高中数学高考题详解基本不等式

考点29基本不等式一、选择题(2013•重庆高考理科•T3)0(3a)(a6)(6a3)的最大值为()A.9B.9C.3D.U2 2【解题指南】直接利用基本不等式求解.【解析】选B.当a6或a3时，/(3a)(a—6)0,当6a3时，J(3a)(a6)3aa69,当且仅当3aa6,即a3时取等号.2 2 2(2013•山东高考理科•T12)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当xy取得最大值时，212的最大值为()？z xyzA.0????B.1??C.9???D.3?4【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y来表示z,再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入 2’2,进而再利用基xyz本不等式求出212的最值.xyz【解析】选B.由x23xy4y2z0,得zx23xy4y2.4y,即x2yx(xy)1—1

m4y,即x2yx(xy)1—1

mmax .z xy2_2_1_2_z2yyxy2 1 2—(1-)-(1y x y12y(2013•山东高考文科•T12)设正实数x,y,z满足x所以x2yz2y2y3xy4y2z0,所以x2yz2y2y则当三取得最大值时，x2yz的最大值为（）xyA.0B.9C.2D.9【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y来表示Z,【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y来表示Z,再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入x进而再利用基本不等式求出x2yz的最值.【解析】选C.由x23xy4y2c 23xy4y.2 2所以三x3xy4y

xyxyx4yyx1,当且仅当4yx即x2y时取等号此时z2y2,2y24y2y22y2当且仅当y=2-y时取等号.（2013•福建高考文科•T7）若2x+2y=1,则x+y的取值范围是A. 0,2B. 2,0C. 2, D. ,2【解题指南】“一正二定三相等"，当题目出现正数，出现两变量，一般而言，这种题就是在考查基本不等式.

【解析】选D.2｛尹W2x+2y=1,所以2x+ywL即2x+yW2-2，所以x+yW-2.4二、填空题(2013•四川高考文科・T13)已知函数f(x)4x-(x0,a0)在x3时x取得最小值，则a【解题指南】本题考查的是基本不等式的等号成立的条件，在求解时需要找到等号成立的条件，将x3代入即可.【解析】由题f(x)4xa(x0,a0),根据基本不等式4x-4n,当且仅x x当4xa时取等号，而由题知当x3时取得最小值，即a36.x【答案】36回的最小值为.b（2013•天津高考文科•T14）设a+b=2,b>0,则，回的最小值为.b2|a|【解题指南】将上回中的1由a+b代换，再由均值不等式求解.2|a|b '【解析】因为a+b=2,b>0,所以,2|a||a|

【解析】因为a+b=2,b>0,所以,2|a||a|

bab|a|ab|a|4|a|b4|a|4|a|b小4|ba||a|

bq1,当且仅当4|a| 'b4|a|易时等号成立，此时a2,a4|a|1〜若a3,则本1(.所以泰号的最小值为回取得

b回取得

b（2013•天津高考理科•T14）设a+b=2,b>0,则当a二时，—2|a|最小值.【解题指南】将上回中的1由a+b代换，再由均值不等式求解2|a|b '【解析】因为a+b=2,b>0,所以，回圣回———L回2|a|b4|a|b4|a|4|a|b32上回士当且仅当上回时等号成立，此时a2,或4|a| \4|a|b4|a| 4|a|b4|a|4|a|2|a|回取最小值时,

b 4|a|4|a|2|a|回取最小值时,

b ，2.【答案】-22（2013•上海高考文科•T13）设常数a>0.若9x2a1对一切正实x数x成立，则a的取值范围为.【解析】考查均值不等式的应用，a 2则Vmn的最小值为 a2 2则Vmn的最小值为由题息知，当x0时，f(x)9x一2..9x—6aa1a-【答案】［5,）（2013•陕西高考文科•T14）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为（m）.【解题指南】设出矩形的高V,由题目已知列出x,y的关系式，整理后利用均值不等式解决应用问题.【解析】设矩形高为y,由三角形相似得：上40」,且x0,yQx40,y4040 4040xy2qxy,仅当xy20时，矩形的面积sxy取最大值400.【答案】20.2014年全国高考理科数学试题：不等式选讲一、填空题（2014年广州数学（理）试题）不等式x1x2 5的解集为。2 ।2（2014年高考陕西卷（理））（不等式选做题）设abm,n R,且ab 5,ma nb5,(2014年高考江西卷(理))对任意x,yR,x1xy1y1的最小值为()A.1B.2C.3D.4(2014年高考安徽卷(理)若函数f(x)|x12xa的最小值3,则实数a的值为()A.5或8B.1或5C.1或4D.4或8(2014年高考湖南卷(理)若关于 x的不等式ax23的解集为x|5x二、解答题(2014年高考新课标二、解答题(2014年高考新课标2(理))(本小题满分10)选修4-5:不等式选讲设函数fx=x1xa(a0)a(I)证明：fx>2;(n)若f3 5,求a的取值范围.3 3a= (2014年高考重庆卷(理)设函数f(x)=|x-1|,则不等式f(x)1的解集为.

三.涉及两个且另有一常数时，用分段讨论法去绝对值1.12012高考真题广东理9】不等式|x+2|-|x| <1的解集为.2.(2011年高考山东卷理科 4)不等式|x5||x3|10的解集为(A)[-5.7] (B)[-4,6](C)( ,(C)( ,5][7, )(D)(4][6,)|2x-1|+|2x+1| <6的解集为已知函数yw=h-3.12012高考真题江西理16]|2x-1|+|2x+1| <6的解集为已知函数yw=h-（i）若不等式/（x）M3的解集为（工|-1工”至3）,求实数Q的值;（n）在（I）的条件下，若 /W+/（x+5）>^的不等式ax1|x2存在实数解,的不等式ax1|x2存在实数解,2.（2011年高考陕西卷理科 15）（不等式选做题）若关于则实数a的取值范围是3.12012高考真题辽宁理24】（本小题满分3.12012高考真题辽宁理24】（本小题满分10分）选修45:不等式选讲已知f(x)|ax1|(aR）,不等式f（x）3的解集为{x2x1}。（I）求a的值;(n)若f(x)x2f(2)k恒成立，求k的取值范围。(n)若f(x)x2f(2)k恒成立，求k的取值范围。六：性质:y，xyxy运用1.（2010年高考福建卷理科）对于实数x,y,若|x12.12012高考江苏24］［选修4-5:不等式选讲］（10分）已知实数xy满足：|xy|1的最大值为.一 5求证：|y|一182.比较法解不等式1.（2011年高考福建卷理科 1.（2011年高考福建卷理科 21）（本小题满分7分）选修4-5:不等式选讲设不等式2x-1<1的解集为Ml（I）求集合M;(II)若a,b6M试比较ab+1与a+b的大小..（2010年高考江苏卷试题21）(II)若a,b6M试比较ab+1与a+b的大小..（2010年高考江苏卷试题21）选修4-5:不等式选讲（本小题满分 10分）设a、b是非负实数，求证:.均值不等式及其推广的运用1.12012高考真题福建理23】（本小题满分7分）选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=m-|x-2|mCR,且f(x+2)>0的解集为[-1,1].（I）求m的值;(n)若a,b,c3.（2010年高考辽宁卷理科24）（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知值力,匚均为正数，证明： abc ,并确定",亡为何值时，等号成立。2.(2014年辽宁数学(理)试题)选修 4-5:不等式选讲设函数f(x)2x1x1,g(x)16x28x1,记f(x)1的解集为mg(x)4的解集为N.?2 2 1(1)求M?(2)当xMN时，证明：x2f(x)xf(x) —43.(2014年福建,数学(理)i^题(纯WOR版))选修4-5:不等式选讲已知定义在R上的函数f(x)|x1| |x2|的最小值为a.(I)求a的值；(n)若p,q,r是正实数，且满足p+q+r=a,求证：p2q2r23.4.(2014年高考新课标1(理))(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲若a0,b0,且一一Jab.ab(I)求a34b3的最小值；(n)是否存在a,b,使得2a3b6?并说明理由.二.只涉及两个绝对值，不再有其它项时，用平方法去绝对值1.(2011年高考广东卷理科9)不等式x1x30的解集是.2.12012高考真题湖南理10】不等式|2x+1|-2|x-1|>0 的解集为.4.(2011年高考天津卷理科13) 1 一已知集合AxR|x3x4 9,BxR|x4t-,t(0,)，则集合AB=.5