中考数学《几何探究问题》课件

专题五

几何探究问题专题五几何探究问题几何探究问题主要涉及利用三角形的性质进行相关的探索与证明、三角形和四边形的综合探索与证明以及几何动态问题等.这是中考对几何推理与证明能力考查的必然体现,重在提高学生对图形及性质的认识,训练学生的推理能力,解题时应注意演绎推理与合情推理的结合.全国各地的中考数学试题都把几何探究问题作为中考的压轴题之一,安徽省中考也是如此,如2016年的第23题、2015年的第23题、第2014年的第23题、2013年的第23题等.预计2017年安徽中考中,这类问题仍是考查的重点之一,需重点复习.几何探究问题主要涉及利用三角形的性质进行相关的探索与证明、三几何探究问题是中考必考题型,考查知识全面,综合性强,它把几何知识与代数知识有机结合起来,渗透数形结合思想,重在考查分析问题的能力、逻辑思维推理能力.如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情境型等,背景鲜活,具有实用性和创造性,在考查考生计算能力的同时,考查考生的阅读理解能力、动手操作能力、抽象思维能力、建模能力,力求引导考生将数学知识运用到实际生活中去.需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等来确定所需求的结论、条件或方法,因而解题的策略是将其转化为封闭性问题.常用的解题策略:1.找特征或模型:如中点、特殊角、折叠、相似结构、三线合一、三角形面积等;2.找思路:借助问与问之间的联系,寻找条件和思路;3.照搬:照搬前一问的方法和思路解决问题,如照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、照搬相似等;4.找结构:寻找不变的结构,利用不变结构的特征解决问题.常见的不变结构及方法:有直角,作垂线,找全等或相似;有中点,作倍长,通过全等转移边和角;有平行,找相似,转比例.几何探究问题是中考必考题型,考查知识全面,综合性强,它把几何题型2题型1题型3题型1

与全等三角形有关的探究典例1

(2016·山东泰安)(1)已知:△ABC是等腰三角形,其底边是BC,点D在线段AB上,E是直线BC上一点,且∠DEC=∠DCE,若∠A=60°(如图①),求证:EB=AD;(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其他条件不变(如图②),(1)的结论是否成立,并说明理由;(3)若将(1)中的“若∠A=60°”改为“若∠A=90°”,其他条件不变,则

的值是多少?(直接写出结论,不要求写解答过程)题型2题型1题型3题型1与全等三角形有关的探究题型2题型1题型3【解析】(1)作DF∥BC交AC于F,由已知得△ABC和△ADF均为等边三角形,则AD=DF,利用AAS证明△DBE≌△CFD,得EB=DF,从而EB=AD;(2)作DF∥BC交AC的延长线于点F,同(1)证出△DBE≌△CFD,得出EB=DF,即可得出结论;(3)作DF∥BC交AC于点F,同(1)得:△DBE≌△CFD,得出EB=DF,证出△ADF是等腰直角三角形,得出DF=AD,即可得出结果.题型2题型1题型3【解析】(1)作DF∥BC交AC于F,由已题型2题型1题型3【答案】(1)作DF∥BC交AC于点F,如图1所示.∴∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE,∵△ABC是等腰三角形,∠A=60°,∴△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∴∠DBE=120°,∠ADF=∠AFD=60°=∠A,∴△ADF是等边三角形,∠DFC=120°,∴AD=DF,∵∠DEC=∠DCE,∴∠FDC=∠DEC,ED=CD,∴△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF,∴EB=AD.题型2题型1题型3【答案】(1)作DF∥BC交AC于点F,题型2题型1题型3(2)EB=AD成立.理由如下:作DF∥BC交AC的延长线于点F,如图2所示.由(1)得AD=DF,∠FDC=∠ECD,∠FDC=∠DEC,ED=CD,又∵∠DBE=∠DFC=60°,∴△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF,∴EB=AD.题型2题型1题型3(2)EB=AD成立.题型2题型1题型3理由如下:作DF∥BC交AC于点F,如图3所示:同(1)得:△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF,∵△ABC是等腰直角三角形,DF∥BC,∴△ADF是等腰直角三角形,题型2题型1题型3理由如下:题型2题型1题型3题型2

与相似三角形有关的探究典例2

(2016·内蒙古包头)如图,已知一个直角三角形纸片ACB,其中∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E,F分别是AC,AB边上的点,连接EF.(1)如图1,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,且使S四边形ECBF=3S△EDF,求AE的长.(2)如图2,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在BC边上的点M处,且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状,并证明你的结论;②求EF的长.题型2题型1题型3题型2与相似三角形有关的探究题型2题型1题型3题型2题型1题型3题型2题型1题型3题型2题型1题型3题型2题型1题型3【答案】(1)如图1,∵△ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,∴EF⊥AB,△AEF≌△DEF,∴S△AEF≌S△DEF,∵S四边形ECBF=3S△EDF,∴S△ABC=4S△AEF,在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,题型2题型1题型3【答案】(1)如图1,∵△ACB的一角沿题型2题型1题型3(2)①四边形AEMF为菱形.理由如下:如图2,∵△ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点M处,∴AE=EM,AF=MF,∠AFE=∠MFE,∵MF∥AC,∴∠AEF=∠MFE,∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF,∴AE=EM=MF=AF,∴四边形AEMF为菱形.②连接AM交EF于点O,如图2,设AE=x,则EM=x,CE=4-x,∵四边形AEMF为菱形,∴EM∥AB,∴△CME∽△CBA,题型2题型1题型3(2)①四边形AEMF为菱形.理由如下:题型2题型1题型3(3)如图3,作FH⊥BC于点H,∵EC∥FH,∴△NCE∽△NHF,设FH=4x,NH=7x,则CH=7x-1,BH=3-(7x-1)=4-7x,∵FH∥AC,∴△BFH∽△BAC,题型2题型1题型3(3)如图3,作FH⊥BC于点H,题型2题型1题型3题型2题型1题型3题型2题型1题型3题型3

与全等和相似三角形有关的探究典例3

(2016·湖北黄石)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=2α.(1)如图1,若点D关于直线AE的对称点为F,求证:△ADF∽△ABC.(2)如图2,在(1)的条件下,若α=45°,求证:DE2=BD2+CE2.(3)如图3,若α=45°,点E在BC的延长线上,则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗?请说明理由.

题型2题型1题型3题型3与全等和相似三角形有关的探究题型2题型1题型3【解析】本题考查轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质及勾股定理.(1)根据轴对称的性质可得∠DAE=∠FAE,AD=AF,再得出∠BAC=∠DAF,然后根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似得以证明;(2)根据轴对称的性质可得EF=DE,AD=AF,再求出∠BAD=∠CAF,然后利用边角边证明△ABD和△ACF全等,根据全等三角形性质可得CF=BD,∠ACF=∠ABD,然后求出∠ECF=90°,最后利用勾股定理证明即可;(3)作点D关于AE的对称点F,连接AF,EF,CF,根据轴对称的性质可得EF=DE,AF=AD,再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF,再结合(2)即可.

题型2题型1题型3【解析】本题考查轴对称的性质、相似三角形的题型2题型1题型3【答案】(1)∵D,F关于直线AE对称,∴DE=EF,①∠DAE=∠FAE=α,∴∠DAF=2α=∠BAC,又∵AB=AC,AD=AF,∴△ADF∽△ABC.(2)∵∠DAF=2α=∠BAC,∴∠DAF-∠DAC=∠BAC-∠DAC,即∠BAD=∠CAF,又AB=AC,AD=AF,∴△BAD≌△CAF,∴BD=CF,②且∠ACF=∠ABD=45°,即∠ECF=90°,在△ECF中,结合已证明的①②得DE2=BD2+CE2.

题型2题型1题型3【答案】(1)∵D,F关于直线AE对称,题型2题型1题型3(3)解法1:将△CAE顺时针旋转90°得△BAF,连接DF,如图2所示.∴BF=CE,③AF=AE,∵∠ACE=135°=∠ABF,∠ABC=45°,∴∠FBD=90°,即DF2=BF2+BD2,④由旋转的性质,∠BAF=∠CAE,∴∠BAF+∠FAC=∠CAE+∠FAC=2α,∴∠DAF=∠FAE-∠DAE=2α-α=α,AF=AE,又∵AD为公共边,∴△DAF≌△DAE,即DF=DE.⑤将③⑤代入④式,得DE2=BD2+CE2.

题型2题型1题型3(3)解法1:将△CAE顺时针旋转90°得题型2题型1题型3解法2:作点D关于直线AE的对称点F,连接AF,EF,CF,如图3所示.∴AD=AF,DE=EF,⑥∠DAE=∠FAE=α,∴∠DAF=2α=∠BAC,即∠DAF-∠DAC=∠BAC-∠DAC,∴∠BAD=∠CAF.又∵AB=AC,AD=AF.∴△BAD≌△CAF,∴BD=CF,⑦且∠ACF=∠ABD=45°,∴∠DCF=∠DCA+∠ACF=90°,∴CF⊥CE,∴EF2=FC2+CE2,将⑥⑦代入得DE2=BD2+CE2.

题型2题型1题型3解法2:作点D关于直线AE的对称点F,连接213456781.(1)问题发现如图1,△ABC和△ADE均为等边三角形,点D在BC的延长线上,连接CE,请填空:①∠ACE的度数为

;

②线段AC,CD,CE之间的数量关系为

.

(2)拓展探究如图2,△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点D在边BC的延长线上,连接CE,请判断∠ACE的度数及线段AC,CD,CE之间的数量关系,并说明理由.(3)问题解决如图3,在Rt△ABC中,AC=3,BC=5,∠ACB=90°,若点P满足PA=PB,∠APB=90°,请直接写出线段PC的长度.

213456781.(1)问题发现21345678解:(1)①∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC=BC,∠BAC=60°,∵△ADE为等边三角形,∴AD=AE,∠DAE=60°,∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,即∠BAD=∠CAE,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ACE=∠B=60°.②∵△ABD≌△ACE,∴BD=CE,∴BC=BD-CD=CE-CD,∴AC=CE-CD.

21345678解:(1)①∵△ABC为等边三角形,21345678(2)∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∴AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,∴△ACE≌△ABD(SAS),∴∠ACE=∠B=45°,BD=CE,即BC+CD=CE,∴BC=CE-CD,

21345678(2)∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形2134567821345678213456782134567821345678如图(2),点C,P在AB的异侧时,过点A作AD⊥PC于点D,∵∠ACB=∠APB=90°,∴A,B,P,C四点共圆,∴∠ACD=∠ABC=45°,∠APD=∠ABC,

21345678如图(2),点C,P在AB的异侧时,213456782.如图1,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,E恰为BC的中点,tanB=2.(1)求证:AD=AE;(2)如图2,点P在线段BE上,作EF⊥DP于点F,连接AF,求证:DF-EF=

AF.

213456782.如图1,在平行四边形ABCD中,AE⊥B21345678解:(1)如图1,∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°,∵tanB=2,∴

=2,∴AE=2BE,∵E为BC的中点,∴BC=2BE,∴AE=BC.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∴AD=AE.(2)如图,作AM⊥AF,交DP于点M,则∠MAF=90°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∵AE⊥BC,∴AE⊥AD,∴∠DAE=∠MAF=90°,∴∠DAM=∠FAE=90°-∠MAE.∵AE⊥BC,EF⊥DP,∴∠AEP=∠EFP=90°,21345678解:(1)如图1,∵AE⊥BC,∴∠AEB=21345678∴∠AEF+∠PEF=90°,∠PEF+∠FPE=90°,∴∠AEF=∠FPE,∵AD∥BC,∴∠ADM=∠FPE,∴∠ADM=∠AEF,在△ADM和△AEF中,∴AM=AF,DM=EF,∴DF-EF=MF.21345678∴∠AEF+∠PEF=90°,∠PEF+∠F213456783.(2016·武汉)在△ABC中,P为AB上一点.(1)如图1,若∠ACP=∠B,求证:AC2=AP·AB.(2)若M为CP的中点,AC=2.①如图2,若∠PBM=∠ACP,AB=3,求BP的长;②如图3,若∠ABC=45°,∠A=∠BMP=60°,直接写出BP的长.213456783.(2016·武汉)在△ABC中,P为AB21345678(2)①如图,取AP中点G,连接MG.设AG=x,则PG=x,BG=3-x.21345678(2)①如图,取AP中点G,连接MG.2134567821345678213456784.(2016·北京)在等边△ABC中,(1)如图1,P,Q是BC边上的两点,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度数;(2)点P,Q是BC边上的两个动点(不与点B,C重合),点P在点Q的左侧,且AP=AQ,点Q关于直线AC的对称点为M,连接AM,PM.①依题意将图2补全;②小茹通过观察、实验提出猜想:在点P,Q运动的过程中,始终有PA=PM.小茹把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:想法1:要证明PA=PM,只需证△APM是等边三角形;想法2:在BA上取一点N,使得BN=BP,要证明PA=PM,只需证△ANP≌△PCM;想法3:将线段BP绕点B顺时针旋转60°,得到线段BK,要证PA=PM,只需证PA=CK,PM=CK…请你参考上面的想法,帮助小茹证明PA=PM(一种方法即可).213456784.(2016·北京)在等边△ABC中,21345678解:(1)∵AP=AQ,∴∠APQ=∠AQP,∴∠APB=∠AQC,∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,∴∠BAP=∠CAQ=20°,∴∠AQB=∠APQ=∠BAP+∠B=80°.21345678解:(1)∵AP=AQ,∴∠APQ=∠AQP21345678(2)①如图所示.②如图,∵AP=AQ,∴∠APQ=∠AQP,∴∠APB=∠AQC,∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,∴∠BAP=∠CAQ,∵点Q关于直线AC的对称点为M,∴AQ=AM,∠QAC=∠MAC,∴∠MAC=∠BAP,∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°,∴∠PAM=60°,∵AP=AQ,∴AP=AM,∴△APM是等边三角形,∴PA=PM.21345678(2)①如图所示.213456785.(2016·贵阳)(1)阅读理解:如图①,在△ABC中,若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.解决此问题可以用如下方法:延长AD到点E使DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是

;

(2)问题解决:如图②,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证:BE+CF>EF;(3)问题拓展:如图③,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,CB=CD,∠BCD=140°,以C为顶点作一个70°角,角的两边分别交AB,AD于E,F两点,连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系,并加以证明.213456785.(2016·贵阳)(1)阅读理解:21345678解:(1)延长AD至E,使DE=AD,连接BE,如图①所示:∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,∴△BDE≌△CDA(SAS),∴BE=AC=6,在△ABE中,由三角形的三边关系得:AB-BE<AE<AB+BE,∴10-6<AE<10+6,即4<AE<16,∴2<AD<8.21345678解:(1)延长AD至E,使DE=AD,连接B21345678(2)延长FD至点M,使DM=DF,连接BM,EM,如图所示:由(1)得△BMD≌△CFD(SAS),∴BM=CF,∵DE⊥DF,DM=DF,∴EM=EF,在△BME中,由三角形的三边关系得:BE+BM>EM,∴BE+CF>EF.21345678(2)延长FD至点M,使DM=DF,连接BM21345678(3)BE+DF=EF.理由如下:延长AB至点N,使BN=DF,连接CN,如图所示:∵∠ABC+∠D=180°,∠NBC+∠ABC=180°,∴∠NBC=∠D,∴△NBC≌△FDC(SAS),∴CN=CF,∠NCB=∠FCD,∵∠BCD=140°,∠ECF=70°,∴∠BCE+∠FCD=70°,∴∠ECN=70°=∠ECF,21345678(3)BE+DF=EF.21345678∴△NCE≌△FCE(SAS),∴EN=EF,∵BE+BN=EN,∴BE+DF=EF.21345678∴△NCE≌△FCE(SAS),213456786.(2016·福建莆田)若正方形有两个相邻顶点在三角形的同一条边上,其余两个顶点分别在三角形的另两条边上,则正方形称为三角形该边上的内接正方形,△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,各边上的高分别记为ha,hb,hc,各边上的内接正方形的边长分别记为xa,xb,xc(1)模拟探究:如图,正方形EFGH为△ABC的BC边上的内接正方形,(3)拓展延伸:若△ABC为锐角三角形,b<c,请判断xb与xc的大小,并说明理由.213456786.(2016·福建莆田)若正方形有两个相邻21345678解:(1)∵正方形EFGH中,EH∥FG,∴△AEH∽△ABC,∵AD⊥BC,21345678解:(1)∵正方形EFGH中,EH∥FG,2134567821345678213456787.如图,△ABC中,AD⊥BC,DE⊥AC于E,AF⊥BE于H,交DE于F,(1)求证:△ADF∽△BCE;(2)若AB=AC,求证:DF=EF;(3)在(2)的条件下,若∠EAF=30°,直接写出cos∠EBC的值.213456787.如图,△ABC中,AD⊥BC,DE⊥AC21345678解:(1)如图①,∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,即∠1+∠EDC=90°,∵DE⊥AC,∴∠DEC=90°,∴∠EDC+∠C=90°,∴∠1=∠C,∵AH⊥BE,∴∠SAH+∠ASH=90°,又∵∠2+∠BSD=90°,∠BSD=∠ASH,∴∠SAH=∠2,∴△ADF∽△BCE.21345678解:(1)如图①,∵AD⊥BC,21345678(2)如图2,∵∠DCE=∠ACD,∴Rt△CDE∽Rt△CAD,21345678(2)如图2,∵∠DCE=∠ACD,21345678提示:如图3,设EF=x,则DF=EF=x,在Rt△AEF中,∵∠EAF=30°,∴AF=2EF=2x,AE=21345678提示:如图3,设EF=x,则DF=EF=x,213456788.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,对角线AC,BD交于点O,点E在AB的延长线上,连接CE,AF⊥CE,AF分别交线段CE,边BC,对角线BD于点F,G,H(点F不与点C,E重合).(1)当点F是线段CE的中点时,求GF的长;(2)设BE=x,OH=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的自变量的取值范围;(3)当△BHG是等腰三角形时,求BE的长.213456788.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=21345678解:(1)∵AB=8,BC=6,∴AC=10,∵AF⊥CE,∴∠AFC=∠AFE=90°,∵点F是线段CE的中点,∴CF=EF.在△ACF和△AEF中,∴AE=AC=10,∴BE=2.∵∠CGF=∠AGB,∠GFC=∠ABG,∴∠FCG=∠GAB,∠CBE=∠ABG,∴△CBE∽△ABG,21345678解:(1)∵AB=8,BC=6,∴AC=10213456782134567821345678(2)如图所示,作BM⊥AF,ON⊥AF,垂足分别为点M,N,∵AF⊥CE,∴ON∥BM∥CE,∴△ONH∽△BMH,△ANO∽△AFC,△BMG∽△CFG,21345678(2)如图所示,作BM⊥AF,ON⊥AF,垂21345678(3)△BHG是等腰三角形,①当BH=BG时,△AHD∽△GHB,即BE=3;②当GH=GB时,得出∠AHD=∠ADH,AH=AD=6,设BG=t,则AB2+BG2=AG2,即82+t2=(6+t)2,21345678(3)△BHG是等腰三角形,即BE=3;21345678③当HG=HB时,得出∠HGB=∠HBG=∠OCB,即点F与点C重合(不符合题意).综上所述,当△BHG为等腰三角形时,BE=3或BE=.21345678③当HG=HB时,得出∠HGB=∠HBG=∠专题五

几何探究问题专题五几何探究问题几何探究问题主要涉及利用三角形的性质进行相关的探索与证明、三角形和四边形的综合探索与证明以及几何动态问题等.这是中考对几何推理与证明能力考查的必然体现,重在提高学生对图形及性质的认识,训练学生的推理能力,解题时应注意演绎推理与合情推理的结合.全国各地的中考数学试题都把几何探究问题作为中考的压轴题之一,安徽省中考也是如此,如2016年的第23题、2015年的第23题、第2014年的第23题、2013年的第23题等.预计2017年安徽中考中,这类问题仍是考查的重点之一,需重点复习.几何探究问题主要涉及利用三角形的性质进行相关的探索与证明、三几何探究问题是中考必考题型,考查知识全面,综合性强,它把几何知识与代数知识有机结合起来,渗透数形结合思想,重在考查分析问题的能力、逻辑思维推理能力.如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情境型等,背景鲜活,具有实用性和创造性,在考查考生计算能力的同时,考查考生的阅读理解能力、动手操作能力、抽象思维能力、建模能力,力求引导考生将数学知识运用到实际生活中去.需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等来确定所需求的结论、条件或方法,因而解题的策略是将其转化为封闭性问题.常用的解题策略:1.找特征或模型:如中点、特殊角、折叠、相似结构、三线合一、三角形面积等;2.找思路:借助问与问之间的联系,寻找条件和思路;3.照搬:照搬前一问的方法和思路解决问题,如照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、照搬相似等;4.找结构:寻找不变的结构,利用不变结构的特征解决问题.常见的不变结构及方法:有直角,作垂线,找全等或相似;有中点,作倍长,通过全等转移边和角;有平行,找相似,转比例.几何探究问题是中考必考题型,考查知识全面,综合性强,它把几何题型2题型1题型3题型1

与全等三角形有关的探究典例1

(2016·山东泰安)(1)已知:△ABC是等腰三角形,其底边是BC,点D在线段AB上,E是直线BC上一点,且∠DEC=∠DCE,若∠A=60°(如图①),求证:EB=AD;(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其他条件不变(如图②),(1)的结论是否成立,并说明理由;(3)若将(1)中的“若∠A=60°”改为“若∠A=90°”,其他条件不变,则

的值是多少?(直接写出结论,不要求写解答过程)题型2题型1题型3题型1与全等三角形有关的探究题型2题型1题型3【解析】(1)作DF∥BC交AC于F,由已知得△ABC和△ADF均为等边三角形,则AD=DF,利用AAS证明△DBE≌△CFD,得EB=DF,从而EB=AD;(2)作DF∥BC交AC的延长线于点F,同(1)证出△DBE≌△CFD,得出EB=DF,即可得出结论;(3)作DF∥BC交AC于点F,同(1)得:△DBE≌△CFD,得出EB=DF,证出△ADF是等腰直角三角形,得出DF=AD,即可得出结果.题型2题型1题型3【解析】(1)作DF∥BC交AC于F,由已题型2题型1题型3【答案】(1)作DF∥BC交AC于点F,如图1所示.∴∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE,∵△ABC是等腰三角形,∠A=60°,∴△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∴∠DBE=120°,∠ADF=∠AFD=60°=∠A,∴△ADF是等边三角形,∠DFC=120°,∴AD=DF,∵∠DEC=∠DCE,∴∠FDC=∠DEC,ED=CD,∴△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF,∴EB=AD.题型2题型1题型3【答案】(1)作DF∥BC交AC于点F,题型2题型1题型3(2)EB=AD成立.理由如下:作DF∥BC交AC的延长线于点F,如图2所示.由(1)得AD=DF,∠FDC=∠ECD,∠FDC=∠DEC,ED=CD,又∵∠DBE=∠DFC=60°,∴△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF,∴EB=AD.题型2题型1题型3(2)EB=AD成立.题型2题型1题型3理由如下:作DF∥BC交AC于点F,如图3所示:同(1)得:△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF,∵△ABC是等腰直角三角形,DF∥BC,∴△ADF是等腰直角三角形,题型2题型1题型3理由如下:题型2题型1题型3题型2

与相似三角形有关的探究典例2

(2016·内蒙古包头)如图,已知一个直角三角形纸片ACB,其中∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E,F分别是AC,AB边上的点,连接EF.(1)如图1,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,且使S四边形ECBF=3S△EDF,求AE的长.(2)如图2,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在BC边上的点M处,且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状,并证明你的结论;②求EF的长.题型2题型1题型3题型2与相似三角形有关的探究题型2题型1题型3题型2题型1题型3题型2题型1题型3题型2题型1题型3题型2题型1题型3【答案】(1)如图1,∵△ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,∴EF⊥AB,△AEF≌△DEF,∴S△AEF≌S△DEF,∵S四边形ECBF=3S△EDF,∴S△ABC=4S△AEF,在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,题型2题型1题型3【答案】(1)如图1,∵△ACB的一角沿题型2题型1题型3(2)①四边形AEMF为菱形.理由如下:如图2,∵△ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点M处,∴AE=EM,AF=MF,∠AFE=∠MFE,∵MF∥AC,∴∠AEF=∠MFE,∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF,∴AE=EM=MF=AF,∴四边形AEMF为菱形.②连接AM交EF于点O,如图2,设AE=x,则EM=x,CE=4-x,∵四边形AEMF为菱形,∴EM∥AB,∴△CME∽△CBA,题型2题型1题型3(2)①四边形AEMF为菱形.理由如下:题型2题型1题型3(3)如图3,作FH⊥BC于点H,∵EC∥FH,∴△NCE∽△NHF,设FH=4x,NH=7x,则CH=7x-1,BH=3-(7x-1)=4-7x,∵FH∥AC,∴△BFH∽△BAC,题型2题型1题型3(3)如图3,作FH⊥BC于点H,题型2题型1题型3题型2题型1题型3题型2题型1题型3题型3

与全等和相似三角形有关的探究典例3

(2016·湖北黄石)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=2α.(1)如图1,若点D关于直线AE的对称点为F,求证:△ADF∽△ABC.(2)如图2,在(1)的条件下,若α=45°,求证:DE2=BD2+CE2.(3)如图3,若α=45°,点E在BC的延长线上,则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗?请说明理由.

题型2题型1题型3题型3与全等和相似三角形有关的探究题型2题型1题型3【解析】本题考查轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质及勾股定理.(1)根据轴对称的性质可得∠DAE=∠FAE,AD=AF,再得出∠BAC=∠DAF,然后根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似得以证明;(2)根据轴对称的性质可得EF=DE,AD=AF,再求出∠BAD=∠CAF,然后利用边角边证明△ABD和△ACF全等,根据全等三角形性质可得CF=BD,∠ACF=∠ABD,然后求出∠ECF=90°,最后利用勾股定理证明即可;(3)作点D关于AE的对称点F,连接AF,EF,CF,根据轴对称的性质可得EF=DE,AF=AD,再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF,再结合(2)即可.

题型2题型1题型3【解析】本题考查轴对称的性质、相似三角形的题型2题型1题型3【答案】(1)∵D,F关于直线AE对称,∴DE=EF,①∠DAE=∠FAE=α,∴∠DAF=2α=∠BAC,又∵AB=AC,AD=AF,∴△ADF∽△ABC.(2)∵∠DAF=2α=∠BAC,∴∠DAF-∠DAC=∠BAC-∠DAC,即∠BAD=∠CAF,又AB=AC,AD=AF,∴△BAD≌△CAF,∴BD=CF,②且∠ACF=∠ABD=45°,即∠ECF=90°,在△ECF中,结合已证明的①②得DE2=BD2+CE2.

题型2题型1题型3【答案】(1)∵D,F关于直线AE对称,题型2题型1题型3(3)解法1:将△CAE顺时针旋转90°得△BAF,连接DF,如图2所示.∴BF=CE,③AF=AE,∵∠ACE=135°=∠ABF,∠ABC=45°,∴∠FBD=90°,即DF2=BF2+BD2,④由旋转的性质,∠BAF=∠CAE,∴∠BAF+∠FAC=∠CAE+∠FAC=2α,∴∠DAF=∠FAE-∠DAE=2α-α=α,AF=AE,又∵AD为公共边,∴△DAF≌△DAE,即DF=DE.⑤将③⑤代入④式,得DE2=BD2+CE2.

题型2题型1题型3(3)解法1:将△CAE顺时针旋转90°得题型2题型1题型3解法2:作点D关于直线AE的对称点F,连接AF,EF,CF,如图3所示.∴AD=AF,DE=EF,⑥∠DAE=∠FAE=α,∴∠DAF=2α=∠BAC,即∠DAF-∠DAC=∠BAC-∠DAC,∴∠BAD=∠CAF.又∵AB=AC,AD=AF.∴△BAD≌△CAF,∴BD=CF,⑦且∠ACF=∠ABD=45°,∴∠DCF=∠DCA+∠ACF=90°,∴CF⊥CE,∴EF2=FC2+CE2,将⑥⑦代入得DE2=BD2+CE2.

题型2题型1题型3解法2:作点D关于直线AE的对称点F,连接213456781.(1)问题发现如图1,△ABC和△ADE均为等边三角形,点D在BC的延长线上,连接CE,请填空:①∠ACE的度数为

;

②线段AC,CD,CE之间的数量关系为

.

(2)拓展探究如图2,△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点D在边BC的延长线上,连接CE,请判断∠ACE的度数及线段AC,CD,CE之间的数量关系,并说明理由.(3)问题解决如图3,在Rt△ABC中,AC=3,BC=5,∠ACB=90°,若点P满足PA=PB,∠APB=90°,请直接写出线段PC的长度.

213456781.(1)问题发现21345678解:(1)①∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC=BC,∠BAC=60°,∵△ADE为等边三角形,∴AD=AE,∠DAE=60°,∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,即∠BAD=∠CAE,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ACE=∠B=60°.②∵△ABD≌△ACE,∴BD=CE,∴BC=BD-CD=CE-CD,∴AC=CE-CD.

21345678解:(1)①∵△ABC为等边三角形,21345678(2)∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∴AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,∴△ACE≌△ABD(SAS),∴∠ACE=∠B=45°,BD=CE,即BC+CD=CE,∴BC=CE-CD,

21345678(2)∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形2134567821345678213456782134567821345678如图(2),点C,P在AB的异侧时,过点A作AD⊥PC于点D,∵∠ACB=∠APB=90°,∴A,B,P,C四点共圆,∴∠ACD=∠ABC=45°,∠APD=∠ABC,

21345678如图(2),点C,P在AB的异侧时,213456782.如图1,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,E恰为BC的中点,tanB=2.(1)求证:AD=AE;(2)如图2,点P在线段BE上,作EF⊥DP于点F,连接AF,求证:DF-EF=

AF.

213456782.如图1,在平行四边形ABCD中,AE⊥B21345678解:(1)如图1,∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°,∵tanB=2,∴

=2,∴AE=2BE,∵E为BC的中点,∴BC=2BE,∴AE=BC.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∴AD=AE.(2)如图,作AM⊥AF,交DP于点M,则∠MAF=90°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∵AE⊥BC,∴AE⊥AD,∴∠DAE=∠MAF=90°,∴∠DAM=∠FAE=90°-∠MAE.∵AE⊥BC,EF⊥DP,∴∠AEP=∠EFP=90°,21345678解:(1)如图1,∵AE⊥BC,∴∠AEB=21345678∴∠AEF+∠PEF=90°,∠PEF+∠FPE=90°,∴∠AEF=∠FPE,∵AD∥BC,∴∠ADM=∠FPE,∴∠ADM=∠AEF,在△ADM和△AEF中,∴AM=AF,DM=EF,∴DF-EF=MF.21345678∴∠AEF+∠PEF=90°,∠PEF+∠F213456783.(2016·武汉)在△ABC中,P为AB上一点.(1)如图1,若∠ACP=∠B,求证:AC2=AP·AB.(2)若M为CP的中点,AC=2.①如图2,若∠PBM=∠ACP,AB=3,求BP的长;②如图3,若∠ABC=45°,∠A=∠BMP=60°,直接写出BP的长.213456783.(2016·武汉)在△ABC中,P为AB21345678(2)①如图,取AP中点G,连接MG.设AG=x,则PG=x,BG=3-x.21345678(2)①如图,取AP中点G,连接MG.2134567821345678213456784.(2016·北京)在等边△ABC中,(1)如图1,P,Q是BC边上的两点,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度数;(2)点P,Q是BC边上的两个动点(不与点B,C重合),点P在点Q的左侧,且AP=AQ,点Q关于直线AC的对称点为M,连接AM,PM.①依题意将图2补全;②小茹通过观察、实验提出猜想:在点P,Q运动的过程中,始终有PA=PM.小茹把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:想法1:要证明PA=PM,只需证△APM是等边三角形;想法2:在BA上取一点N,使得BN=BP,要证明PA=PM,只需证△ANP≌△PCM;想法3:将线段BP绕点B顺时针旋转60°,得到线段BK,要证PA=PM,只需证PA=CK,PM=CK…请你参考上面的想法,帮助小茹证明PA=PM(一种方法即可).213456784.(2016·北京)在等边△ABC中,21345678解:(1)∵AP=AQ,∴∠APQ=∠AQP,∴∠APB=∠AQC,∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,∴∠BAP=∠CAQ=20°,∴∠AQB=∠APQ=∠BAP+∠B=80°.21345678解:(1)∵AP=AQ,∴∠APQ=∠AQP21345678(2)①如图所示.②如图,∵AP=AQ,∴∠APQ=∠AQP,∴∠APB=∠AQC,∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,∴∠BAP=∠CAQ,∵点Q关于直线AC的对称点为M,∴AQ=AM,∠QAC=∠MAC,∴∠MAC=∠BAP,∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°,∴∠PAM=60°,∵AP=AQ,∴AP=AM,∴△APM是等边三角形,∴PA=PM.21345678(2)①如图所示.213456785.(2016·贵阳)(1)阅读理解:如图①,在△ABC中,若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.解决此问题可以用如下方法:延长AD到点E使DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是

;

(2)问题解决:如图②,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证:BE+CF>EF;(3)问题拓展:如图③,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,CB=CD,∠BCD=140°,以C为顶点作一个70°角,角的两边分别交AB,AD于E,F两点,连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系,并加以证明.213456785.(2016·贵阳)(1)阅读理解:21345678解:(1)延长AD至E,使DE=AD,连接BE,如图①所示:∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,∴△BDE≌△CDA(SAS),∴BE=AC=6,在△ABE中,由三角形的三边关系得:AB-BE<AE<AB+BE,∴10-6<AE<10+6,即4<AE<16,∴2<AD<8.21345678解:(1)延长AD至E,使DE=AD,连接B21345678(2)延长FD至点M,使DM=DF,连接BM,EM,如图所示:由(1)得△BMD≌△CFD(SAS),∴BM=CF,∵DE⊥DF,DM=DF,∴EM=EF,在△BME中,由三角形的三边关系得:BE+BM>EM,∴BE+CF>EF.21345678(2)延长FD至点M,使DM=DF,连接BM21345678(3)BE+DF=EF.理由如下:延长AB至点N,使BN=DF,连接CN,如图所示:∵∠ABC+∠D=180°,∠NBC+∠ABC=180°,∴∠NBC=∠D,∴△NBC≌△FDC(SAS),∴CN=CF,∠NCB=∠FCD,∵∠BCD=140°