三角函数任意角课件

第五章

§5.1任意角和弧度制5.1.1任意角第五章§5.1任意角和弧度制5.1.1任意角1学习目标XUEXIMUBIAO1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.了解象限角的概念.3.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.学习目标XUEXIMUBIAO1.了解任意角的概念，区2内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练内知识梳理题型探究随堂演练课时对点练31知识梳理PARTONE1知识梳理PARTONE4知识点一任意角1.角的概念：角可以看成平面内一条

绕着它的端点

所成的

.2.角的表示：如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：

，终边：

，顶点

.射线旋转图形OAOBO知识点一任意角1.角的概念：射线旋转图形OAOBO名称定义图示正角一条射线绕其端点按

方向旋转形成的角

负角一条射线绕其端点按

方向旋转形成的角

零角一条射线

做任何旋转形成的角

3.角的分类：逆时针顺时针没有名称定义图示正角一条射线绕其端点按

负角一条射线绕其端点按

知识点二角的加法与减法设α，β是任意两个角，

为角α的相反角.(1)α＋β：把角α的

旋转角β.(2)α－β：α－β＝

.－α终边α＋(－β)知识点二角的加法与减法设α，β是任意两个角，知识点三象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与

重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的

在第几象限，就说这个角是第几_______；如果角的终边在

，就认为这个角不属于任何一个象限.原点终边象限角坐标轴上知识点三象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与思考

“锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？答案锐角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以是大于360°的角，还可以是负角，小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角.思考“锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？知识点四终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝_________________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.k·360°，k∈Z}{β|β＝α＋知识点四终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，思考

终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？答案

终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角终边相同.思考终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？答案终边相同1.第二象限角是钝角.(

)2.终边与始边重合的角为零角.(

)3.终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√×1.第二象限角是钝角.()思考辨析判断正误SIKA2题型探究PARTTWO2题型探究PARTTWO13例1

(多选)下列说法，不正确的是A.三角形的内角必是第一、二象限角B.始边相同而终边不同的角一定不相等C.钝角比第三象限角小D.小于180°的角是钝角、直角或锐角一、任意角的概念√解析A中90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A不正确；B中始边相同而终边不同的角一定不相等，故B正确；C中钝角是大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故C不正确；D中零角或负角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D不正确.√√例1(多选)下列说法，不正确的是一、任意角的概念√解析反思感悟理解与角的概念有关问题的关键正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可.反思感悟理解与角的概念有关问题的关键跟踪训练1

经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是A.60°，720° B.－60°，－720°C.－30°，－360° D.－60°，720°√解析钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.跟踪训练1经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是√例2已知α＝－1845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最小的正角；二、终边相同的角解因为－1845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，最小的正角为315°.例2已知α＝－1845°，在与α终边相同的角中，求满足下(2)最大的负角；解最大的负角为－45°.(3)－360°～720°之间的角.解－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.(2)最大的负角；解最大的负角为－45°.(3)－360°反思感悟终边相同的角的表示(1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式.(2)终边相同的角相差360°的整数倍.反思感悟终边相同的角的表示跟踪训练2

(1)若角2α与240°角的终边相同，则α等于A.120°＋k·360°，k∈Z

B.120°＋k·180°，k∈ZC.240°＋k·360°，k∈Z

D.240°＋k·180°，k∈Z√解析角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.跟踪训练2(1)若角2α与240°角的终边相同，则α等于√(2)下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是A.－37°B.143°C.379°

D.－143°√解析与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°＋k·180°，k∈Z，当k＝－1时，37°－180°＝－143°.(2)下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是√解析与三、象限角及区域角的表示例3

(1)(多选)下列四个角为第二象限角的是A.－200°

B.100°

C.220°D.420°解析－200°＝－360°＋160°，在0°～360°范围内，与－200°终边相同的角为160°，它是第二象限角，同理100°为第二象限角，220°为第三象限角，420°为第一象限角.√√三、象限角及区域角的表示例3(1)(多选)下列四个角为第二(2)如图所示.解终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}.终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}.①写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)如图所示.解终边落在射线OA上的角的集合是①写出终边②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}.②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解终边落在阴反思感悟(1)象限角的判定方法①根据图象判定.利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系.②将角转化到0°～360°范围内.在直角坐标平面内，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的.(2)表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.反思感悟(1)象限角的判定方法第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°.第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合.第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～3跟踪训练3

已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围.解终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}.跟踪训练3已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值核心素养之逻辑推理HEXINSUYANGZHILUOJITUILI确定nα及

所在的象限典例

已知α是第二象限角：(1)求角

所在的象限；核心素养之逻辑推理HEXINSUYANGZHILU解方法一∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z).解方法一∵α是第二象限角，方法二如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，方法二如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，(2)求角2α所在的象限.解∵k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z).∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z).∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上.(2)求角2α所在的象限.解∵k·360°＋90°<α<k素养提升分类讨论时要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下结论.几何法依据数形结合，简单直观.通过该类问题，提升逻辑推理和直观想象等核心素养.素养提升分类讨论时要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n3随堂演练PARTTHREE3随堂演练PARTTHREE331.与－30°终边相同的角是A.－330°B.150°C.30°D.330°12345√解析因为所有与－30°终边相同的角都可以表示为α＝k·360°＋(－30°)，k∈Z，取k＝1，得α＝330°.1.与－30°终边相同的角是12345√解析因为所有与－32.2020°是A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角12345√解析2020°＝5×360°＋220°，所以2020°角的终边与220°角的终边相同，为第三象限角.2.2020°是12345√解析2020°＝5×3603.与－460°角终边相同的角可以表示成A.460°＋k·360°，k∈Z

B.100°＋k·360°，k∈ZC.260°＋k·360°，k∈Z

D.－260°＋k·360°，k∈Z12345√解析因为－460°＝260°＋(－2)×360°，故与－460°角终边相同的角可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.3.与－460°角终边相同的角可以表示成12345√解析因4.若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为A.120°B.－120°

C.－60°D.60°12345解析由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，√4.若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为12345解析123455.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是_________________________________________.{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}解析观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}.123455.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边课堂小结KETANGXIAOJIE1.知识清单：(1)任意角的概念.(2)终边相同的角.(3)象限角、区域角的表示.2.方法归纳：数形结合、分类讨论.3.常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同角的表示中漏掉k∈Z.课堂小结KETANGXIAOJIE1.知识清单：4课时对点练PARTFOUR4课时对点练PARTFOUR401.(多选)下列四个角中，属于第二象限角的是A.160°

B.480°

C.－960°D.1530°基础巩固12345678910111213141516√解析160°是第二象限角；480°＝120°＋360°是第二象限角；－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；1530°＝4×360°＋90°不是第二象限角.√√1.(多选)下列四个角中，属于第二象限角的是基础巩固12342.与－457°角的终边相同的角的集合是A.{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B.{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C.{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D.{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}123456789111213141516√102.与－457°角的终边相同的角的集合是12345678913.下面各组角中，终边相同的是A.390°，690° B.－330°，750°C.480°，－420° D.3000°，－840°123456789111213141516√10解析因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，所以－330°与750°终边相同.3.下面各组角中，终边相同的是1234567891112134.若α是第四象限角，则180°－α是A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角123456789111213141516√解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角.104.若α是第四象限角，则180°－α是123456789115.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是A.{α|－45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}D.{α|120°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}解析如题图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}.√123456789111213141516105.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是解析如题图，123456789111213141516解析顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1080°.又50°＋(－1080°)＝－1030°，故所得的角为－1030°.6.50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________.10－1030°123456789111213141516解析顺时针方向旋1234567891112131415167.与－2020°角终边相同的最小正角是________；最大负角是________.解析因为－2020°＝－6×360°＋140°，140°－360°＝－220°，所以最小正角为140°，最大负角为－220°.10－220°140°1234567891112131415167.与－20208.在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为____________.12345678911121314151610解析与角－60°的终边在同一条直线上的角可表示为β＝－60°＋k·180°，k∈Z.∵所求角在0°～360°范围内，∴0°≤－60°＋k·180°≤360°，120°，300°∴k＝1或2，当k＝1时，β＝120°，当k＝2时，β＝300°.8.在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上1234567891112131415169.已知α＝－1910°.(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；10解α＝－1910°＝－6×360°＋250°，它是第三象限角.(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.解令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)，取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角.250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或θ＝－470°.1234567891112131415169.已知α＝－112345678911121314151610.写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合.10解先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}.(2){α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}.12345678911121314151610.写出终边在下11.(多选)角α＝45°＋k·180°(k∈Z)的终边落在A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限综合运用123456789111213141516√10√解析当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角.故α在第一或第三象限.11.(多选)角α＝45°＋k·180°(k∈Z)的终边落在解析方法一特例法，取α＝30°，可知C正确.方法二因为α是第一象限角，所以k·360°<α<90°＋k·360°(k∈Z)，所以270°＋k·360°<360°－α<360°＋k·360°(k∈Z)，故360°－α是第四象限角.12.若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是A.90°－α

B.90°＋αC.360°－α

D.180°＋α123456789111213141516√10解析方法一特例法，取α＝30°，可知C正确.12.若α是13.终边与坐标轴重合的角α的集合是A.{α|α＝k·360°，k∈Z}B.{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C.{α|α＝k·180°，k∈Z}D.{α|α＝k·90°，k∈Z}12345678911121314151610解析终边在坐标轴上的角大小为90°的整数倍，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}.√13.终边与坐标轴重合的角α的集合是12345678911112345678911121314151614.若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边与终边，则角α＝____.10解析∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α＝k·360°＋α，k∈Z，得4α＝k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z，又180°<α<360°，∴180°<k·90°<360°，解得2<k<4，又k∈Z，∴k＝3.∴当k＝3时，α＝270°.270°12345678911121314151614.若角α满足1拓广探究123456789111213141516√10拓广探究123456789111213141516√1012345678911121314151610即M是由45°的奇数倍构成的集合，即N是由45°的整数倍构成的集合，∴M⊆N.12345678911121314151610即M是由45°16.已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小.1234567891112131415161016.已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边12345678911121314151610解由题意可知α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.∵α，β为锐角，∴0°<α＋β<180°.取k＝1，得α＋β＝80°，

①α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.∵α，β为锐角，∴－90°<α－β<90°.取k＝－2，得α－β＝－50°，

②由①②得α＝15°，β＝65°.12345678911121314151610解由题意可知第五章

§5.1任意角和弧度制5.1.1任意角第五章§5.1任意角和弧度制5.1.1任意角59学习目标XUEXIMUBIAO1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.了解象限角的概念.3.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.学习目标XUEXIMUBIAO1.了解任意角的概念，区60内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练内知识梳理题型探究随堂演练课时对点练611知识梳理PARTONE1知识梳理PARTONE62知识点一任意角1.角的概念：角可以看成平面内一条

绕着它的端点

所成的

.2.角的表示：如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：

，终边：

，顶点

.射线旋转图形OAOBO知识点一任意角1.角的概念：射线旋转图形OAOBO名称定义图示正角一条射线绕其端点按

方向旋转形成的角

负角一条射线绕其端点按

方向旋转形成的角

零角一条射线

做任何旋转形成的角

3.角的分类：逆时针顺时针没有名称定义图示正角一条射线绕其端点按

负角一条射线绕其端点按

知识点二角的加法与减法设α，β是任意两个角，

为角α的相反角.(1)α＋β：把角α的

旋转角β.(2)α－β：α－β＝

.－α终边α＋(－β)知识点二角的加法与减法设α，β是任意两个角，知识点三象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与

重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的

在第几象限，就说这个角是第几_______；如果角的终边在

，就认为这个角不属于任何一个象限.原点终边象限角坐标轴上知识点三象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与思考

“锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？答案锐角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以是大于360°的角，还可以是负角，小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角.思考“锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？知识点四终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝_________________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.k·360°，k∈Z}{β|β＝α＋知识点四终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，思考

终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？答案

终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角终边相同.思考终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？答案终边相同1.第二象限角是钝角.(

)2.终边与始边重合的角为零角.(

)3.终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√×1.第二象限角是钝角.()思考辨析判断正误SIKA2题型探究PARTTWO2题型探究PARTTWO71例1

(多选)下列说法，不正确的是A.三角形的内角必是第一、二象限角B.始边相同而终边不同的角一定不相等C.钝角比第三象限角小D.小于180°的角是钝角、直角或锐角一、任意角的概念√解析A中90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A不正确；B中始边相同而终边不同的角一定不相等，故B正确；C中钝角是大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故C不正确；D中零角或负角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D不正确.√√例1(多选)下列说法，不正确的是一、任意角的概念√解析反思感悟理解与角的概念有关问题的关键正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可.反思感悟理解与角的概念有关问题的关键跟踪训练1

经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是A.60°，720° B.－60°，－720°C.－30°，－360° D.－60°，720°√解析钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.跟踪训练1经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是√例2已知α＝－1845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最小的正角；二、终边相同的角解因为－1845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，最小的正角为315°.例2已知α＝－1845°，在与α终边相同的角中，求满足下(2)最大的负角；解最大的负角为－45°.(3)－360°～720°之间的角.解－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.(2)最大的负角；解最大的负角为－45°.(3)－360°反思感悟终边相同的角的表示(1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式.(2)终边相同的角相差360°的整数倍.反思感悟终边相同的角的表示跟踪训练2

(1)若角2α与240°角的终边相同，则α等于A.120°＋k·360°，k∈Z

B.120°＋k·180°，k∈ZC.240°＋k·360°，k∈Z

D.240°＋k·180°，k∈Z√解析角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.跟踪训练2(1)若角2α与240°角的终边相同，则α等于√(2)下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是A.－37°B.143°C.379°

D.－143°√解析与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°＋k·180°，k∈Z，当k＝－1时，37°－180°＝－143°.(2)下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是√解析与三、象限角及区域角的表示例3

(1)(多选)下列四个角为第二象限角的是A.－200°

B.100°

C.220°D.420°解析－200°＝－360°＋160°，在0°～360°范围内，与－200°终边相同的角为160°，它是第二象限角，同理100°为第二象限角，220°为第三象限角，420°为第一象限角.√√三、象限角及区域角的表示例3(1)(多选)下列四个角为第二(2)如图所示.解终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}.终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}.①写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)如图所示.解终边落在射线OA上的角的集合是①写出终边②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}.②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解终边落在阴反思感悟(1)象限角的判定方法①根据图象判定.利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系.②将角转化到0°～360°范围内.在直角坐标平面内，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的.(2)表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.反思感悟(1)象限角的判定方法第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°.第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合.第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～3跟踪训练3

已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围.解终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}.跟踪训练3已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值核心素养之逻辑推理HEXINSUYANGZHILUOJITUILI确定nα及

所在的象限典例

已知α是第二象限角：(1)求角

所在的象限；核心素养之逻辑推理HEXINSUYANGZHILU解方法一∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z).解方法一∵α是第二象限角，方法二如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，方法二如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，(2)求角2α所在的象限.解∵k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z).∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z).∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上.(2)求角2α所在的象限.解∵k·360°＋90°<α<k素养提升分类讨论时要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下结论.几何法依据数形结合，简单直观.通过该类问题，提升逻辑推理和直观想象等核心素养.素养提升分类讨论时要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n3随堂演练PARTTHREE3随堂演练PARTTHREE911.与－30°终边相同的角是A.－330°B.150°C.30°D.330°12345√解析因为所有与－30°终边相同的角都可以表示为α＝k·360°＋(－30°)，k∈Z，取k＝1，得α＝330°.1.与－30°终边相同的角是12345√解析因为所有与－32.2020°是A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角12345√解析2020°＝5×360°＋220°，所以2020°角的终边与220°角的终边相同，为第三象限角.2.2020°是12345√解析2020°＝5×3603.与－460°角终边相同的角可以表示成A.460°＋k·360°，k∈Z

B.100°＋k·360°，k∈ZC.260°＋k·360°，k∈Z

D.－260°＋k·360°，k∈Z12345√解析因为－460°＝260°＋(－2)×360°，故与－460°角终边相同的角可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.3.与－460°角终边相同的角可以表示成12345√解析因4.若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为A.120°B.－120°

C.－60°D.60°12345解析由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，√4.若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为12345解析123455.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是_________________________________________.{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}解析观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}.123455.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边课堂小结KETANGXIAOJIE1.知识清单：(1)任意角的概念.(2)终边相同的角.(3)象限角、区域角的表示.2.方法归纳：数形结合、分类讨论.3.常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同角的表示中漏掉k∈Z.课堂小结KETANGXIAOJIE1.知识清单：4课时对点练PARTFOUR4课时对点练PARTFOUR981.(多选)下列四个角中，属于第二象限角的是A.160°

B.480°

C.－960°D.1530°基础巩固12345678910111213141516√解析160°是第二象限角；480°＝120°＋360°是第二象限角；－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；1530°＝4×360°＋90°不是第二象限角.√√1.(多选)下列四个角中，属于第二象限角的是基础巩固12342.与－457°角的终边相同的角的集合是A.{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B.{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C.{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D.{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}123456789111213141516√102.与－457°角的终边相同的角的集合是12345678913.下面各组角中，终边相同的是A.390°，690° B.－330°，750°C.480°，－420° D.3000°，－840°123456789111213141516√10解析因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，所以－330°与750°终边相同.3.下面各组角中，终边相同的是1234567891112134.若α是第四象限角，则180°－α是A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角123456789111213141516√解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角.104.若α是第四象限角，则180°－α是123456789115.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是A.{α|－45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}D.{α|120°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}解析如题图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}.√123456789111213141516105.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是解析如题图，123456789111213141516解析顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1080°.又50°＋(－1080°)＝－1030°，故所得的角为－1030°.6.50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________.10－1030°123456789111213141516解析顺时针方向旋1234567891112131415167.与－2020°角终边相同的最小正角是________；最大负角是________.解析因为－2020°＝－6×360°＋140°，140°－360°＝－220°，所以最小正角为140°，最大负角为－220°.10－220°140°1234567891112131415167.与－20208.在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为____________.12345678911121314151610解析与角－60°的终边在同一条直线上的角可表示为β＝－60°＋k·180°，k∈Z.∵所求角在0°～360°范围内，∴0°≤－60°＋k·180°≤360°，120°，300°∴k＝1或2，当k＝1时，β＝120°，当k＝2时，β＝300°.8.在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上1234567891112131415169.已知α＝－1910°.(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；10解α＝－1910°＝－6×360°＋250°，它是第三象限角.(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.解令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)，取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角.250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或θ＝－470°.