高中数学常见题型解法第32招不等式的解法

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第32讲;不等式的解法【知识要点】一、一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为axb(a0)的形式.当a0时，不等式的解集为 xxP;当a0时，不等式的解集为 xx-.a a二、一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解法1、二次不等式f(x)ax2bxc0(a0)的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想.也可以利用口诀(大于取两边，小于取中间)解答^2、当二次不等式f(x)ax2bxc0(a0)时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数TOC\o"1-5"\h\z成正数，再利用上面的方法解答 .3、温馨提示(1)不要把不等式ax2bxc0看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析 x2的系数.(2)对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论 ^(3)如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件 ^(4)不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性 ^三、指数不等式和对数不等式的解法解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法(1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不

等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件 .①当a1时，f(x)0\o"CurrentDocument"af(x)ag(x) f(x)g(x)；logaf(x)logag(x)g(x)0 •f(x)g(x)②当0a1时,(a(01)loga(ax)logabxloga(a(01)loga(ax)logabxlogab0logax(其中a1)logax0logax(其中0a1)f(x)0af(x)ag(x) f(x)g(x)；logaf(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x)(2)对指互化法：如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法 ^对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解x1)loga(a)logabxlogab四、分式不等式的解法把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成f(x)

g(x)把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成f(x)

g(x)g(x)00的形式一化成不等式组f(x)g(x)一解0不等式组得解集.温馨提示：解分式不等式一定要考虑定义域五、高次不等式的解法先把高次不等式分解因式化成(xai)(x先把高次不等式分解因式化成(xai)(xa2)(xa3)ggg[x烝)0的形式(x的系数必须为正)一标记方程的实根(注意空心和实心之分)一穿针引线,从右往左，从上往下穿(奇穿偶不穿)一写出不等式记方程的实根(注意空心和实心之分)一穿针引线,从右往左，从上往下穿(奇穿偶不穿)一写出不等式的解集.实际上，序轴标根法适用于所有的整式不等式，根据它可以很快地写出整式不等式的解集六、绝对值不等式的解法方法一：公式法 解只含有一个绝对值形如axb()c方法一：公式法 解只含有一个绝对值形如axb()c的不等式，一般直接用公式xaxa或xaxaaxa,注意集合的关系和集合的运算，集合的运算主要利用数轴.方法二：零点讨论法 解含有两个绝对值形如xaxb()c的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.

方法三：平方法 如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：|x3,可以使用平方法.七、无理不等式的解法无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答 .无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件， 一般情况下，fX)g(x)可_ f(x)0转化为Jf(x)g(x)或Jf(x)g(x),而Jf(x)g(x)等价于：f(x)。或g(x)0 ., g(x)0f(x)[g(x)]2八、抽象的函数不等式的解法一般利用函数的单调性解答，先研究函数的单调性，再利用函数的单调性把抽象的函数不等式转化成具体的函数不等式解答.学科#网【方法讲评】不等式一一兀二次不等式解题方法1、一次不等式f(x)axbxc0(a0)的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想.也可以利用口诀(大于取两边，小于取中间)解答 .2、当一次不等式f(x)ax2bxc0(a0)时，可以回图，解不等式，也可以把二次项的系数a变成正数，再利用上面的方法解答 .【例1】解关于x的不等式ax2(a1)x10.【解析】分以下情况讨论⑴当修=0时j原不等式变为：-x-KQ,TOC\o"1-5"\h\z⑵当江K0时原不等式变为：(^-lXx-l)<0 ①①当口《。时，①式变为5-：工-1»0,一不等式的解为工>1或工a 。②当a0时，①式变为(x1)(x1)0, ②1，一〜，…1，一〜，…当a1时，一1,此时②的解为a••11」a,••・当0a1时，11,此时②的解为1x-aa a ax1•【点评】解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类:0a10a0a1a1分类应做到使所给参数a分类应做到使所给参数a的集合的并集为全集,论a0时，解一元二次不等式ax2论a0时，解一元二次不等式【反馈检测1】解关于x的不等式x2(aa2)xa30.不等式二指数不等式解题方法(1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件.(2)对指互化法：如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法 .对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解..【例2】解不等式216(-)1x8【解折】原不等式可化为2“-6mA—令乃=">03则得「一6”16工。所以«+2*—8)亡0所以「25及又CO,故Oy，Eg即0犬2工=解得【点评】解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解【反馈检测2】解关于x的不等式：23x2xa(2x2x)(其中a0)不等式二对数不等式解题方法(1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件.(2)对指互化法：如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法 .对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解.【例3】已知a0且a1,关于x的不等式ax1的解集是xx0,解关于x的不等式， 1、……lOga(x-)0的解集.x【解析】♦关于丽:等式的解集是｛加＞0｝；三0元1 Pr--＞0 1—y/s l-Li/sTOC\o"1-5"\h\z叫＜——f。-1- 或］\o"CurrentDocument"x ［七日 2 2二原不等式的解集是(―l=^)u(lN叵).. 工【点评】本题选同底法解答，把0写成loga1,再利用对数函数的图像和性质将不等式变成分式不等式组解答.【反馈检测3】解不等式10gxi(x2x2)1.不等式四分式不等式解题方法把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成-f(^)0的形式一化成不等式组g(x)g(x)0 一解不等式组得解集.把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成f(x)g(x)0-f(x)-0的形式一化成不等式组 g(x)0 一解不等式组得解集.g(x) f(x)g(x)0【例4】解关于X的不等式a(X1)1x2【解析】原不等式与不等式K0TA-3-2)]任-2)＞0同解.1、当日—b3即白＞1时，厚不等式与不等式住―二)(文—2)、0同解，此时因为巴工W，所a-1 a-\以原不等式的解集为eN)uq＞刈口一12、当日=1时.即工一2,。，苴解集为Q+可工当时,原不等式与不等式[，一±=)0-DM0同解＜7—1《1:当巴心＞2,即0＜口＜1时，原不等式的解集为(2,g)口一1 s-l(2＞当自二。时,解集为。(3)当。＜0时，原不等式的解集为1=2)a-1【点评】分析：若将原不等式移项、通分整理可得： (a1)x(a2)0[(a1)x(a2)](x2)0x2显然，现在有两个问题：(1)a1的符号怎样？(2)_a■上与2的大小关系怎样？这也就是本题的分类标a1准所在.，…， -xx22x2【反馈检测4】解不等式x-2^-4x.32xx2不等式五高次不等式解题方法先把高次不等式分解因式化成 (xa1)(xa2)(xa3)ggg[xan)0的形式(x的系数必须为正)一标记方程的实根(注意空心和实心之分)一穿针引线，从右往左，从上

往卜-穿(奇穿偶不穿)一写出不等式的解集 ^【例5】解不等式： 2x3x215x0【解析】《1》原不等式可化为虱2工+※工-3)>0把方程"Qx十双万-3)=0的二个根再=0^~~2=X3~3顺次标上数轴.然后从右上开始回学却历次经过三个根,其解集如下图的阴,影部分.,,・原不等式解集为:函〉3【点评】如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式 f(x)0(或f(x)0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况.学科#网【反馈检测5】(x4)(x5)2(2x)30不等式六绝对值小等式解题方法方法一：公式法 解只含有一个绝对值形如axb()c的不等式，一般直接用公式xaxa或x axa axa,注意集合的关系和集合的运算， 集合的运算主要利用数轴.方法二：零点讨论法 解含后两个绝对值形如xaxb|()c的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.方法三：平方法 如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如： x3,可以使用平方法.【例6】|x5| |2x3|1不等式七无理不等式解题方法无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答 .1x(a0).2a【例7】解关于x的不等式72ax【解析】原不等式等於干，3<1或3金2 或5-x-2x-3<12f-耳十J?｛十34】从而得原不等式的解.隼为：(-00.-7)U(-:+x)【点评】该题由于有两个不等式，所以一般利用零点讨论法.对于含有两个和两个以上的不等式，一般利用零点讨论法.【反馈检测6】解不等式x24【解析】原不等式2ax1x【解析】原不等式等於干，3<1或3金2 或5-x-2x-3<12f-耳十J?｛十34】从而得原不等式的解.隼为：(-00.-7)U(-:+x)【点评】该题由于有两个不等式，所以一般利用零点讨论法.对于含有两个和两个以上的不等式，一般利用零点讨论法.【反馈检测6】解不等式x24【解析】原不等式2ax1x2ax2a0,2a0,「2xa2或(2)0,(1x)2；0.由判别式 4(aa2,1,2(a1)xa0；a2,1.1)24(a21)8a0故不等式_ 22(a1)xa210的解是v'2a.当0a2时，-2组(2)的解是x1.<2a1,不等式组(1)的解是a1缶x1,不等式当a2时，不等式组(1)无解，(2)的解是综上可知，当0a2时，原不等式的解集是a1 2a,2时，原不等式的解集是【点评】本题分类讨论标准“ 0a2,a2”是依据“已知a0及(1)中'xx1',(2)中2,a xa,x1'”确定的.解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点.一般地，2分类讨论标准(解不等式)大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点” 去确定.本题易误把原不等式等价于不等式 2axa2(1x),纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法.【反馈检测7】解不等式Jx23x108x.不等式八抽象函数不等式解题方法一般利用函数的单调性解答，先研究函数的单调性，再利用函数的单调性把抽象的函数不等式转化成具体的函数不等式解答 .【例8】若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(ab)f(a)f(b),且当x0时，f(x)1.(1)求证：f(x)0;(2)求证：f(x)为减函数;TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 2(3)当f(4)一时，解不等式f(x3)f(5x)16\o"CurrentDocument"【解析】C) =\o"CurrentDocument"又若则/(，)=(工一%+ 一天)『(』)二。与已知利S, >0(2)设外M第则再一/vO又:/(工)为非零国数/(W—/)/(巧)_/(百(3)由f(4)f2(2)1(3)由f(4)f2(2)116'由(1)原不等式转化为f(xx2)f(2)，结合(2)得：x2x22 0x1故不等式的解集为x|0x11【点评】(1)第(3)问的关键是找到f(?)一,再利用函数的单调性把抽象的函数不等式转化成具

4体函数不等式【反馈检测8】函数f(x)对任意x,y(0,)满足f(xy)f(x)f(y)且当x【反馈检测8】函数f(x)对任意x,y(0,(l)判断函数f(x)的单调性并证明相关结论；(2)若f(2) 1,试求解关于x的不等式f(x)f(x3) 2.【反馈检测9】【2017江苏，11】已知函数f(x)x32xex口，其中e是自然对数的底数.若

ef(a1)f(2a2)w0,则实数a的取值范围是.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第 32讲：不等式的解法参考答案【反馈检测1答案】见解析彳反馈检测。详细解析］原不等式可化为G—水.(1)当在E即曰>1或门亡。)时，不等式的解集为｛工|工二修或工)人卜⑵当座>苏和时，不等式的解集为卜|X<f或OB｝j⑶当次=/卸4=0或1)时，不等式的解集为卜|，wR且，U也｝.【反馈检测2答案】见解析【反馈检测2详细解析】解原不等式得： 22x(22x1)a(22x1),即xx x x x4(4 1)a(4 1),(4 a)(4 1)0当0a1时,a4x1,此时不等式的解集为(log4a,0)当a1时,(4x1)20,此时不等式无解当a1时,14xa,此时不等式的解集为Qlog,a)【反馈检测3答案】x3【反馈检测3详细解析】［法一］原不等式同解于TOC\o"1-5"\h\z(x+l)(x-2). 、10ghi― >0O1咤"1卬-2)〉0］£丁L)0<兄+1<1卜+1>1 卜 k>0式-2>0或｛落-2>Q台上>2 我卜>2兄-2<1 卜-2>l 卜<3 ［乳>3所以原不等式的解为x3.［法二］原不等式同解于210gxi(xx2)logx1(x1)

IO＜x+l＜l 卜+1＞1茶笈-2〉0 或卜'江一2〉。/-笈-2《罡十1 卜-x-2〉M十I1-1＜工＜0 口叩X-1或又＞2曲 -1或工＞2-1＜S＜3 [k＜1或鼻＞3所以原不等式的解为x3.【反馈检测4答案】{x1x2或x3}[反馈检测4详近解析】甚项整理,将原不等式化为U-2XjT-x+1>ALr.6—3）（工寸1）由'Hi。恒购,矢晦不等式等价于清蒜＞°解之，得原不等式的解窠为国7＜工心松＞3}.【反馈检测5答案】xx5或5x4或x2【反馈检测5【反馈检测5详细解析】原不等式等价于\o"CurrentDocument"2 3(x4)(x5)(x2) 0x50 x 5(x4)(x2)0x 4或x，原不等式解集为xx 5或5x【反馈检测6答案】x1x3【反馈检测6详细解析】解法一：原不等式24或x 22 一 2 一x40x402 _ 2 _x4x2 4xx2x2或x 2T. 2或2xxx故原不等式的解集为x1x3.原不等式解集为 x3x4｝原不等式解集为 x3x4｝.x(x3)4解法二：原不等式等价于(x2)x/r