高一数学人教A版必修2课件：231直线与平面垂直的判定 教学课件

数学必修②

·人教A版数学必修②·人教A版第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案自主预习学案一个人走在灯火通明的大街上，会在地面上形成影子，随着人不停走动，这个影子忽前忽后、忽左忽右，但无论怎样，人始终与影子相交于一点，并始终保持垂直．你承认这个事实吗？为什么？一个人走在灯火通明的大街上，会在地面上形成影子，随着人不停走1．直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的____________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的_______，平面α叫做直线l的_______．它们唯一的公共点P叫做_________．任意一条垂线垂面垂足1．直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的________高一数学人教A版必修2课件：231直线与平面垂直的判定教学课件[归纳总结]

(1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式．(3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．高一数学人教A版必修2课件：231直线与平面垂直的判定教学课件2．判定定理相交a∩b＝P2．判定定理相交a∩b＝P[归纳总结]直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直．通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”．因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决．也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可．高一数学人教A版必修2课件：231直线与平面垂直的判定教学课件3．直线和平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面______，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的______叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过_______和______的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的______，叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于______；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于______.因此，直线与平面所成的角的范围是____________．垂直交点垂足斜足锐角90°0°[0°，90°]3．直线和平面所成的角垂直交点垂足斜足锐角90°[解析]

∵直线l⊥平面α，∴l与α相交，又∵m⊂α，∴l与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．A

[解析]∵直线l⊥平面α，∴l与α相交，又∵m⊂α，∴l与D

DD

D互动探究学案互动探究学案命题方向1

⇨线面垂直的判定命题方向1⇨线面垂直的判定[思路分析]

本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关系，看是否可利用．如看到PA⊥平面ABC，可想到PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC，这些垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是PA⊥BC，联系已知，问题得证．[解析]

(1)∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.(2)∵BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE.∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC.(3)∵AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，∴AE⊥PC.∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF.[思路分析]本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂『规律方法』

线面垂直的判定方法：(1)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．『规律方法』线面垂直的判定方法：(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论．(3)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理的逆定理等都是找线线垂直的方法．(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：高一数学人教A版必修2课件：231直线与平面垂直的判定教学课件命题方向2

⇨直线与平面所成的角命题方向2⇨直线与平面所成的角[思路分析]

(1)求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线．(2)中过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求．[思路分析](1)求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，高一数学人教A版必修2课件：231直线与平面垂直的判定教学课件『规律方法』

求线面角的方法：(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．『规律方法』求线面角的方法：高一数学人教A版必修2课件：231直线与平面垂直的判定教学课件[解析]

(1)取BC的中点E，连接A1E、DE、AE，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE，因为AB＝AC，所以AE⊥BC，故AE⊥平面A1BC，由D、E分别是B1C1、BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，所以DE∥A1A，所以四边形A1AED是平行四边形，故A1D∥AE，又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.高一数学人教A版必修2课件：231直线与平面垂直的判定教学课件高一数学人教A版必修2课件：231直线与平面垂直的判定教学课件逻辑推理不严密致误逻辑推理不严密致误[错因分析]

错解中AA1和BB1是平面ABB1A1内的两条平行直线，不是相交直线，故不满足直线与平面垂直的判定定理的条件．[正解]

∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴CD⊥AA1.又AC＝BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB.∵AB⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，AB∩AA1＝A，∴CD⊥平面ABB1A1.[警示]

用判定定理证明线面垂直时，必须要找全条件，这些条件必须是已知的、或明显成立的、或已经证明的.

[错因分析]错解中AA1和BB1是平面ABB1A1内的两条高一数学人教A版必修2课件：231直线与平面垂直的判定教学课件[辨析]

前半部分，虽然由罗列条件能够推证出AD⊥A1C1，但推理过程不严密；后半部分AD⊥平面BCC1B1纯属臆想，无任何推理依据．[分析]

先推证C1A1⊥平面ABB1A1得出AD⊥C1A1；再在矩形ABB1A1中，通过计算证明AD⊥A1D.[证明]

∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，∴AA1⊥平面A1B1C1.∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°，∴A1C1⊥A1B1.[辨析]前半部分，虽然由罗列条件能够推证出AD⊥A1C1，高一数学人教A版必修2课件：231直线与平面垂直的判定教学课件1．线线垂直和线面垂直的相互转化1．线线垂直和线面垂直的相互转化高一数学人教A版必修2课件：231直线与平面垂直的判定教学课件[解析]

(1)证明：直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.又BC∩BB1＝B，∴AD⊥平面BCC1B1.高一数学人教A版必修2课件：231直线与平面垂直的判定教学课件高一数学人教A版必修2课件：231直线与平面垂直的判定教学课件高一数学人教A版必修2课件：231直线与平面垂直的判定教学课件[思路分析]

关键是将PQ⊥QD转化为DQ⊥AQ，再使DQ⊥AP即可，但AD＝BC＝a是变化的，故需对a进行讨论．[思路分析]关键是将PQ⊥QD转化为DQ⊥AQ，再使DQ⊥[解析]

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD.若边BC上存在一点Q，使得QD⊥AQ，则有QD⊥平面PAQ，从而QD⊥PQ.在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使AQ⊥DQ.∴当a≥2时，才存在点Q，使得PQ⊥QD.[点评]

本题运用平面几何知识，借助以AD为直径的圆与BC交点的个数推断点Q是否存在．[解析]∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD.[解析]

三角形的两边，圆的两条直径一定是相交直线，而梯形的两边，正六边形的两条边不一定相交，所以保证直线与平面垂直的是①③.A

[解析]三角形的两边，圆的两条直径一定是相交直线，而梯形的D

D4

4高一数学人教A版必修2课件：231直线与平面垂直的判定教学课件高一数学人教A版必修2课件：231直线与平面垂直的判定教学课件高一数学人教A版必修2课件：231直线与平面垂直的判定教学课件课时作业学案课时作业学案高一数学人教A版必修2课件：231直线与平面垂直的判定教学课件数学必修②

·人教A版数学必修②·人教A版第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案自主预习学案一个人走在灯火通明的大街上，会在地面上形成影子，随着人不停走动，这个影子忽前忽后、忽左忽右，但无论怎样，人始终与影子相交于一点，并始终保持垂直．你承认这个事实吗？为什么？一个人走在灯火通明的大街上，会在地面上形成影子，随着人不停走1．直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的____________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的_______，平面α叫做直线l的_______．它们唯一的公共点P叫做_________．任意一条垂线垂面垂足1．直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的________高一数学人教A版必修2课件：231直线与平面垂直的判定教学课件[归纳总结]

(1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式．(3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．高一数学人教A版必修2课件：231直线与平面垂直的判定教学课件2．判定定理相交a∩b＝P2．判定定理相交a∩b＝P[归纳总结]直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直．通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”．因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决．也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可．高一数学人教A版必修2课件：231直线与平面垂直的判定教学课件3．直线和平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面______，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的______叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过_______和______的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的______，叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于______；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于______.因此，直线与平面所成的角的范围是____________．垂直交点垂足斜足锐角90°0°[0°，90°]3．直线和平面所成的角垂直交点垂足斜足锐角90°[解析]

∵直线l⊥平面α，∴l与α相交，又∵m⊂α，∴l与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．A

[解析]∵直线l⊥平面α，∴l与α相交，又∵m⊂α，∴l与D

DD

D互动探究学案互动探究学案命题方向1

⇨线面垂直的判定命题方向1⇨线面垂直的判定[思路分析]

本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关系，看是否可利用．如看到PA⊥平面ABC，可想到PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC，这些垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是PA⊥BC，联系已知，问题得证．[解析]

(1)∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.(2)∵BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE.∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC.(3)∵AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，∴AE⊥PC.∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF.[思路分析]本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂『规律方法』

线面垂直的判定方法：(1)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．『规律方法』线面垂直的判定方法：(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论．(3)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理的逆定理等都是找线线垂直的方法．(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：高一数学人教A版必修2课件：231直线与平面垂直的判定教学课件命题方向2

⇨直线与平面所成的角命题方向2⇨直线与平面所成的角[思路分析]

(1)求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线．(2)中过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求．[思路分析](1)求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，高一数学人教A版必修2课件：231直线与平面垂直的判定教学课件『规律方法』

求线面角的方法：(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．『规律方法』求线面角的方法：高一数学人教A版必修2课件：231直线与平面垂直的判定教学课件[解析]

(1)取BC的中点E，连接A1E、DE、AE，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE，因为AB＝AC，所以AE⊥BC，故AE⊥平面A1BC，由D、E分别是B1C1、BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，所以DE∥A1A，所以四边形A1AED是平行四边形，故A1D∥AE，又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.高一数学人教A版必修2课件：231直线与平面垂直的判定教学课件高一数学人教A版必修2课件：231直线与平面垂直的判定教学课件逻辑推理不严密致误逻辑推理不严密致误[错因分析]

错解中AA1和BB1是平面ABB1A1内的两条平行直线，不是相交直线，故不满足直线与平面垂直的判定定理的条件．[正解]

∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴CD⊥AA1.又AC＝BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB.∵AB⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，AB∩AA1＝A，∴CD⊥平面ABB1A1.[警示]

用判定定理证明线面垂直时，必须要找全条件，这些条件必须是已知的、或明显成立的、或已经证明的.

[错因分析]错解中AA1和BB1是平面ABB1A1内的两条高一数学人教A版必修2课件：231直线与平面垂直的判定教学课件[辨析]

前半部分，虽然由罗列条件能够推证出AD⊥A1C1，但推理过程不严密；后半部分AD⊥平面BCC1B1纯属臆想，无任何推理依据．[分析]

先推证C1A1⊥平面ABB1A1得出AD⊥C1A1；再在矩形ABB1A1中，通过计算证明AD⊥A1D.[证明]

∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，∴AA1⊥平面A1B1C1.∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°，∴A1C1⊥A1B1.[辨析]前半部分，虽然由罗列条件能够推证出AD⊥A1C1，高一数