人教版八年级上册几何压轴题专项训练 含答案

人教版八年级上册几何压轴题专项训练已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD,AD、BE相交于点P,BQ丄AD于Q.求证：BE=AD；求ZBPQ的度数；若PQ=3,PE=1,求AD的长.如图，已知在△ABC中，/BAC为直角，AB=AC,D为AC上一点，CE丄BD于E,交BA的延长线于F.求证：AABD^AACF；若BD平分AABC,求证：CE=^-BD；若D为AC上一动点，ZAED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，直接写出它的度数.如图1AABE是等腰三角形，AB=AE,ZBAE=45°,过点B作BC±AE于点C,在BC上截取CD=CE,连接AD、DE,并延长AD交BE于点P；求证：AD=BE；试说明AD丄BE；如图2,将ACDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由.®1(图号如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，ZABC=ZACB,BC=8厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动，设点P运动的时间为t.用含有t的代数式表示线段PC的长度；若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后ABPD与ACQP是否全等,请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使ABPD与ACOP全等？

以点A为顶点作等腰RtAABC,等腰RtAADE，其中ZBAC=ZDAE=90°，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD、CE.试判断BD、CE的数量关系，并说明理由；延长BD交CE于点F,试求ZBFC的度数；把两个等腰直角三角形按如图2放置，(1)、(2)中的结论是否仍成立？请说明理由.如图1,在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点(不与点B，C重合)，以AD为边在AD的右侧作AADE,使AD=AE，ZDAE=ZBAC，连接CE.设ZBAC=a，ZBCE=P.求证：△CAE^ASAD；探究：当点D在BC边上移动时，a、B之间有怎样的数量关系？请说明理由；(3)如图2，若ZBAC=90°，CE与BA的延长线交于点F.求证：EF=DC.

DC.如图，ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF丄CB,垂足为F.求证：△ABC^^ADE；求ZFAE的度数；如图，在平面直角坐标系中，OA=OB,AC=CD，已知两点A(4,0),C(0,7),点D在第一象限内，ZDCA=90。，点B在线段OC上,AB的延长线与DC的延长线交于点M,AC与BD交于点N.点B的坐标为：;求点D的坐标；求证：CM=CN.D

已知：如图1所示，等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直线MN经过求证：△BAD^^ACE；试判断线段DE,BD，CE之间的数量关系，并说明理由；当直线MN运动到如图2所示位置时，其余条件不变，判断线段DE，BD，CE之间的数量关系.如图，已知△ABC和ACDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE,交CE和AC分别于G、H点，连接GH.请说出AD=BE的理由；试说出△BCH^^ACG的理由；试猜想：ACGH是什么特殊的三角形，并加以说明.(1)如图1,AABC和ADCE都是等边三角形，且B,C,D三点在一条直线上，连接AD,BE相交于点P,求证：BE=AD.(2)如图2,在ABCD中，若ZBCDV120。，分别以BC,CD和BD为边在ABCD外部作等边△ABC,等边ACDE,等边ABDF,连接AD、BE、CF恰交于点P.求证：AD=BE=CF；如图2,在(2)的条件下，试猜想PB,PC,PD与BE存在怎样的数量关系，并说明理由.已知：在等边AABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直线BC上一动点，当点G在CB延长线上时，有结论“在直线EF上存在一点H使得ADGR是等边三角形”成立(如图①)，且当点G与点B、E、C重合时，该结论也一定成立.问题：当点G在直线BC的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图②③④中论出相应图形并证明

②③④中论出相应图形并证明如图，在△ABC中，AB=BC=AC=20cm.动点P,Q分别从A,B两点同时出发，沿三角形的边匀速运动.已知点P,点Q的速度都是2cm/s,当点P第一次到达B点时，P,Q两点同时停止运动.设点P的运动时间为t(s).ZA=度；当OVtVIO，且AAPQ为直角三角形时，求t的值;当△APQ为等边三角形时，直接写出t的值.如图，在三角形ABC中，AB=8,BC=16,AC=12.点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿Af>B—C-A的方向运动，点Q从点B沿B-C-A的方向与点P同时出发；当点P第一次回到A点时，点P,Q同时停止运动；用t(秒)表示运动时间.当t=秒时，P是AB的中点._9一若点Q的运动速度是令个单位长度/秒，是否存在t的值，使得BP=2BQ.若点Q的运动速度是a个单位长度/秒，当点P,Q是AC边上的三等分点时，求a的值.如图，等边△ABC的边长为15cm，现有两点M,N分别从点A,点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动点M、N运动几秒后，M，N两点重合？点M、N运动几秒后，AAMN为等边三角形？当点M，N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN?如存在,请求出此时M，N运动的时间.如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，ABPD与ACQP是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与ACOP全等？若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿AABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在AABC的哪条边上相遇？A参考答案(1)证明：•「△ABC为等边三角形,:.AB=CA,ZBAE=ZC=60°,在AAEB与ACDA中，“ZBAE^ZC，、AE=CD:.△AEB^^CDA(SAS),:・BE=AD；(2)解：由(1)知，△AEB^^CDA，则ZABE=ZCAD,:.ZBAD+ZABD=ZBAD+ZCAD=ZBAC=60°,:.ZBPQ=ZBAD+ZABD=60°；解：如图，由(2)知ZBPQ=60°.•：BQ丄AD,:.ZPBQ=30°，:.pq=2bp=3,2:.BP=6:.BE=BP+PE=7,即AD=7.解：(1)TZBAC是直角，CE丄BD,:.ZBAC=ZCAF=ZBEC=90°,:.ZCDE+ZDCE=90°,ZABD+ZADB=90°,VZADB=ZCDE,:.ZABD=ZACF,VBAD=ZCAF=90在AABD和△ACF中，*AB二直C:ZABD=ZACF:、\ABD9\ACF(ASA)；(2)由(1)知，△ABD^ACF,:.BD=CF,•:BD丄CE,BD平分ZABC,：・BC=BF,:BD丄CE,：・CE=EF,：・CE=1CF==BD；22ZAED不变化理由：如图，过点A作AG丄丄CF于G,作AH丄BD于H,由(1)证得△BAD竺ACAF(ASA),：S^BAD=S△CAF,BD=CF,:.BD・AH=CF・AG，而BD=CF,：・AH=AG,:AH丄EB,AG丄EG,：・EA平分ZBEF,：・ZBEA=2zbeG=45°,2即：ZAED不变化.解：(1)：BC丄AE,ZBAE=45°,:.ZCBA=ZCAB,:.BC=CA,在ABCE和AACD中，rBC=AC“ZBCE=ZACD=9OS,.•.△BCE竺AACD(SAS),:・AD=BE.UBCE今AACD,:.ZEBC=ZDAC,•:/BDP=/ADC,:.ZBPD=ZDCA=90°,.AD丄BE.AD丄BE不发生变化.理由：如图(2),(图2)•.'△BCE竺AACD,:.ZEBC=ZDAC,ZBFP=ZAFC,:.ZBPF=ZACF=90°,.AD丄BE.解：(1)由运动知，BP=3t,BC=8,:.PC=BC-BP=8-3t；(2)全等，理由：当t=1时，BP=3,CP=5,CQ=3,：.BP=CQ,•・•点D是AB的中点，：・BD=2aB=5,2:.CP=BD,rBD=CP在ABPD和ACOP中，ZB=ZC,:BP=CQ.'.△BPD^ACQP(SAS)；VBP=3t,CP=8-3t,设点Q的运动速度为xcm/s,•:CQ=xt,当ABPDOP△CQP时，：・BP=CQ,：.3t=xt,：.x=3(不符合题意)，当ABPDOPACPQ时，：・BP=CP,BD=CQ,：.3t=8-3t,5=xt,_154，x_1R•:点Q的运动速度朋)cm/s时，能够使ABPD与ACQP全等.4解：(1)CE=BD,理由如下：••等腰RtAABC,等腰RtAADE,：・AE=AD,AC=AB,在AEAC与ADAB中,rAE=ADJZEAC=ZDAB=90°,:AC=AB:.AEACOADAB(SAS),：・CE=BD；(2)TAEAC9ADAB,:.ZECA=ZDBA,:./ECA+/CBF=/DBA+/CBF=45°,:.ZECA+ZCBF+ZDCB=45°+45°=90°,:.ZBFC=180°-90°=90°；(3)成立，•・•等腰RtAABC,等腰RtAADE,:.AE=AD,AC=AB,在AEAC与ADAB中，rAB=AD〈ZEAC=ZDAB=90°,iAC=AB:.AEAC^ADAB(SAS),:.CE=BD；•.•△EAC今ADAB,:.ZECA=ZDBA,:.ZECA+ZCBF=ZDBA+ZCBF=45°,:.ZECA+ZCBF+ZDCB=45°+45°=90°,:.ZBFC=180°-90°=90°.(1)证明:TZDAEnZBAC,:./DAE-ZDAC=ZBAC-ADAC,:.ZCAE=ZBAD.•AD=AE,AC=AB,・：ACAE今ABAD(SAS).(2)解：a+B=180°,理由如下：由厶CAE^ABAD,：.ZACE=ZB.•AB=AC,・：/B=/ACB.：ZACE=ZB=ZACB.・•・ZBCE=B=2ZB,在△ABC中，ZBAC=a=180°-2ZB.・.a+B=180°.(3)证明：由(1)知，△CAE竺MAD,：・CE=BD.VZBAC=90°,AB=AC,AZB=ZACB=45°,由(2)得，ZBCF+ZBAC=180°.:.ZBCF=90°.AZF=ZB=45°,・CF=CB.・\CF-CE=CB-BD.；・EF=DC.证明：(1)TZBAD=ZCAE=90°,AZBAC+ZCAD=90°,ZCAD+ZDAE=90°,：.ZBAC=ZDAE,在ABAC和ADAE中，rAB=AD“ZBAC^ZDAE,:AC=AE.•.△BAC^ADAE(SAS)；VZCAE=90°,AC=AE,AZE=45°,由(1)知厶BAC竺ADAE,AZBCA=ZE=45°,VAFXBC,AZCF4=90°,AZCAF=45°,AZF4E=ZF4C+ZCAE=45°+90°=135°；延长BF到G,使得FG=FB,X】X】ococ.0)o..・(e)•(寸.0)“只<>轻"(寸・0)g-:4h§hs..«・(0・寸)K.・(I)囁.・(sw)PQOVmpoov-:苜U2}\]”营7仏£7」・圧PQOV启POOVW•VG07UD7-:VQ0NH工gpN・QPHd・・"QBHgoEQBNHWOIQ亍gp-:MPQVmovw..•6NH工gplo亍gp-:・(sv3o工wmg工w-:鼻dvN苗Jv\l”丄?H严•frOHPV^gHPVw"o6HgHP\HOHP\-:••・OC=7,:.ZDEC=ZAOC=90°,VZDCA=90°,・•・/ECD+/BCA=/ECD+/EDC=90°:./BCA=/EDC,:、△DEg'COA(AAS),DE=OC=7,EC=OA=4,:.OE=OC+EC=11,:D(7,11)；(3)证明：•.•BE=OE-OB=11-4=7.：BE=DE,△DBE是等腰直角三角形，：・ZDBE=45°,'：OA=OB,：.ZOBA=45°,：.ZDBA=90°,：.ZBAN+ZANB=90°,:ZDCA=90°,:.ZCDN+ZDNC=90°,:ZDNC=ZANB,,：ZCDN=ZBAN,VZDCA=90°,:.ZACM=ZDCN=90°,:,△DCN^bACM(ASA),:・CM=CN.(1)证明:...BD丄MN,CEIMN,:.ZBDA=ZAEC=90°,:.ZBAD+ZABD=90°,又VZBAC=90°,:.ZBAD+ZCAE=90°,:.ZABD=ZCAE,rZBDA=ZAEC=90°在ABAD和△ACE中，ZABD=ZCAE:AB=CA:.ABAD^AACE(AAS),解：DE=BD+CE.理由如下：由(1)得：△BAD今AACE,:.BD=AE,AD=CE,又DE=AE+AD,：・DE=BD+CE,DE=CE-BD,同(1)可得：ABAD今AACE,故BD=AE,AD=CE,又DE=AD-AE,：・DE=CE-BD.解：(1)TAABC和ACDE均为等边三角形：.AC=BC,EC=DCZACB=ZECD=60°:.ZACD=ZECB:.AACD竺ABCE：・AD=BE；(2)MACD9ABCE:.ZCBH=ZCAG•.•ZACB=ZECD=60。，点B、C、D在同一条直线上:.ZACB=ZECD=ZACG=60°又•AC=BC:.△ACG^^BCH；(3)\CGH是等边三角形，理由如下：•△ACG^ABCH:.CG=CH(全等三角形的对应边相等)又VZACG=60°:△CGH是等边三角形(有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形);(1)证明：•△ABC和ADCE都是等边三角形，：・BC=AC,CE=CD,ZACB=ZDCE=60°,:.ZABC+ZACE=ZDCE+ZACE,即ZBCE=ZACD,:.ZBCE^^ACD(SAS),：・BE=AD；(2)①证明：•△ABC和ACDE是等边三角形，：・AB=BC,CD=BE,ZACB=ZDCE=60°,:.ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,即ZACD=ZBCE,.△ACD^ASCE(SAS),：・AD=BE,同理：△ABD^^CBF(SAS),：・AD=CF,即AD=BE=CF；②解：结论：PB+PC+PD=BE,理由：如图2,AD与BC的交点记作点Q,则ZAQC=ZBQP,由①知，△ACD^KBCE,：・/CAD=/CBE,在△ACQ中，ZCAD+ZAQC=180°-ZACB=120°,.•・ZCBE+ZBQP=120°,在ABPQ中，ZAPB=180°-(ZCBE+ZBQP)=60°,.•・ZDPE=60°,同理：ZAPC=60°,AZCPD=120°,在PE上取一点M,使PM=PC,:.△CPM是等边三角形，ACP=CM,ZPCM=ZCMP=60°,AZCME=120°=ZCPD,•.•△CDE是等边三角形，ACD=CE,ZDCE=60°=ZPCM,AZPCD=ZMCE,.•.△PCD^AMCE(SAS),.•・PD=ME,・•・BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD.EF圉2证明：连接DE、EF、DF.当点G在线段BE上时，如图①,在EF上截取EH使EH=BG.TD、E、F是等边△ABC三边中点,:.△DEF'bDBE也是等边三角形且DE=*^B=BD.rDB=DE在ADBG和ADEH中，〈上DEG二NDEH二£0°,;BG=EH:.△DBG^^DEH(SAS),：・DG=DH..：/BDG=/EDH.VZBDE=ZGDE+ZBDG=60°,:.ZGDH=ZGDE+ZEDH=60°：・在直线EF上存在点H使得ADGR是等边三角形.当点G在射线EC上时，如图②，在EF上截取EH使EH=BG.由(1)可证△DBG^ADEH.:.DG=DH,ZBDG=ZEDH.VZBDE=ZBDG-ZEDG=60°,:.ZGDH=ZEDH-ZEDG=60°.：・在直线EF上存在点H使得ADGR是等边三角形.(3)当点G在BC延长线上时，如图③，与(2)同理可证，结论成立.综上所述，点G在直线BC上的任意位置时，该结论成立.ABEGC:.△ABC为等边三角形，.°.ZA=60°,故答案为：60.VZA=60°,当ZAPQ=90。时，ZAQP=90°-60°=30°.:.QA=2PA.即20-2t=2tX2.解得t斗.■J1当ZAQP=90。时，ZAPQ=90°-60°=30°.：・PA=2QA.即2(20-2t)=2t.解得.:当0VtV10，且△APQ为直角三角形时，t的值①由题意得：AP=2t，AQ=20-2t，VZA=60°，.:当AQ=AP时，△APQ为等边三角形，：.2t=20-2t,解得t=5，②当P于B重合，Q与C重合，则所用时间为：4三2=20,综上，当△APQ为等边三角形时，t=5或20.44解：(1)TAB=8,点P的运动速度为2个单位长度/秒,・•.当P为AB中点时，即4三2=2(秒)；故答案为：2.由题意可得：当BP=2BQ时，P,Q分别在AB,BC上,•・•点Q的运动速度嶠个单位长度/秒，・••点Q只能在BC上运动，当点P在AB上,2BP=8-2t,BQ=—t,3则8-2t=2xZt,g1?解得t=□当点P在BC上时，2BP=2t-8,BQ=3.2•2t-8=2—t,解得t=12.当点P运动到AC上时，不存在BP=2BQ；1p故t=12或，，使得BP=2BQ.当点P为靠近点A的三等分点时，如图1,ElAB+BC+CP=8+16+8=32,此时t=32三2=16,•BC+CQ=16+4=20,E.•・a=20三16=当点P为靠近点C的三等分点时，如图2,图2AB+BC+CP=8+16+4=28,此时t=28三2=14,VBC+CQ=16+8=24,12.•・a=24三14=综上可得：a的值为弓或¥•47解：（1）设运动t秒，M、N两点重合，根据题意