中考数学总复习圆的认识复习课件

第二十七讲圆的认识第二十七讲圆的认识1.了解：圆的定义及其有关概念，圆心角和圆周角的概念.2.理解：圆的轴对称性和中心对称性.3.掌握：垂径定理及其推论，圆周角定理及其推论.4.会：运用垂径定理及其推论和圆心角所对的弦、弧之间的关系定理及其推论解决有关证明、计算和作图问题.5.能：用垂径定理及圆周角的性质解决与圆有关的分类问题.1.了解：圆的定义及其有关概念，圆心角和圆周角的概念.一、圆的有关概念1.圆的基本概念：(1)平面内到一定点的距离等于定长的_______组成的图形叫做圆，这个定点叫做_____，定长叫做_____.(2)圆可以看成是平面内一个动点绕一个定点_________所形成的图形.所有点圆心半径旋转一周一、圆的有关概念所有点圆心半径旋转一周2.圆的弦和弧如图：线段AB，BC，AC都是⊙O的___，曲线BC，BAC都是⊙O中的___.小于半圆周的圆弧叫_____，大于半圆周的圆弧叫_____.弦弧劣弧优弧2.圆的弦和弧弦弧劣弧优弧3.圆心角与圆周角：(1)顶点在_____的角叫做圆心角;(2)顶点在_____，并且两边都与圆_____的角叫做圆周角.圆心圆上相交3.圆心角与圆周角：圆心圆上相交【即时应用】1.圆的最长的弦是_____.2.已知圆上有三个点，以任意两个点为端点的弧共有__条.3.如图______是圆心角，______为圆周角.直径6∠BOC∠BAC【即时应用】直径6∠BOC∠BAC二、圆的有关性质1.圆的对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.2.垂直于弦的直径的性质及其推论(1)定理：垂直于弦的直径___________，并且平分这条弦所对的两条弧;(2)推论：平分弦(不是直径)的直径_____于弦，并且平分弦所对的_______.平分这条弦垂直两条弧二、圆的有关性质平分这条弦垂直两条弧3.圆心角、弧、弦之间的关系在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等.4.圆周角定理及其推论(1)定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_____，都等于这条弧所对的圆心角的_____；(2)推论：半圆(或直径)所对的圆周角是_____，90°的圆周角所对的弦是直径.5.三角形的外心外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离_____.相等一半直角相等3.圆心角、弧、弦之间的关系相等一半直角相等【即时应用】1.如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则圆心到这条弦的距离为__.2.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠ACO=16°,则∠BOC=____.632°【即时应用】632°3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°,则∠BAC的度数等于____.4.△ABC的三边长分别为5，12，13，则其外接圆的半径为____.5.等边三角形的边长为6，则其外接圆的半径为_____.50°6.53.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°,则∠BA【核心点拨】1.一条直线若满足：①垂直于弦；②平分弦；③过圆心；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧中任意两个条件，则可得到另外三个条件.2.离开同圆或等圆，不存在等弧.3.圆中常用的辅助线①作半径，利用同圆或等圆的半径相等可得等腰三角形；②作半径和圆心到弦的垂线段，与弦的一半构成直角三角形；③作弦、直径等构造直径所对的圆周角.【核心点拨】

圆心角与圆周角◆中考指数:★★★★☆

知识点睛1.圆周角与圆心角是密切联系的一个整体，实现了圆中角的转化，知其一，可求其二.2.圆周(或心)角与它所对弧常互相转化，即欲求证圆周(或心)角相等，可转化证“圆周(或心)角所对的弧相等”.弧相等的条件可转化为它们所对的圆周(或心)角相等的结论.

特别提醒1.考查圆周角和圆心角的这类题侧重对基础知识的考查，利用有关概念和定理在理解时，要注意其成立的条件，结合图形进行分析.2.有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转化为解直角三角形的问题.圆心角与圆周角◆中考指数【例1】(2012·湘潭中考)如图，在⊙O中，弦AB∥CD,若∠ABC=40°，则∠BOD=()(A)20°(B)40°(C)50°(D)80°【例1】(2012·湘潭中考)如图，在⊙O中，弦AB∥CD,【教你解题】

【教你解题】【对点训练】1.(2012·黔东南中考)如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°,则∠BCD的度数为()(A)35°(B)45°(C)55°(D)75°【解析】选A.连结AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°,∴∠A=90°-55°=35°,根据同弧所对的圆周角相等可得∠BCD=∠A=35°.【对点训练】2.(2012·六盘水中考)如图，已知∠OCB=20°,则∠A=____度.【解析】∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=20°,∴∠O=180°-∠OBC-∠OCB=140°,∴∠A=∠O=70°.答案：702.(2012·六盘水中考)如图，已知∠OCB=20°,则∠3.(2011·兰州中考)如图，OB是⊙O的半径，点C，D在⊙O上，∠DCB=27°，则∠OBD=____度．【解析】∠DOB=2∠DCB=54°，因为OB=OD,所以△OBD是等腰三角形，得∠OBD=(180°－54°)÷2=63°．答案：63

3.(2011·兰州中考)如图，OB是⊙O的半径，点C，D在

垂直于弦的直径的应用

◆中考指数:★★★★☆

知识点睛1.垂直于弦的直径及其推论是证线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，应用时要注意：垂直于弦的直径的推论“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”一定要强调“弦不是直径”.2.利用垂直于弦的直径解决问题时，常常把问题转化为半径，弦长的一半，圆心到弦的垂线段三者组成的直角三角形中的问题.

特别提醒定理中的“直径”是指经过圆心的弦，但在实际应用时可以不是直径，如半径、过圆心的直线.

【例2】(2011·江西中考)如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点(B，C两点除外).(1)求∠BAC的度数；(2)求△ABC面积的最大值.(参考数据：sin60°=,cos30°=,tan30°=).【例2】(2011·江西中考)如图，已知⊙O的半径为2，弦B【教你解题】(1)【教你解题】(2)(2)【对点训练】4.(2012·湛江中考)如图，在半径为13的⊙O中，OC垂直弦AB于点D，交⊙O于点C，AB=24，则CD的长是_________.【对点训练】【解析】连结OA，∵OC⊥AB,AB=24,∴AD=AB=12.在Rt△AOD中，∵OA=13,AD=12,∴∴CD=OC-OD=13-5=8.答案：8【解析】连结OA，5.(2012·娄底中考)如图，⊙O的直径CD垂直于AB，∠AOC=48°，则∠BDC=_____度.【解析】连结BO.∵直径CD垂直于AB，∴则∠BDC=∠BOC=∠AOC=24°.答案：245.(2012·娄底中考)如图，⊙O的直径CD垂直于AB，∠6.(2012·衢州中考)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为____mm.6.(2012·衢州中考)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的【解析】设圆心为O，过点O作OD⊥AB于点D，连结OA,根据题意知，OA=5mm，OD=8－5=3(mm)，根据勾股定理，得：

(mm)，则AB=2AD=8mm.答案：8【解析】设圆心为O，过点O作OD⊥AB于点D，连结OA,根据7.(2012·南通中考)如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB＝30cm，CD＝16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD间的距离．7.(2012·南通中考)如图，⊙O的半径为17cm，弦A【解析】分别作弦AB，CD的弦心距，设垂足分别为E，F，连结OA，OC.∵AB=30cm，CD=16cm，∴AE=AB=×30=15(cm)，【解析】分别作弦AB，CD的弦心距，设垂足分别为E，F，连结CF=CD=×16=8(cm).在Rt△AOE中，OE=在Rt△OCF中，OF=∴EF=OF-OE=15-8=7(cm)．∴AB和CD间的距离为7cm.CF=CD=×16=8(cm).

三角形的外接圆◆中考指数:★★★☆☆知识点睛

三角形的外心的位置：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是的中点，钝角三角形的外心在三角形外部.

特别提醒

1.三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点；2.根据三角形的外心的位置可以确定三角形的形状.

三角形的外接圆◆中【例3】(2012·长沙中考)如图，A,P,B,C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°,(1)求证：△ABC是等边三角形.(2)求圆心O到BC的距离OD.【思路点拨】(1)∠ABC=∠APC→∠ABC=∠BAC=60°→结论(2)连结OB→解Rt△OBD→OD的长【例3】(2012·长沙中考)如图，A,P,B,C是半径为8【自主解答】(1)∵∠ABC=∠APC，又∵∠BAC=∠APC=60°,∴∠ABC=∠BAC=60°，∴∠ACB=60°，∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形.(2)连结OB，则易得∠OBD=30°,又∠ODB=90°,∴OD=OB=4.【自主解答】(1)∵∠ABC=∠APC，【对点训练】8.(2012·湖州中考)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°,∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是()(A)45°(B)85°(C)90°(D)95°【解析】选B.根据直径所对的圆周角为90°，∠C=50°,可得∠BAC的度数为40°，再利用圆周角定理，∠CBD=∠CAD==45°,∠BAD=∠CAD+∠BAC=85°.【对点训练】9.(2012·万宁中考)如图所示，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连结CD，若AD=3，AC=2，则cosB的值为()(A)(B)(C)(D)【解析】选B.∵∠B和∠D所对的弧是，根据同弧所对的圆周角相等，∴∠B=∠D.又∵AD是直径，∴∠ACD=90°，根据勾股定理，得∴cosB=cosD=9.(2012·万宁中考)如图所示，已知⊙O是10.(2011·烟台中考)如图，△ABC的外心坐标是_____.【解析】三角形的外心为三边垂直平分线的交点，观察图形，画出AB、BC的垂直平分线，即可得解.答案：(－2，－1)10.(2011·烟台中考)如图，△ABC的外心坐标是___【归纳整合】找圆心的两种方法(1)利用90°的圆周角所对的弦是直径，找到两条直径，它们的交点即为圆心；(2)作出两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心.【归纳整合】找圆心的两种方法【创新命题】圆中的分类讨论【例】(2011·凉山州中考)如图，∠AOB=100°，点C在⊙O上，且点C不与A,B重合，则∠ACB的度数为()(A)50°(B)80°或50°(C)130°(D)50°或130°【创新命题】圆中的分类讨论【解题导引】利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求得圆周角的度数即可，注意点C可能在优弧上也可能在劣弧上，分两种情况讨论.【规范解答】选D.当点C在优弧上时，∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°.当点C在劣弧上时，∠ACB＝(360°－∠AOB)＝×(360°－100°)＝130°.【解题导引】利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求得圆【名师点评】通过对圆中分类讨论的试题的分析和总结，我们可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题启示：【名师点评】通过对圆中分类讨论的试题的分析和总结，我们可以得(2011·牡丹江中考)已知⊙O的直径AB=40，弦CD⊥AB于点E，且CD=32，则AE的长为()(A)12(B)8(C)12或28(D)8或32【解析】选D.如图,连结OC.∵弦CD⊥AB于点E，∴CE=CD=16.(2011·牡丹江中考)已知⊙O的直径AB=40，弦CD⊥A在直角△OCE中，则AE=20+12=32，或AE=20-12=8，故AE的长是8或32.在直角△OCE中，第二十七讲圆的认识第二十七讲圆的认识1.了解：圆的定义及其有关概念，圆心角和圆周角的概念.2.理解：圆的轴对称性和中心对称性.3.掌握：垂径定理及其推论，圆周角定理及其推论.4.会：运用垂径定理及其推论和圆心角所对的弦、弧之间的关系定理及其推论解决有关证明、计算和作图问题.5.能：用垂径定理及圆周角的性质解决与圆有关的分类问题.1.了解：圆的定义及其有关概念，圆心角和圆周角的概念.一、圆的有关概念1.圆的基本概念：(1)平面内到一定点的距离等于定长的_______组成的图形叫做圆，这个定点叫做_____，定长叫做_____.(2)圆可以看成是平面内一个动点绕一个定点_________所形成的图形.所有点圆心半径旋转一周一、圆的有关概念所有点圆心半径旋转一周2.圆的弦和弧如图：线段AB，BC，AC都是⊙O的___，曲线BC，BAC都是⊙O中的___.小于半圆周的圆弧叫_____，大于半圆周的圆弧叫_____.弦弧劣弧优弧2.圆的弦和弧弦弧劣弧优弧3.圆心角与圆周角：(1)顶点在_____的角叫做圆心角;(2)顶点在_____，并且两边都与圆_____的角叫做圆周角.圆心圆上相交3.圆心角与圆周角：圆心圆上相交【即时应用】1.圆的最长的弦是_____.2.已知圆上有三个点，以任意两个点为端点的弧共有__条.3.如图______是圆心角，______为圆周角.直径6∠BOC∠BAC【即时应用】直径6∠BOC∠BAC二、圆的有关性质1.圆的对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.2.垂直于弦的直径的性质及其推论(1)定理：垂直于弦的直径___________，并且平分这条弦所对的两条弧;(2)推论：平分弦(不是直径)的直径_____于弦，并且平分弦所对的_______.平分这条弦垂直两条弧二、圆的有关性质平分这条弦垂直两条弧3.圆心角、弧、弦之间的关系在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等.4.圆周角定理及其推论(1)定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_____，都等于这条弧所对的圆心角的_____；(2)推论：半圆(或直径)所对的圆周角是_____，90°的圆周角所对的弦是直径.5.三角形的外心外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离_____.相等一半直角相等3.圆心角、弧、弦之间的关系相等一半直角相等【即时应用】1.如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则圆心到这条弦的距离为__.2.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠ACO=16°,则∠BOC=____.632°【即时应用】632°3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°,则∠BAC的度数等于____.4.△ABC的三边长分别为5，12，13，则其外接圆的半径为____.5.等边三角形的边长为6，则其外接圆的半径为_____.50°6.53.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°,则∠BA【核心点拨】1.一条直线若满足：①垂直于弦；②平分弦；③过圆心；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧中任意两个条件，则可得到另外三个条件.2.离开同圆或等圆，不存在等弧.3.圆中常用的辅助线①作半径，利用同圆或等圆的半径相等可得等腰三角形；②作半径和圆心到弦的垂线段，与弦的一半构成直角三角形；③作弦、直径等构造直径所对的圆周角.【核心点拨】

圆心角与圆周角◆中考指数:★★★★☆

知识点睛1.圆周角与圆心角是密切联系的一个整体，实现了圆中角的转化，知其一，可求其二.2.圆周(或心)角与它所对弧常互相转化，即欲求证圆周(或心)角相等，可转化证“圆周(或心)角所对的弧相等”.弧相等的条件可转化为它们所对的圆周(或心)角相等的结论.

特别提醒1.考查圆周角和圆心角的这类题侧重对基础知识的考查，利用有关概念和定理在理解时，要注意其成立的条件，结合图形进行分析.2.有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转化为解直角三角形的问题.圆心角与圆周角◆中考指数【例1】(2012·湘潭中考)如图，在⊙O中，弦AB∥CD,若∠ABC=40°，则∠BOD=()(A)20°(B)40°(C)50°(D)80°【例1】(2012·湘潭中考)如图，在⊙O中，弦AB∥CD,【教你解题】

【教你解题】【对点训练】1.(2012·黔东南中考)如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°,则∠BCD的度数为()(A)35°(B)45°(C)55°(D)75°【解析】选A.连结AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°,∴∠A=90°-55°=35°,根据同弧所对的圆周角相等可得∠BCD=∠A=35°.【对点训练】2.(2012·六盘水中考)如图，已知∠OCB=20°,则∠A=____度.【解析】∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=20°,∴∠O=180°-∠OBC-∠OCB=140°,∴∠A=∠O=70°.答案：702.(2012·六盘水中考)如图，已知∠OCB=20°,则∠3.(2011·兰州中考)如图，OB是⊙O的半径，点C，D在⊙O上，∠DCB=27°，则∠OBD=____度．【解析】∠DOB=2∠DCB=54°，因为OB=OD,所以△OBD是等腰三角形，得∠OBD=(180°－54°)÷2=63°．答案：63

3.(2011·兰州中考)如图，OB是⊙O的半径，点C，D在

垂直于弦的直径的应用

◆中考指数:★★★★☆

知识点睛1.垂直于弦的直径及其推论是证线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，应用时要注意：垂直于弦的直径的推论“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”一定要强调“弦不是直径”.2.利用垂直于弦的直径解决问题时，常常把问题转化为半径，弦长的一半，圆心到弦的垂线段三者组成的直角三角形中的问题.

特别提醒定理中的“直径”是指经过圆心的弦，但在实际应用时可以不是直径，如半径、过圆心的直线.

【例2】(2011·江西中考)如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点(B，C两点除外).(1)求∠BAC的度数；(2)求△ABC面积的最大值.(参考数据：sin60°=,cos30°=,tan30°=).【例2】(2011·江西中考)如图，已知⊙O的半径为2，弦B【教你解题】(1)【教你解题】(2)(2)【对点训练】4.(2012·湛江中考)如图，在半径为13的⊙O中，OC垂直弦AB于点D，交⊙O于点C，AB=24，则CD的长是_________.【对点训练】【解析】连结OA，∵OC⊥AB,AB=24,∴AD=AB=12.在Rt△AOD中，∵OA=13,AD=12,∴∴CD=OC-OD=13-5=8.答案：8【解析】连结OA，5.(2012·娄底中考)如图，⊙O的直径CD垂直于AB，∠AOC=48°，则∠BDC=_____度.【解析】连结BO.∵直径CD垂直于AB，∴则∠BDC=∠BOC=∠AOC=24°.答案：245.(2012·娄底中考)如图，⊙O的直径CD垂直于AB，∠6.(2012·衢州中考)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为____mm.6.(2012·衢州中考)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的【解析】设圆心为O，过点O作OD⊥AB于点D，连结OA,根据题意知，OA=5mm，OD=8－5=3(mm)，根据勾股定理，得：

(mm)，则AB=2AD=8mm.答案：8【解析】设圆心为O，过点O作OD⊥AB于点D，连结OA,根据7.(2012·南通中考)如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB＝30cm，CD＝16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD间的距离．7.(2012·南通中考)如图，⊙O的半径为17cm，弦A【解析】分别作弦AB，CD的弦心距，设垂足分别为E，F，连结OA，OC.∵AB=30cm，CD=16cm，∴AE=AB=×30=15(cm)，【解析】分别作弦AB，CD的弦心距，设垂足分别为E，F，连结CF=CD=×16=8(cm).在Rt△AOE中，OE=在Rt△OCF中，OF=∴EF=OF-OE=15-8=7(cm)．∴AB和CD间的距离为7cm.CF=CD=×16=8(cm).

三角形的外接圆◆中考指数:★★★☆☆知识点睛

三角形的外心的位置：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是的中点，钝角三角形的外心在三角形外部.

特别提醒

1.三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点；2.根据三角形的外心的位置可以确定三角形的形状.

三角形的外接圆◆中【例3】(2012·长沙中考)如图，A,P,B,C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°,(1)求证：△ABC是等边三角形.(2)求圆心O到BC的距离OD.【思路点拨】(1)∠ABC=∠APC→∠ABC=∠BAC=60°→结论(2)连结OB→解Rt△OBD→OD的长【例3】(2012·长沙中考)如图，A,P,B,C是半径为8【自主解答】(1)∵∠ABC=∠APC，又∵∠BAC=∠APC=60°,∴∠ABC=∠BAC=60°，∴∠ACB=60°，∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形.(2)连结OB，则易得∠OBD=30°,又∠ODB=90°,∴OD=OB=4.【自主解答】(1)∵∠ABC=∠APC，【对点训练】8.(2012·湖州中考)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°,∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是()(A)45°(B)85°(C)90°(D)95°【解析】选B.根据直径所对的圆周角为90°，∠C=50°,可得∠BAC的度数为40°，再利用圆周角定理，∠CBD=∠CAD=