第三节 二维随机变量条件分布公开课一等奖省优质课大赛获奖课件

3.3.1二维离散型随机变量条件分布律3.3.2二维连续型随机变量条件分布律第三节二维随机变量条件分布

在第一章中，我们介绍了条件概率概念.在事件B发生条件下事件A发生条件概率推广到随机变量设有两个r.vX,Y，在给定Y取某个或一些值条件下，求X概率分布.这个分布就是条件分布.比如，考虑某大学全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以X和Y表示其体重和身高.则X和Y都是随机变量，它们都有一定概率分布.体重X身高Y体重X分布身高Y分布现在若限制1.7<Y<1.8(米),在这个条件下去求X条件分布，这就意味着要从该校学生中把身高在1.7米和1.8米之间那些人都挑出来，然后在挑出学生中求其体重分布.轻易想象，这个分布与不加这个条件时分布会很不一样.比如，在条件分布中体重取大值概率会显著增加.

一、离散型r.v条件分布实际上是第一章讲过条件概率概念在另一个形式下重复.定义1设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定j，若P(Y=yj)>0，则称为在Y=yj条件下X条件概率函数.P(X=xi|Y=yj)=，i=1,2,…类似定义在X=xi条件下Y条件概率函数.作为条件那个r.v,认为取值是给定，在此条件下求另一r.v概率分布.条件分布是一个概率分布，它含有概率分布一切性质.正如条件概率是一个概率，含有概率一切性质.比如：i=1,2,…

例1一射手进行射击，击中目标概率为

p，(0<p<1)，射击进行到击中目标两次为止.以X表示首次击中目标所进行射击次数，以Y表示总共进行射击次数.试求X和Y联合分布及条件分布.解：依题意，{Y=n}表示在第n次射击时击中目标,且在前n-1次射击中有一次击中目标.{X=m}表示首次击中目标时射击了m次n次射击击中2n1……………….m击中n-1

n=2,3,…;m=1,2,…,n-1由此得X和Y联合概率函数为不论m(m<n)是多少，P(X=m,Y=n)都应等于n次射击击中2n1……………….m击中每次击中目标概率为pP(X=m,Y=n)=？n-1为求条件分布，先求边缘分布.X边缘概率函数是：m=1,2,…Y边缘概率函数是：n=2,3,…于是可求得：当n=2,3,…时，m=1,2,…,n-1联合分布边缘分布n=m+1,m+2,…当m=1,2,…时，二、连续型r.v条件分布设(X,Y)是二维连续型r.v，因为对任意x,y,P(X=x)=0,P(Y=y)=0，所以不能直接用条件概率公式得到条件分布，下面我们直接给出条件概率密度定义.定义2设X和Y联合概率密度为f(x,y),边缘概率密度为，则对一切使

x,定义已知

X=x下，Y条件密度函数为一样，对一切使y,定义为已知

Y=y下，X条件密度函数.利用条件概率密度，我们能够在已知某一随机变量值条件下，定义与另一随机变量相关事件条件概率.定义在已知

Y=y下，X条件分布函数为尤其，取即:若(X,Y)是连续型r.v,则对任一集合A，求P(X>1|Y=y)例2设(X,Y)概率密度是解:P(X>1|Y=y)为此,需求出因为于是对y>0,

故对y>0,

P(X>1|Y=y)例3设(X,Y)服从单位圆上均匀分布，概率密度为求解：X边缘密度为当|x|<1时,有即当|x|<1时,有X作为已知变量这里是y取值范围X已知下Y条件密度前面，我们已经知道，二维正态分布两个边缘密度仍是正态分布.能够证实，对二维正态分布，已知

X=x下，