高等代数课件 第五章

第五章矩阵5.1矩阵的运算

5.2可逆矩阵矩阵乘积的行列式5.3矩阵的分块

第五章矩阵5.1矩阵的运算5.2可逆矩阵矩阵乘积15.1矩阵的运算一、内容分布5.1.1认识矩阵5.1.2矩阵的运算5.1.3矩阵的运算性质5.1.4方阵的多项式5.1.5矩阵的转置

二、教学目的

1.掌握矩阵的加法、乘法以及数与矩阵的乘法运算法则及其基本性质，并能熟练地对矩阵进行运算。2.掌握转置矩阵及其运算性质3.掌握方阵的幂、方阵的多项式。三、重点、难点

矩阵的乘法运算法则及其基本性质，转置矩阵及其运算性质。

5.1矩阵的运算一、内容分布5.1.1认识矩阵二、教学2一矩阵的定义称为F上

矩阵,简写:

矩阵的产生有丰富的背景:线形方程组的系数矩阵…..,矩阵的应用非常广泛.

设F是数域,用F的元素排成的m行n列的数表

一矩阵的定义称为F上矩阵,简写:矩阵的3

二矩阵的运算及其运算律

定义1(矩阵的数乘)给定数域F中的一个数k与矩阵A的乘积定义为

定义2（矩阵的加法）

给定两个

矩阵

二矩阵的运算及其运算律定义1(矩阵的数乘)4A和B加法定义为:定义3（矩阵的乘法）给定一个

矩阵和一个

矩阵A和B加法定义为:定义3（矩阵的乘法）给定一个矩阵和一5A和B的乘法定义为注意:相加的两个矩阵必须同型,结果也同型;相乘的两个矩阵必须:第一个的列数等于第二个的行数,试问:结果的形状?A和B的乘法定义为注意:相加的两个矩阵必须同型6

矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其中A，B，C均为F上的矩阵，k，l为数域F中的数）(1)加法交换律

(2)加法结合律

(3)零矩阵

(4)负矩阵

(5)数乘结合律

(6)数乘分配律

(7)乘法结合律

(8)乘法分配律

矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其中A，B7注意:矩阵的乘法不满足交换律,

消去律:

也不满足.

满足:

的两个矩阵称为可交换的.注意:矩阵的乘法不满足交换律,消去律:也不满足.满8高等代数课件第五章9三方阵及其多项式

单位矩阵

:主对角线上全是1,其余元素全是0的方阵称为单位矩阵,记为或

单位矩阵也可以记为

.它有如下性质:

方阵A的方幂:

规定:

设多项式

,那么

在多项式的等式中,用A代x可以作出形式相同的矩阵等式.三方阵及其多项式单位矩阵:主对角线上全是10四矩阵的转置

设把矩阵

的行与列互换之后，得到的矩阵称为矩阵

矩阵,

记为

或转置有下面的性质:(9)(10)(11)的转置四矩阵的转置设把矩阵的行与列互换之后，得到的矩阵称为115.2可逆矩阵矩阵的乘积的行列式一、内容分布

可逆矩阵的定义、性质

初等矩阵的定义、性质

矩阵可逆的判别、逆矩阵的求法

矩阵乘积的行列式二、教学目的

1掌握逆矩阵的概念及矩阵可逆的判别2掌握求逆矩阵的方法,尤其是能熟练利用矩阵的行初等变换求逆矩阵。3了解初等矩阵与初等变换的关系三、重点、难点逆矩阵的求法矩阵可逆的判别5.2可逆矩阵矩阵的乘积的行列式一、内容分布12一可逆矩阵的定义及性质

定义1A为F上n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=I称A为可逆矩阵（非奇异矩阵），B称为A的逆矩阵.例A与B互为逆矩阵.一可逆矩阵的定义及性质定义1A为F上n阶方阵13性质①A可逆，则A的逆矩阵唯一。

证设B,C均为A的逆矩阵，则

AB=BA=I,AC=CA=IB=BI=BAC=（BA）C=IC=C

证注意到即得.证注意到即得.④A可逆，则②A可逆，则可逆，且由

有.证③A，B可逆，则AB也可逆，且.性质①A可逆，则A的逆矩阵唯一。证设B,C均为14

定义2由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵.n=4二矩阵可逆的判别定义2由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩15

定理

对A作初等行变换相当于用同类型的初等矩阵左乘A;对A作初等列变换相当于用同类型的初等矩阵右乘A。如(1)交换A的i，j行相当于用.如(2)把A的第i行乘以数k相当于用.(3)把A的第j行乘以k后加到第i行相当于用即.定理对A作初等行变换相当于用同类型的初16

定理

初等矩阵可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵.且

引理5.2.1，则.（初等变换不改变可逆性）.

定理5.2.1任一m×n矩阵A总可以通过初等变换化为定理初等矩阵可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵17证由定理4.1.2，A可通过行及列变换化为对（*）作第三种列变换即可化为证由定理4.1.2，A可通过行及列变换化为对（*）作第三种18n阶矩阵A可逆

证明：①A可逆,则可逆，无零行，即.反之，若A→I，由I可逆知A可逆.定理5.2.2--定理5.2.4:n阶矩阵A可逆证明：①A可逆,则可19②A→I，即I→A即存在初等矩阵使③由①A→I，④②A→I，即I→A③由①A→I，④20三逆矩阵的求法①行初等变换法

A可逆，由，即存在初等矩阵，使即例1三逆矩阵的求法①行初等变换法A可逆，由21②公式法设令称则由行列式的依行依列展开公式②公式法设令称则由行列式的依行依列展开公式22，有，有23即若A可逆，则|A|≠0，从而即

即若A可逆，则|A|≠0，从而即24例2：求的逆.故解：例2：求的25例3：求矩阵的逆矩阵.解法一利用公式由并计算每个元素的代数余子式例3：求矩阵26所以所以27解法二行初等变换法.所以解法二行初等变换法.所以28四矩阵乘积的行列式

引理5.2.2：n阶矩阵A总可以通过第三种行和列的初等变换化为对角矩阵证:①若A的第一行、第一列元素不全为零，则总可使A的左上角的元素不为零.则有四矩阵乘积的行列式引理5.2.2：n阶矩阵A29②若A的第一行，第一列元素全为零，则已具有的形式.同理，可以把化为继续作第三种初等变换，则可将A化为对角形矩阵，且②若A的第一行，第一列元素全为零，则已具有30定理5.2.5：设A，B为n阶矩阵，则|AB|=|A||B|证①若A为对角矩阵定理5.2.5：设A，B为n阶矩阵，则证①若A为对角矩阵31②对一般情形，由引理5.2.6，A可通过第三种变换化为对角矩阵，即存在初等矩阵使从而相当于对作第三种行初等变换.故推广

②对一般情形，由引理5.2.6，A可通过第三32

定理5.2.6

A，B为m×n及n×p阶矩阵，则秩(AB)≤秩A，秩(AB)≤秩B.特别当A可逆时，秩(AB）=秩B.推论：

例5

A可逆，则存在n阶可逆矩阵P，Q，使PAQ=I

证：A可逆，则定理5.2.6A，B为m×n及n×p阶矩阵，33一、内容分布

分块矩阵的概念

分块矩阵的运算

特殊的分块矩阵二、教学目的1掌握分块矩阵的概念及分块矩阵的运算2掌握分块准对角,分块三角阵,分块次对角等特殊的分块矩阵及相关公式三、重点、难点

利用矩阵的分块作乘法运算及如何利用分块矩阵解题

5.3分块矩阵一、内容分布5.3分块矩阵34一、分块矩阵的概念定义将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，每一小块称为矩阵的子块(或子阵),以子块为元素形成的矩阵称为分块矩阵。一、分块矩阵的概念定义将矩阵35加法与数乘二.分块矩阵的运算加法与数乘二.分块矩阵的运算36乘法运算符合乘法的要求乘法运算符合乘法的要求37例1设求乘积AB.解:我们对A，B如下地分块这里I是二阶单位矩阵，O是二阶零矩阵.例1设求乘积AB.解:我们对A，B如下地分块这里I38.于是，我们有这里.于是，我们有这里39转置三.特殊的分块阵形如分块矩阵叫做一个对角线分块矩阵.也叫准对角阵.准对角阵.转置三.特殊的分块阵形如分块矩阵叫做一个对角线分块矩阵.40,则设,则设41高等代数课件第五章42

分块三角阵例2设证明：D可逆，并求其逆．其中A,B分别为

k级和

r级可逆矩阵，C为证假设D可逆，设逆阵为于是即分块三角阵例2设证明：D可逆，并求其逆．其中43第五章矩阵5.1矩阵的运算

5.2可逆矩阵矩阵乘积的行列式5.3矩阵的分块

第五章矩阵5.1矩阵的运算5.2可逆矩阵矩阵乘积445.1矩阵的运算一、内容分布5.1.1认识矩阵5.1.2矩阵的运算5.1.3矩阵的运算性质5.1.4方阵的多项式5.1.5矩阵的转置

二、教学目的

1.掌握矩阵的加法、乘法以及数与矩阵的乘法运算法则及其基本性质，并能熟练地对矩阵进行运算。2.掌握转置矩阵及其运算性质3.掌握方阵的幂、方阵的多项式。三、重点、难点

矩阵的乘法运算法则及其基本性质，转置矩阵及其运算性质。

5.1矩阵的运算一、内容分布5.1.1认识矩阵二、教学45一矩阵的定义称为F上

矩阵,简写:

矩阵的产生有丰富的背景:线形方程组的系数矩阵…..,矩阵的应用非常广泛.

设F是数域,用F的元素排成的m行n列的数表

一矩阵的定义称为F上矩阵,简写:矩阵的46

二矩阵的运算及其运算律

定义1(矩阵的数乘)给定数域F中的一个数k与矩阵A的乘积定义为

定义2（矩阵的加法）

给定两个

矩阵

二矩阵的运算及其运算律定义1(矩阵的数乘)47A和B加法定义为:定义3（矩阵的乘法）给定一个

矩阵和一个

矩阵A和B加法定义为:定义3（矩阵的乘法）给定一个矩阵和一48A和B的乘法定义为注意:相加的两个矩阵必须同型,结果也同型;相乘的两个矩阵必须:第一个的列数等于第二个的行数,试问:结果的形状?A和B的乘法定义为注意:相加的两个矩阵必须同型49

矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其中A，B，C均为F上的矩阵，k，l为数域F中的数）(1)加法交换律

(2)加法结合律

(3)零矩阵

(4)负矩阵

(5)数乘结合律

(6)数乘分配律

(7)乘法结合律

(8)乘法分配律

矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其中A，B50注意:矩阵的乘法不满足交换律,

消去律:

也不满足.

满足:

的两个矩阵称为可交换的.注意:矩阵的乘法不满足交换律,消去律:也不满足.满51高等代数课件第五章52三方阵及其多项式

单位矩阵

:主对角线上全是1,其余元素全是0的方阵称为单位矩阵,记为或

单位矩阵也可以记为

.它有如下性质:

方阵A的方幂:

规定:

设多项式

,那么

在多项式的等式中,用A代x可以作出形式相同的矩阵等式.三方阵及其多项式单位矩阵:主对角线上全是53四矩阵的转置

设把矩阵

的行与列互换之后，得到的矩阵称为矩阵

矩阵,

记为

或转置有下面的性质:(9)(10)(11)的转置四矩阵的转置设把矩阵的行与列互换之后，得到的矩阵称为545.2可逆矩阵矩阵的乘积的行列式一、内容分布

可逆矩阵的定义、性质

初等矩阵的定义、性质

矩阵可逆的判别、逆矩阵的求法

矩阵乘积的行列式二、教学目的

1掌握逆矩阵的概念及矩阵可逆的判别2掌握求逆矩阵的方法,尤其是能熟练利用矩阵的行初等变换求逆矩阵。3了解初等矩阵与初等变换的关系三、重点、难点逆矩阵的求法矩阵可逆的判别5.2可逆矩阵矩阵的乘积的行列式一、内容分布55一可逆矩阵的定义及性质

定义1A为F上n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=I称A为可逆矩阵（非奇异矩阵），B称为A的逆矩阵.例A与B互为逆矩阵.一可逆矩阵的定义及性质定义1A为F上n阶方阵56性质①A可逆，则A的逆矩阵唯一。

证设B,C均为A的逆矩阵，则

AB=BA=I,AC=CA=IB=BI=BAC=（BA）C=IC=C

证注意到即得.证注意到即得.④A可逆，则②A可逆，则可逆，且由

有.证③A，B可逆，则AB也可逆，且.性质①A可逆，则A的逆矩阵唯一。证设B,C均为57

定义2由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵.n=4二矩阵可逆的判别定义2由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩58

定理

对A作初等行变换相当于用同类型的初等矩阵左乘A;对A作初等列变换相当于用同类型的初等矩阵右乘A。如(1)交换A的i，j行相当于用.如(2)把A的第i行乘以数k相当于用.(3)把A的第j行乘以k后加到第i行相当于用即.定理对A作初等行变换相当于用同类型的初59

定理

初等矩阵可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵.且

引理5.2.1，则.（初等变换不改变可逆性）.

定理5.2.1任一m×n矩阵A总可以通过初等变换化为定理初等矩阵可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵60证由定理4.1.2，A可通过行及列变换化为对（*）作第三种列变换即可化为证由定理4.1.2，A可通过行及列变换化为对（*）作第三种61n阶矩阵A可逆

证明：①A可逆,则可逆，无零行，即.反之，若A→I，由I可逆知A可逆.定理5.2.2--定理5.2.4:n阶矩阵A可逆证明：①A可逆,则可62②A→I，即I→A即存在初等矩阵使③由①A→I，④②A→I，即I→A③由①A→I，④63三逆矩阵的求法①行初等变换法

A可逆，由，即存在初等矩阵，使即例1三逆矩阵的求法①行初等变换法A可逆，由64②公式法设令称则由行列式的依行依列展开公式②公式法设令称则由行列式的依行依列展开公式65，有，有66即若A可逆，则|A|≠0，从而即

即若A可逆，则|A|≠0，从而即67例2：求的逆.故解：例2：求的68例3：求矩阵的逆矩阵.解法一利用公式由并计算每个元素的代数余子式例3：求矩阵69所以所以70解法二行初等变换法.所以解法二行初等变换法.所以71四矩阵乘积的行列式

引理5.2.2：n阶矩阵A总可以通过第三种行和列的初等变换化为对角矩阵证:①若A的第一行、第一列元素不全为零，则总可使A的左上角的元素不为零.则有四矩阵乘积的行列式引理5.2.2：n阶矩阵A72②若A的第一行，第一列元素全为零，则已具有的形式.同理，可以把化为继续作第三种初等变换，则可将A化为对角形矩阵，且②若A的第一行，第一列元素全为零，则已具有73定理5.2.5：设A，B为n阶矩阵，则|AB|=|A||B|证①若A为对角矩阵定理5.2.5：设A，B为n阶矩阵，则证①若A为对角矩阵74②对一般情形，由引理5.2.6，A可通过第三种变换化为对角矩阵，即存在初等矩阵使从而相当于对作第三种行初等变换.故推广

②对一般情形，由引理5