人教版初中数学图形的相似技巧及练习题附答案

人教版初中数学图形的相似技巧及练习题附答案一.选择题如图，点E为MBC的内心，过点E作交于点M,交AC于点N,若AB=7,AC=5,BC=6，则MN的长为（）【答案】B【解析】【分析】连接EB、EC,如图，利用三角形内心的性质得到Z1=Z2,利用平行线的性质得Z2=Z3,所以Z1=Z3,则BM=ME,同理可得NONE,接着证明厶AMN^AABC,所以MN1-BM75—=—-—,则BM=7--MN①，同理可得CN=5--MN②，把两式相加得到MN的6766方程，然后解方程即可.【详解】连接EB、EC,如图，•・•点E为aABC的内心，AEB平分ZABC,EC平分AEB平分ZABC,EC平分ZACB,AZ1=Z2,VMN/7BC,r.Z2=Z3,AZ1=Z3,ABM=ME,同理可得NC=NE,VMN//BC,AAAMN^AABC,MNAM•__MNAM•__即空=鸣,则bmf?MN①,676同理可得CN=5--MN（2）,6①+②得MN=12-2MN,AMN=4.故选：B.【点睛】此题考查三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.若厶ABCs^DEF,氐ABC与ADEF的相似比为2:3,则S“bc：Sadef为（）A.2：3B.4：9C.72•>/3D.3：2【答案】B【解析】【分析】根据两相似三角形的面枳比等于相似比的平方，所以»DEF'【详解】因为AABC^ADEF,所以ZkABC与ADEF的面枳比等于相似比的平方，4所以S^abc：S^def=（—）2=~9故选B.9【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：两个相似三角形面枳比等于相似比的平方.如图，四边形ABCD内接于0（9,为直径，AD=CD,过点D作DE丄初于点3E，连接4C交DE于点尸•若sniZCAB=-9DF=5,则AB的长为（）A.10B・12C・16D・20【答案】D【解析】【分析】连接3D,如图，先利用圆周角定理证明ZADE=ZDAC得到=FA=5,再根据正弦的定义计算出EF=3,则AE=4,DE=8,接着证明△ADEsqbE,利用相似比得到BE=6所以AB=20・【详解】解：连接BD，如图,\'AB为直径，/.ZADB=ZACB=90°,-AD=CD,:.ZDAC=ZDCA,而ZDCA=ZAED,:.ZDAC=ZABD,•••DE丄AB,:.ZABD+ZBDE=90°t而ZADE+ZBDE=90°,.\ZABD=ZADE,:.ZADE=ZDAC,:.FD=FA=5,EF3在RtAAEF中，vsinZCAB=——=-,AF5.•.EF=3,AE=（5,_3‘=4，DE=5+3=8，•・ZADE=ZDBE，ZAED=ABED,/.SADE^ADBE,:.DE:BE=AE:DE,即8:5E=4:8,BE=16,.\AB=4+16=20.故选：D.【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.也考查了解直角三角形.4.如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为（）

A.6B・8C・10D・12【答案】D【解析】分析：根据正方形的性质可得出AB〃CD,进而可得出△ABF-AGDF,根据相似三角形的性4FAB质可得出K=—=2.结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG〃AB、AB=2CG可得出GFGDCG为ZiEAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解.详解：•・•四边形ABCD为正方形，•'•AB二CD,AB〃CD,AZABF=ZGDF,ZBAF=ZDGF,AAABF<^AGDF,AFAB/•==21GFGDAAF=2GF=4,/•AG=6・•••CG〃AB,AB=2CG,・・.CG为ZkEAB的中位线，AAE=2AG=12.故选D.点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键.5.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,ZA=60°,AC=2,D是AB边上一个动点（不与点A、B重合），E是BC边上一点，且ZCDE=30。.设AD=x,BE=y,则下列图彖中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）【答案】C【解析】【分析】根据题意可得出4B=4,BC=2JJ,BD=4—x,CE=2JJ—y,然后判断aCDE-ACBD,继而利用相似三角形的性质可得出y与x的关系式，结合选项即可得出答案.【详解】解：・・・ZA=60。，AC=2,・•・AB=4,BC=2虫BD=4-x,CE=2y[i-y,在ZkACD中，利用余弦定理可得CD2=AC2+AD2-2AC*ADcosZA=4+x2-2x,故可得CD=j4-2x+〒，又*：ZCDE=ZCBD=30°,ZECD=ZDCB（同一个角），,CECDAACDE^ACBD,即可得——=——，CDCB即当=y]4-2x+x2yj^-2x+x22书故可得：〉，=一迴亍+迴X+班•即呈二次函数关系，且开「1朝下.633故选C.【点睛】考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.6.如图，点E是口ABCD的边ADt一点，DE=2AE,连接BE,交4C边于点F,下列结论中错误的是（）

BC=3AEAC=4AFBF=3EFBC=2DEBC=3AEAC=4AFBF=3EFBC=2DE【答案】D【解析】【分析】由平行四边形的性质和相似三角形的性质分别判断即可.【详解】解：•・•在口4BCD中，AD//BC,AD=BC^•AEAFEFCBCFBFDE=2AE心严=应，选项A正确，选项D错误,CFCB3AE3・•・AC=4AF,・°•选项B正确，,即：BF=3EF,BFCB3AE3・°.选项c正确，故选：D.【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，能熟练利用相似三角形对应边成比例是解题关键.k7.如图，正方形OABC的边长为6,D为AB中点，0B交CD于点Q,0是丫=一上一点，Xk的值是（）【答案】c【解析】【分析】延长根据相似三角形得到bq：oq=i.29再过点0作垂线，利用相似三角形的性质求出QF、OF,进而确定点0的坐标，确定k的值.【详解】解：过点0作0F丄0A,垂足为尸，：.OA=AB=BC=OC=6,ZABC=ZOAB=90°=ZDAE,是AB的中点，BD=-AB,2•:BD//OC,氐OCQs^BDQ,BQ_BD_1"0Q=0C=2f又•••QFHAB,・•.SOFQ^SOAB,.QFOF_OQ_2_2"7^=~dA=~dB=2+l=3'•••A3=6,22QF=6x—=4,OF=6x—=4,匕33「•0(4,4),丁点Q在反比例函数的图彖上，,.k=4x4=16,故选：C.【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求出点Q的坐标是解决问题的关键.k&如图，点A在双曲线(x>0)上，过点A作AB丄x轴，垂足为点B,分别以点0X和点A为圆心，人于丄0A的长为半径作弧，两弧相交于D,E两点，作直线DE交x轴于2点C,交y轴于点F(0,2),连接AC.若AC=1,则k的值为()

A.2B.3225【答案】【解析】分析：如图，设0A交CFAB.0B即可解决问题：A.2B.3225【答案】【解析】分析：如图，设0A交CFAB.0B即可解决问题：fK.利用面积法求出OA的长，再利用相似三角形的性质求出fK.由作图可知，CF垂直平分线段0A,AOC=CA=1,OK=AK,在RtAOFC中，CF二JOF：+OC'厉,aak=ok=由△FOCsAOBA,可得OF_OC_CF2_1_>/5・••乔_而_77?，I-TOC\o"1-5"\h\z84•0B=—9AB=—5584•A(—9—),

3225故选B.点睛：本题考查作图-复杂作图，反比例函数图彖上的点的坐标特征，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.9.如图，4〃为OO的直径，C为OOh一点，弦4D平分ZBAC,交眩BC于点E，CD=4,DE=2,则4E的长为（）B.4C.6D.B.4C.6D.8【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的定义得到ZCAD=ZBAD,ADAC,【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的定义得到ZCAD=ZBAD,ADAC,根据相似三角形的性质求出AD,【详解】解：TAD平分ZBAC,AZCAD=ZBAD,由圆周角定理得，ZDCB=ZBAD,AZCAD=ZDCB,XZD=ZD,AADCE^ADAC,根据圆周角定理得到ZDCB二ZBAD,证明ADCEs结合图形计算，得到答案.DEDCun24:.=t即一=,DCDA4AD解得，AD=8,AAE=AD-DE=8-2=6,故选：C.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、定理是解题的关键.圆周角定理，掌握相似三角形的判定定理和性质10.矩形ABCO如图摆放，点B在y轴上，点C在反比例函数y=-（x>0）±,OA=2,AB=4,则k的值为（）32C.—5【答案】C【解析】32C.—5【答案】C【解析】【分析】根据矩形的性质得到ZA=ZAOC=90%OC=AB,根据勾股定理得到0B二JOA^+AB?=20过C作CD丄x轴于D,根据相似三角形的性质得到cd=^£,od=^5,求得c（辺5,迹）于是得到结论.5555【详解】解：•・•四边形ABCO是矩形，AZA=ZAOC=90\OC=AB,V0A=2,AB=4,・••过C作CD丄x轴于D,•IZCDO=ZA=90\ZCOD+ZCOB=ZCOB+ZAOB=90\AZCOD=ZAOB,AAAOB^ADOC,OBABOA■OCCDODCD~OD・・C（也，婕）555故选：C.本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.11.平面直角坐标系xOy中，点P(a,b)经过某种变换后得到的对应点为P(-o+l,乙)・已知4B,C是不共线的三个点，它们经过这种变换后，得到的对应点分别为2A,Br,C.若LABC的面枳为Si,LA'B'C的面积为S2,则用等式表示Si与S2的关系为()11Si=-S2B.Si=-S2C.Si=2S2D.Si=4S224【答案】D【解析】【分析】先根据点P及其对应点判断出变换的类型，再依据其性质町得答案.【详解】由点P(Q，b)经过变换后得到的对应点为X(丄Q+l,-b-1)知，22此变换是以点(2,-2)为中心、2：1的位似变换，则MBC的面积与LA'B'C的面积比为4：1,•••Si=4S2,故选：D.【点睛】本题主要考查几何变换类型，解题的关键是根据对应点的坐标判断出其几何变换类型・12.如图，己知AABC和都OO是的内接三角形，4C和3D相交于点E,则与△ADE的相似的三角形是()

E/OE/OA.ABCEB.^ABCC.AABDD.MBE【答案】A【解析】【分析】根据同弧和等弧所对的圆周角相等，则弧所对的圆周角Z3CE■二ZBDA,ZCEB和ZDE4是对顶角，所以MDEsABCE.【详解】解：•/ZBCE=ZBDA.Z.CEB=ZDEA.•.AADEsABCE,故选：4.【点睛】考查相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似，关键就是牢记同弧所对的圆周角相等.13.如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE丄AC于点F,则卞列结论中错误的是()1A.AF=-CF1A.AF=-CF2ZDCF=ZDFCC・图中与AAEF相似的三角形共有5个D.tanZCAD=D.tanZCAD=【答案】D【解析】【分析】1AEAF1由AE=-AD=-BC,又AD〃BC,所以詬=-=-，故A正确，不符合题意;2dCrC2过D作DM/7BE交AC于N,得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=-BC,得到2CN=NF,根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；由厶BAE-AADC,得到CD与AD的人小关系，根据正切函数可求tanZCAD的值，故D错误，符合题意.【详解】解：A、VAD/7BC,AAAEF^ACBF,.AE_AF_7c511•••AE=—AD=—BC,22Ari/•—=-,故A正确，不符合题意；FC2B、过D作DM/7BE交AC于N,VDE/7BM,BE/7DM,・•.四边形BMDE是平行四边形，1ABM=DE=-BC,2ABM=CM,ACN=NF,TBE丄AC于点F,DM/7BE,ADN±CF,•••DF=DC,・・・ZDCF=ZDFC,故B正确，不符合题意；C、图中与AAEF相似的三角形有ZkACD,ABAF,ACBF,ACAB,AABE共有5个，故C正确，不符合题意.D、设AD=a,AB=b由/kBAEsAADC,有-=-・a2VtanZCAD=—=-=^1,故D错误，符合题意.ADa2本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键.14.如图，在△ABC中，DE//BC.AF丄BC,ZADE=30。，2DE=BC、BF=3屈则£＞尸的长为()4B.2^33^3D.3【答案】D【解析】【分析】先利用相似三角形的相似比证明点D是AB的中点，再解直角三角形求得AB,最后利用直角三角形斜边中线性质求出DF.【详解】解：•:DE"BC,/•aADE~aABC,•:2DE=BC,・••点D是AB的中点，VAF丄陀ZADE=30。，BF=3羽,AZB=30°,BFcos30°ADF=3,故选:D.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，熟练掌握性质的运用是解题关键.15・如图，NABC中，ZBAC=45。，ZACB=30°9将MBC绕点A顺时针旋转得到^ABiCi,当点Cl、Bl、C三点共线时，旋转角为a,连接881,交AC于点D.下列结论：①"GC为等腰三角形：②△人弘Ds^BCD；③a=75。：④CA=CBi9其中正确的是（）C]B]CA.①③④B.①②④C.②③④D.①②③④【答案】B【解析】【分析】将2XABC绕点A顺时针旋转得到△ABC,得到AABC^AABiCi,根据全等三角形的性质得到ACfAC,于是得到AACiC为等腰三角形；故①正确；根据等腰三角形的性质得到ZCi=ZACCi=30\由三角形的内角和得到ZCiAC=120\得到ZBiAB=120。，根据等腰三角形的性质得到ZAB!B=30°=ZACB,于是得到AABiD^ABCD；故②正确；由旋转角«=120°,故③错误；根据旋转的性质得到ZC1AB1=ZBAC=45%推出ZB】AC=ZABiC,于是得到CA=CB1；故④正确.【详解】解：•・•将MBC绕点A顺时针旋转得到"BiCi,△&BC竺△ABiCi,:.AC1=AC9•••△AGC为等腰三角形：故①正确；:.AC1=AC9AZCi=Z/4CCi=30%AZCd4C=120%AZ120°,\^B1=AB9:.ZABiB=30t>=ZACB.•/ZADBi=ZBDC,:.^ABiD^/\BCD；故②正确；•・•旋转角为a,Aa=120%故③错误;•••ZC*®=ZBAC=45。，:.ZBiAC=75°9:.ZABiC=75q9:.zb1ac=zab1c9•••CA=CBi：故④正确.故选：B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键.

如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N,设ABPg,ADKM,的面积依次为5、S,、S’若,+〈=20,则S,的值为（）TOC\o"1-5"\h\zABDCEFGHA.6B.8C.10D.1【答案】B【解析】【分析】由已知条件可以得到ABPQ^ADKM^ACNH,然后得到2XBPQ与辺炯的相似比为丄,2△BPQ与MNH的相似比为由相似三角形的性质求出S「从而求出S.【详解】解：•・•矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AAB=BD=CD,AE〃BF〃DG〃CH,・••四边形BEFD、四边形DFGC是平行四边形，ZBQP=ZDMK=ZCHN,.•・BE〃DF〃CG,.•.ZBPQ=ZDKM=ZCNH,AAABQ^AADM,△ABQs^ACH,.AB_BQ_IBQ_AB_1…而一而VCH~7c~3'AABPQ^ADKM^ACNH,・・BQBQ_I*MD~2'CHV・乂=丄乂显r4*5s’/.S2=4S],S3=9S],•••S】+S,=20,•••：•••：=4,=8；故选：B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质以及平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确得到S2=4Slt5=9,,从而求出答案.如图，某河的同侧有4，3两个工厂，它们垂直于河边的小路的长度分别为AC=2如?，BD=3km,这两条小路相距5如7.现要在河边建立一个抽水站，把水送到4，B两个工厂去，若使供水管最短，抽水站应建立的位置为（）B.4clDA.距C点1如7处B.距C点2加处C.距C点3km处D.CD的中点处【答案】B【解析】【分析】作出点A关于江边的对称点连接交CD于P,则PA+PB=PE+PB=EB，根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P处时，供水管路最短.再利用三角形相似即可解决问题.【详解】作出点A关于江边的对称点E，连接交CD于P,则PA+PB=PE+FB=EB•根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P处时，供水管路最短.根据山作〜设PC=x,则PD=5—x,根据相似三角形的性质，得PCCEanx2=,即=—,PDBD5-x3解得x=2.故供水站应建在距C点2千米处.故选：B.Bdp"b［点睛］■…E•本题为最短路径问题，作对称找出点p,利用三角形相似是解题关键.如图，已知^ABC,D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，不能确定AADE^AACB的是（）

/1BCA.ZAED=ZBB.ZBDE+ZC=180°C.AD・BC=AC・DED.AD*AB=AE*AC【答案】C【解析】【分析】A、根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；B：根据题意可得到ZADE=ZC,根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；C、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可：D、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可.【详解】解：A、由ZAED=ZB,ZA=ZA,则可判断aADE^AACB；B、由ZBDE+ZC=180°,ZADE+ZBDE=180°,得ZADE=ZC,ZA=ZA,则可判断AADEs^ACB；ADDEC、由AD・BC=AC・DE,得——=—不能判断AADE^AACB,必须两组对应边的比相等且夹角ACBC对应相等的两个三角形相似.40AED、由AD・AB二AE・AC得一=——,ZA=ZA,故能确定△ADEs^ACB,ACAB故选：c.【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似（注意，一定是夹角）；有两组角对应相等的两个三角形相似・添