数据的四分位数

(7个数据的算例)原始数据:68数值型未分组数据的四分位数

(6个数据的算例)原始数据:

232130 282526排序:212325262830位置:123 4 56QL=（21+23）/2=22QL位置=n+14=6+14=1.75QU位置=3(n+1)43(6+1)4==5.25QU=（28+30）/2

=29​数值型未分组数据的四分位数

(6个数据的算例)原始数据:69数值型分组数据的四分位数

(计算公式)上四分位数:

下四分位数:

上式仍是利用线性插值得到​数值型分组数据的四分位数

(计算公式)上四分位数:下四分位70数值型分组数据的四分位数

(计算示例)QL位置＝50/4＝12.5QU位置＝3×50/4＝37.5表4-3某车间50名工人日加工零件数分组表按零件数分组频数（人）累积频数105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064381630404650合计50—【例4.10】根据表4-3中的数据，计算50名工人日加工零件数的四分位数。​数值型分组数据的四分位数

(计算示例)QL位置＝50/4＝171众数

(概念要点)1.集中趋势的测度值之一2.出现次数最多的变量值：一组数据分布的最高峰点

3.不受极端值的影响4.可能没有众数或有几个众数​众数

(概念要点)1.集中趋势的测度值之一​72众数

(众数的不唯一性)无众数

原始数据:10591268一个众数

原始数据:65

9855多于一个众数

原始数据:252828

364242​众数

(众数的不唯一性)无众数

原始数据:1073计算该企业该日全部工人日产量的众数。日产量（件）工人数（人）1011121314合计70100380150100800单值型数列的众数

(算例)【例4.11】已知某企业某日工人的日产量资料如下:​计算该企业该日全部工人日产量的众数。日产量（件）工人数（人）74数值型分组数据的众数

(要点及计算公式)1.众数的值与相邻两组频数的分布有关4.

该公式假定众数组的频数在众数组内均匀分布2.相邻两组的频数相等时，众数组的组中值即为众数Mo3.相邻两组的频数不相等时，众数采用下列近似公式计算MoMo​数值型分组数据的众数

(要点及计算公式)1.众数的值与相75数值型分组数据的众数

(算例)【例4.12】某市公寓房租金的统计资料如下表4-4，试求房租金的众数表4-4某市公寓房屋租金资料表每周租金（元）房屋套数（套）累计房屋套数（套）7.5～12.512.5～17.517.5～22.522.5～27