18版第2章10节变化率与导数

[考意义.3.能根据导数的定义求函y＝x的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数函数的导数．1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0

处的导数：①定义：称函数y＝f(x)在x＝x0

处的瞬时变化率Δx→00＝x

x00作

f′(x

)或

y′|

即

f′(x

)＝limΔx→0ΔyΔx＝.fx0＋Δx－fx0lim

Δylim

Δx

＝

Δx→0Δx

为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记Δx→0fx0＋Δx－fx0limΔx②几何意义：函数f(x)在点x0

处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))

处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．的导函数：称函数f′(x)＝(2)函数f(x)数．lim→

Δx

0

为f(x)的导函fx＋Δx－fxΔx2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝

n·xn－1f(x)＝sin

xf′(x)＝

cos_x

f(x)＝cos

xf′(x)＝

－sin

x

f(x)＝axf′(x)＝

axln

a

(a＞0)f(x)＝exf′(x)＝

exf(x)＝logax

1

f′(x)＝

xln

a

f(x)＝ln

x1f′(x)＝

x

(3)

fx

gx′＝

(g(x)≠0)．3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝

f′(x)±g′(x)

；(2)[f(x)·g(x)]′＝

f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)

；f′xgx－fxg′x[gx]21．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(

)(2)求

f′(x0)时，可先求

f(x0)再求

f′(x0)．(

)(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．((4)若

f(a)＝a3＋2ax－x2，则

f′(a)＝3a2＋2x.(

)[答案]

(1)×

(2)×

(3)√

(4)√)2．(

改编)有一机器人的运动方程为

s(t)＝t2

3

t

是时间，s

是位移)，则＋

(t)

【导学号：31222075】机器人在时刻t＝2

时的瞬时速度为(A.194B.174C.15D.134

4D

[由题意知，机器人的速度方程为v(t)＝s′(t)＝2t3－t2，故当t＝2

时，机器人的瞬时速度为v(2)＝2×2—

3

1322＝

4

.]3．(2016·的值为

．3

[因为f(x)＝(2x＋1)ex，所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，所以f′(0)＝3e0＝3.]4．(2016·豫

．x5x＋y＋2＝0 [∵y′＝－5e

，∴所求曲线的切线斜率k＝y′＝x

00＝－5e

＝－5，∴切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.]4．(2015·过点(2,7)，则

a＝

.1

[∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.]导数的计算求下列函数的导数：(1)y＝exln

x；21(2)y＝x

x

＋

＋1

x

x3；(3)y＝x－sin2cos2x

x；(4)y＝cosxex

.x

x

xx

1x

1[解]

(1)y′＝(e

)′ln

x＋e

(ln

x)′＝e

ln

x＋e

·x＝e

ln

x＋x.(2)∵y＝x3＋1＋

1

，∴y′＝3x2－

2

.x2

x321

1(3)∵y＝x－

sinx，∴y′＝1－2cosx.

cos

x(4)y′＝

ex

′＝cos

x′ex－cos

xex′ex2＝－sin

x＋cos

xex

.[

规律方法]

1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．2．如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．[变式训练1](1)f(x)＝x(2

017＋ln

x)，若

f′(x0)＝2

018，则

x0

等于(

)B．1D．eA．e2C．ln

2(2)(2015·为

f(x)的导函数．若

f′(1)＝3，则

a

的值为

．10(1)B

(2)3

[(1)f′(x)＝2

017＋ln

x＋x×x＝2

018＋ln

x，故由f′(x

)＝2018，得2018＋ln

x0＝2018，则ln

x0＝0，解得x0＝1.

1(2)f′(x)＝aln

x＋x·x＝a(1＋ln

x)．由于f′(1)＝a(1＋ln

1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.]导数的几何意义☞角度1求切线方程31

4已知曲线y＝3x

＋3.求曲线在点P(2,4)处的切线方程；求曲线过点P(2,4)的切线方程．[思路点拨]

(1)点

P(2,4)是切点，先利用导数求切线斜率，再利用点斜式写出切线方程；(2)点P(2,4)不一定是切点，先设切点坐标为0130x

，

x

＋43

3，由此求出切线方程，再把点P(2,4)代入切线方程求x0.[解]

(1)根据已知得点

P(2,4)是切点且

y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′x

2＝

＝4，3

分∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.5分31

43

3(2)设曲线y＝

x

＋与过点P(2,4)的切线相切于点A0130x

，

x

＋43

3，则切线的斜率为y′＝20

0x

x

＝x

，1

43

33

2∴切线方程为

y－

x0＋

＝x0(x－x0)，0302

43

3即y＝x2·x－x

＋.7

分∵点P(2,4)在切线上，0302

43

3∴4＝2x2－

x

＋，即x3－3x2＋4＝0，9

分0

0∴x3＋x2－4x2＋4＝0，0

0

0∴x2(x

＋1)－4(x

＋1)(x

－1)＝0，0

0

0

0∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1

或x0＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.12分☞角度2求切点坐标若曲线y＝xln

x

上点P

处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是

．【导学号：31222076】1(e，e)

[由题意得

y′＝ln

x＋x·x＝1＋ln

x，直线

2x－y＋1＝0

的斜率为

2.设P(m，n)，则1＋ln

m＝2，解得m＝e，所以n＝eln

e＝e，即点P

的坐标为(ee)．]☞角度3求参数的值1

1(1)已知直线y＝2x＋b与曲线y＝－2x＋ln

x相切，则b

的值为(

)A．2B．－1C．－12D．1(2)(2017·西宁复习检测(一))已知曲线y＝x＋1x－1在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则

a＝(

)A．－2B．2C．－12D.121y′＝－2＋x＝x

x01

10则

y′|

＝－＋ ，由－2

x

211

1

11，－2在直线y＝2x＋b

上，故－2＝2＋b，得(2)由y′＝－2x－121得曲线在点(3,2)处的切线斜率为－2，又切＋1＝0垂直，则a＝－2，故选A.][规的斜率，切点既在曲．2．曲线在点P处的切线是以点P为切点，曲线过点P切点，此时应先设出切点坐标．易错警示：点处的导数不存在，切线