高三一轮复习 课件 26 幂函数与二次函数

2.6幂函数与二次函数2.6幂函数与二次函数-2-

-2-

-3-1.幂函数(1)幂函数的定义:形如y=xα

(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量

,α是常数

.

(2)五种幂函数的图象-3-1.幂函数-4-(3)五种幂函数的性质

-4-(3)五种幂函数的性质-5-2.二次函数(1)二次函数的三种形式:一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0)

;

顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)

,其中(h,k)

为顶点坐标;

零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

,其中x1,x2

为二次函数的零点.

(2)二次函数的图象和性质-5-2.二次函数-6--6--7-23415×

×

×

×

√-7-23415××××√-8-234152.(2015广东湛江二模)若关于x的方程x2+mx+=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是(

)A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,2)答案解析解析关闭答案解析关闭-8-234152.(2015广东湛江二模)若关于x的方程x-9-234153.函数

的图象是(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-9-234153.函数的图象是(-10-234154.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(-5,-3)上(

)A.先减后增 B.先增后减C.单调递减 D.单调递增答案解析解析关闭∵f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,∴2m=0,∴m=0.∴f(x)=-x2+3在(-5,-3)上是增函数.答案解析关闭D-10-234154.已知函数f(x)=(m-1)x2+2m-11-234155.(教材习题改编P82T10)已知幂函数y=f(x)的图象过点,则此函数的解析式为

;在区间

上递减.

答案解析解析关闭答案解析关闭-11-234155.(教材习题改编P82T10)已知幂函数-12-23415自测点评1.幂函数的图象最多出现在两个象限内,一定会经过第一象限,一定不出现在第四象限.至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.2.幂函数y=xα的系数为1,系数不为1的都不是幂函数,当α>0时,在(0,+∞)上都是增函数,当α<0时,在(0,+∞)上都是减函数,而不能说在定义域上是增函数或减函数.3.对于函数y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足a≠0,当题目条件中未说明a≠0时,就要讨论a=0和a≠0两种情况;二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向以及给定区间的范围有关,不能盲目利用配方法得出结论.4.数形结合是讨论二次函数问题的基本方法.特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路.-12-23415自测点评-13-考点1考点2考点3知识方法易错易混考点1幂函数的图象与性质

例1(1)(2015湖北孝感调研)函数f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,且在x∈(0,+∞)上为增函数,则实数m的值是(

)A.-1 B.2 C.3 D.-1或2答案解析解析关闭由f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,得m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.又在x∈(0,+∞)上是增函数,所以m=2.答案解析关闭B-13-考点1考点2考点3知识方法易错易混考点1幂函数的图象-14-考点1考点2考点3知识方法易错易混(2)若

,则a,b,c的大小关系是(

)A.a<b<c B.c<a<bC.b<c<a D.b<a<c答案解析解析关闭答案解析关闭-14-考点1考点2考点3知识方法易错易混(2)若-15-考点1考点2考点3知识方法易错易混(3)已知幂函数f(x)的图象经过点(2,),且f(2m+1)>f(m2+m-1),则m的取值范围是(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-15-考点1考点2考点3知识方法易错易混(3)已知幂函数f-16-考点1考点2考点3知识方法易错易混思考:幂函数与指数函数有怎样的区别?幂函数有哪些重要的性质?解题心得:1.幂函数中底数是自变量,指数是常数,而指数函数中底数是常数,指数是自变量.2.幂函数的主要性质:(1)幂函数在(0,+∞)上都有定义,幂函数的图象过定点(1,1).(2)当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增.(3)当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.(4)幂函数图象在第一象限的特点:当α>1时,曲线下凸;当0<α<1时,曲线上凸;当α<0时,曲线下凸.-16-考点1考点2考点3知识方法易错易混思考:幂函数与指数-17-考点1考点2考点3知识方法易错易混对点训练1

(1)已知幂函数

(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为(

)

A.-3 B.1 C.2 D.1或2答案解析解析关闭由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,经检验只有n=1适合题意,故选B.答案解析关闭B-17-考点1考点2考点3知识方法易错易混对点训练1(1)-18-考点1考点2考点3知识方法易错易混(2)(2015安徽安庆三模)若,则实数a的取值范围是

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-18-考点1考点2考点3知识方法易错易混(2)(2015安-19-考点1考点2考点3知识方法易错易混考点2求二次函数的解析式

例2已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.-19-考点1考点2考点3知识方法易错易混考点2求二次函数的-20-考点1考点2考点3知识方法易错易混-20-考点1考点2考点3知识方法易错易混-21-考点1考点2考点3知识方法易错易混解法三:(利用交点式)由已知f(x)+1=0两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值ymax=8,∴所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.-21-考点1考点2考点3知识方法易错易混解法三:(利用交点-22-考点1考点2考点3知识方法易错易混思考:求二次函数解析式时如何选取恰当的表达形式?解题心得:根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:(1)已知三个点坐标,宜选用一般式.(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式.(3)已知图象与x轴两交点坐标,宜选用交点式.-22-考点1考点2考点3知识方法易错易混思考:求二次函数解-23-考点1考点2考点3知识方法易错易混对点训练2

已知二次函数f(x)有两个零点0和-2,且它有最小值-1,则f(x)的解析式为f(x)=

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-23-考点1考点2考点3知识方法易错易混对点训练2已知二-24-考点1考点2考点3知识方法易错易混考点3二次函数的图象与性质(多维探究)

类型一

二次函数的最值问题例3设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为g(x),求g(x).思考:如何求二次函数在含参数的闭区间上的最值?答案答案关闭-24-考点1考点2考点3知识方法易错易混考点3二次函数的图-25-考点1考点2考点3知识方法易错易混类型二

与二次函数有关的存在性问题例4(2015河北衡水模拟)已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围是

.思考:如何理解本例中对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0)?答案解析解析关闭答案解析关闭-25-考点1考点2考点3知识方法易错易混类型二与二次函数-26-考点1考点2考点3知识方法易错易混类型三

二次函数中恒成立问题例5已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,则实数a的取值范围为

.答案解析解析关闭答案解析关闭-26-考点1考点2考点3知识方法易错易混类型三二次函数中-27-考点1考点2考点3知识方法易错易混思考:由不等式恒成立求参数取值范围的一般解题思路是什么?解题心得:1.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考察对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论,当确定了对称轴和区间的关系,就明确了函数的单调性,从而确定函数的最值.2.已知函数f(x),g(x),若对任意的x1∈[a,b]都存在x0∈[a,b],使得g(x1)=f(x0),求g(x)中参数的取值范围,说明g(x1)在[a,b]上的取值范围是f(x0)在[a,b]上的取值范围的子集,即-27-考点1考点2考点3知识方法易错易混思考:由不等式恒成-28-考点1考点2考点3知识方法易错易混3.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键:(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.-28-考点1考点2考点3知识方法易错易混3.由不等式恒成立-29-考点1考点2考点3知识方法易错易混对点训练3

(1)已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围为(

)

A.[0,1] B.[1,2] C.(1,2] D.(1,2)答案解析解析关闭答案解析关闭-29-考点1考点2考点3知识方法易错易混对点训练3(1)-30-考点1考点2考点3知识方法易错易混(2)已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在x∈[0,1]时有最大值2,则a的值为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-30-考点1考点2考点3知识方法易错易混(2)已知函数f(-31-考点1考点2考点3知识方法易错易混1.幂函数y=xα(α∈R)的图象的特征:当α>0时,图象过原点和点(1,1),在第一象限图象上升;当α<0时,图象过点(1,1),但不过原点,在第一象限图象下降.2.求二次函数的解析式时,应根据题目给出的条件,选择恰当的表达式.3.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系,即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立,应求f(x)的最小值;若存在x∈D,使得f(x)≥g(a)成立,应求f(x)的最大值.-31-考点1考点2考点3知识方法易错易混1.幂函数y=xα-32-考点1考点2考点3知识方法易错易混1.幂函数的图象一定会出现在第一象限,一定不会出现在第四象限.如果幂函数与坐标轴有交点,则交点一定是原点.2.对于函数y=ax2+bx+c,若它是二次函数,则必须满足a≠0.当题目条件中未说明a≠0时,就要分a=0和a≠0两种情况讨论.-32-考点1考点2考点3知识方法易错易混1.幂函数的图象一单击此处进入活页限时训练单击此处进入活页限时训练2.6幂函数与二次函数2.6幂函数与二次函数-35-

-2-

-36-1.幂函数(1)幂函数的定义:形如y=xα

(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量

,α是常数

.

(2)五种幂函数的图象-3-1.幂函数-37-(3)五种幂函数的性质

-4-(3)五种幂函数的性质-38-2.二次函数(1)二次函数的三种形式:一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0)

;

顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)

,其中(h,k)

为顶点坐标;

零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

,其中x1,x2

为二次函数的零点.

(2)二次函数的图象和性质-5-2.二次函数-39--6--40-23415×

×

×

×

√-7-23415××××√-41-234152.(2015广东湛江二模)若关于x的方程x2+mx+=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是(

)A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,2)答案解析解析关闭答案解析关闭-8-234152.(2015广东湛江二模)若关于x的方程x-42-234153.函数

的图象是(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-9-234153.函数的图象是(-43-234154.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(-5,-3)上(

)A.先减后增 B.先增后减C.单调递减 D.单调递增答案解析解析关闭∵f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,∴2m=0,∴m=0.∴f(x)=-x2+3在(-5,-3)上是增函数.答案解析关闭D-10-234154.已知函数f(x)=(m-1)x2+2m-44-234155.(教材习题改编P82T10)已知幂函数y=f(x)的图象过点,则此函数的解析式为

;在区间

上递减.

答案解析解析关闭答案解析关闭-11-234155.(教材习题改编P82T10)已知幂函数-45-23415自测点评1.幂函数的图象最多出现在两个象限内,一定会经过第一象限,一定不出现在第四象限.至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.2.幂函数y=xα的系数为1,系数不为1的都不是幂函数,当α>0时,在(0,+∞)上都是增函数,当α<0时,在(0,+∞)上都是减函数,而不能说在定义域上是增函数或减函数.3.对于函数y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足a≠0,当题目条件中未说明a≠0时,就要讨论a=0和a≠0两种情况;二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向以及给定区间的范围有关,不能盲目利用配方法得出结论.4.数形结合是讨论二次函数问题的基本方法.特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路.-12-23415自测点评-46-考点1考点2考点3知识方法易错易混考点1幂函数的图象与性质

例1(1)(2015湖北孝感调研)函数f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,且在x∈(0,+∞)上为增函数,则实数m的值是(

)A.-1 B.2 C.3 D.-1或2答案解析解析关闭由f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,得m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.又在x∈(0,+∞)上是增函数,所以m=2.答案解析关闭B-13-考点1考点2考点3知识方法易错易混考点1幂函数的图象-47-考点1考点2考点3知识方法易错易混(2)若

,则a,b,c的大小关系是(

)A.a<b<c B.c<a<bC.b<c<a D.b<a<c答案解析解析关闭答案解析关闭-14-考点1考点2考点3知识方法易错易混(2)若-48-考点1考点2考点3知识方法易错易混(3)已知幂函数f(x)的图象经过点(2,),且f(2m+1)>f(m2+m-1),则m的取值范围是(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-15-考点1考点2考点3知识方法易错易混(3)已知幂函数f-49-考点1考点2考点3知识方法易错易混思考:幂函数与指数函数有怎样的区别?幂函数有哪些重要的性质?解题心得:1.幂函数中底数是自变量,指数是常数,而指数函数中底数是常数,指数是自变量.2.幂函数的主要性质:(1)幂函数在(0,+∞)上都有定义,幂函数的图象过定点(1,1).(2)当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增.(3)当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.(4)幂函数图象在第一象限的特点:当α>1时,曲线下凸;当0<α<1时,曲线上凸;当α<0时,曲线下凸.-16-考点1考点2考点3知识方法易错易混思考:幂函数与指数-50-考点1考点2考点3知识方法易错易混对点训练1

(1)已知幂函数

(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为(

)

A.-3 B.1 C.2 D.1或2答案解析解析关闭由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,经检验只有n=1适合题意,故选B.答案解析关闭B-17-考点1考点2考点3知识方法易错易混对点训练1(1)-51-考点1考点2考点3知识方法易错易混(2)(2015安徽安庆三模)若,则实数a的取值范围是

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-18-考点1考点2考点3知识方法易错易混(2)(2015安-52-考点1考点2考点3知识方法易错易混考点2求二次函数的解析式

例2已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.-19-考点1考点2考点3知识方法易错易混考点2求二次函数的-53-考点1考点2考点3知识方法易错易混-20-考点1考点2考点3知识方法易错易混-54-考点1考点2考点3知识方法易错易混解法三:(利用交点式)由已知f(x)+1=0两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值ymax=8,∴所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.-21-考点1考点2考点3知识方法易错易混解法三:(利用交点-55-考点1考点2考点3知识方法易错易混思考:求二次函数解析式时如何选取恰当的表达形式?解题心得:根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:(1)已知三个点坐标,宜选用一般式.(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式.(3)已知图象与x轴两交点坐标,宜选用交点式.-22-考点1考点2考点3知识方法易错易混思考:求二次函数解-56-考点1考点2考点3知识方法易错易混对点训练2

已知二次函数f(x)有两个零点0和-2,且它有最小值-1,则f(x)的解析式为f(x)=

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-23-考点1考点2考点3知识方法易错易混对点训练2已知二-57-考点1考点2考点3知识方法易错易混考点3二次函数的图象与性质(多维探究)

类型一

二次函数的最值问题例3设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为g(x),求g(x).思考:如何求二次函数在含参数的闭区间上的最值?答案答案关闭-24-考点1考点2考点3知识方法易错易混考点3二次函数的图-58-考点1考点2考点3知识方法易错易混类型二

与二次函数有关的存在性问题例4(2015河北衡水模拟)已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围是

.思考:如何理解本例中对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0)?答案解析解析关闭答案解析关闭-25-考点1考点2考点3知识方法易错易混类型二与二次函数-59-考点1考点2考点3知识方法易错易混类型三

二次函数中恒成立问题例5已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,则实数a的取值范围为

.答案解析解析关闭答案解析关闭-26-考点1考点2考点3知识方法易错易混类型三二次函数中-60-考点1考点2考点3知识方法易错易混思考:由不等式恒成立求参数取值范围的一般解题思路是什么?解题心得:1.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考察对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论,当确定了对称轴和区间的关系,就明确了函数的单调性,从而确定函数的最值.2.已知函数f(x),g(x),若对任意的x1∈[a,b]都存在x0∈[a,b],