苏科版八年级数学上册第3章《勾股定理》专题培优训练【含答案】

苏科版八年级数学上册第3章《勾股定理》专题培优训练一、选择题（每小题3分，共30分）1．直角三角形两锐角的平分线所成钝角的度数是()A．115° B．125° C．135° D．无法确定2．有四个三角形，分别满足下列条件：①一个内角等于另外两个内角之和；②三个内角之比为3：4：5；③三边之比为5：12：13；④三边长分别为7，24，25．其中直角三角形有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13：5，则这个三角形三边长分别为()A．5，4，3 B．13，12，5 C．10，8，6 D．26，24，104．一等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为()A．12cm B．cm C．cm D．cm5．如图，在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为()A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm6．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为()A．42 B．32 C．37或33 D．42或327．如图，一架长2.5m的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子顶端离地面2.4m，为了安装壁灯．梯子顶端离地面降至2m，请你计算一下，此时梯子底端应再向远离墙的方向移动()A．0.4m B．0.8m C．1.2m D．不能确定8．如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为()A．7m B．8m C．9m D．10m9．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为()A．600m B．500m C．400m D．300m10．在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高，但不能爬上旗杆也不能把绳子解下来，可是他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1m，当他拿着绳子的下端沿水平方向走5m后，发现绳子下端刚好接触地面，则旗杆的高为()A．13m B．12m C．4m D．10m二、填空题（每小题3分，共24分）11．在△ABC中，若AC2＋BC2＝AB2，则∠C＝_______；若∠A＝90°，则AC2＋_______＝_______．12．直角三角形两条直角边的长分别为6，8，则斜边上的高长为_______．13．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，则AB＝_______cm．14．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AD＝3cm，AB＝4cm，BC＝12cm，CD＝13cm，则∠DBC＝_______．15．如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1＋2S2＋2S3＋S4＝_______．16．如图，在长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的外部，一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B，那么它所爬行的最短路线的长是_______．17．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分外角∠ACD，且EF∥BC交AC于点M，若CM＝5，则CE2＋CF2＝_______．18．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，D是BC的中点，且它关于AC的对称点是D'，则（BD'）2＝_______．三、解答题（共46分）19．（6分）假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走了3km，再折向北走到6km处往东一拐，仅走了1km就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？20．（8分）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？21．（8分）在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F，若AE＝4．FC＝3，求EF的长．22．（8分）周老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：(1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n(n>1)的代数式表示：a＝_______；b＝_______；c＝_______；(2)猜想：以a，b，c为边长的三角形是否是直角三角形？证明你的猜想．23．（8分）实践与探究 问题情境：勾股定理是一条古老的数学定理，它有多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行了证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．问题1请你根据图①中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；探究2以图①中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a＋b为高的直角梯形（如图②），请你利用图②，尝试验证证明勾股定理；拓展3利用图②中的直角梯形，我们可以证明<，其证明步骤如下：∵BC＝a＋b，AD＝_______，又在直角梯形ABCD中，BC_______AD（填“>”“<”或“＝”），即_______．∴<．24．（8分）我们给出如下新定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．(1)如图①，请你在图中画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB：(2)如图②，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC．若∠DCB＝30°，则四边形ABCD是勾股四边形，为什么？24．(本题8分)如图，∠AOB=90°，OA=9cm，OB=3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少?25．(本题6分)如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，折叠△ABC的一角，使点B与点A重合，展开得折痕DE，求BD的长．26．(本题8分)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AB=21，AD=9，求AC的长．27．(本题10分)如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；(2)若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．28．(本题10分)在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长的边．当a2＋b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．(1)当△ABC的三边长分别为6，8，9时，△ABC为三角形；当△ABC的三边长分别为6，8，11时，△ABC为三角形．(2)猜想：当a2＋b2c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2c2时，△ABC为钝角三角形．(3)当a=2，b=4时，判断△ABC的形状，并求出对应的c2的取值范围．

答案1.C2.C2.C3.D4.C5.C6.D7.B8.A9.B10.B11．90°AB2BC212．13．14．90°15．3.6516．1017．10018．519．AB＝10km．20．3600(元)．21．5．22．(1)a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1．(2)是直角三角形23．(1)直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，用式子表示为在△ABC中，如果∠C＝90°，那么a2＋b2＝c2．(2)c<a＋b<c24．(1)如图①，勾股四边形OAMB(或OAM'B)．(2)是勾股四边形．24．∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，∴BC=CA．设AC为x，则OC=9－x，由勾股定理得OB2＋OC2=BC2．又∵OA=9，OB=3，∴32＋(9－x)2=x2，解得x=5，∴机器人行走的路程BC是5cm25．由题意知AD=BD，设BD=x，则AD=x，CD=8－x，在Rt△ACD中，由AC2＋CD2－AD2，得62＋(8－x)2=x2，解得x=．即BD的长为26．在AB上截取AE=AD，连接EC．∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC，∴△ADC≌△AEC，∴AE=AD=9，CE=CD=10=BC．作CF⊥AB，垂足为点F，∴EF=FB=BE=(AB－AE)=6．在Rt△BFC(或Rt△EFC)中，由勾股定理得CF=8，在Rt△AFC中，由勾股定理得AC=17，∴AC的长为1727．(1)猜想：AP=CQ．证明：∵∠ABP＋∠PBC=60°，∠QBC＋∠PBC=60°，∴∠ABP=∠QBC．又∵AB=BC，BP=BQ，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ(2)由PA：PB：PC=3：4：5，可设PA=3a，PB=4a，PC=5a．连接PQ，在△PBQ中，PB=BQ=4a，且/r