“设而不求”的未知数

设而不求”的未知数让我们先看一道简单的数学题.例1-今直角三角形的周长是2+疵,斜边上的中线长是1,求逑平三角形的面积．解设这个三角形的斜边长度为c,因为斜边上的中线长是1,所以斜边长c=2.再设两条直角边的长度是a,b,面积是S,那么CDft'J」彳爲+b=寸6,两边"卜方后得a+bg+2ab=6..所以有a+bg+2ab=6..所以有在这个题目中，只要求出未知数S的值，而我们却设了三个未知数：a,b,S,并且在解题过程中，我们也根本没求a,b的值.但是由于增设了a,b后，给我们利用等量关系列方程及方程组求S的值，带来了很大的便利，像这种未知数(如a,b)就是本讲所要介绍的“设而不求”的未知数.所谓“设而不求”的未知数,又叫辅助元素,它是我们为解决问题增设的一些参数,它能起到沟通数量关系,架起连接已知量和未知量的桥梁作用.z_y_e例2若日-bb-匚求x+y+z的值分析已知条件是以连比的形式出现时,往往引进一个比例参数来表示这个连===頁比.解令则有x=k(a-b),y=k(b-c),z二k(c-a),所以x+y+z=k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)=0,所以x+y+Z=0.说明本例中所设的k,就是“设而不求”的未知数.37)3一『)旳值:例3已知p,q,r都是5的倍数，r>q>p,且r二p+10,试求_r

TOC\o"1-5"\h\z解不妨设p=5k,q=5k,r=5k，由题意可知，k,k,k都是整数.因为r>q>p,所以k>k>k.又因为r=p+10,123321所以5k=5k+10,k=k+2,①所以k+2>k>k，所以k=k+1.②313112121q=-10将①，②代入所求的代数式得佻］-张-处)丄込-込〕q=-10将①，②代入所求的代数式得佻］-张-处)丄込-込〕k］-EJ為-弧］+2)］羽］(筍［爾+1)-：閃斗2)］说明本题中ki,k2,k/匀是“设而不求”的未知数.123例例4若使訐|为可约分数，则自煞数门的最小值应是多少1解要使盒可约分，不妨设分子与分母有公因数乩显餓应有a>l,解要使盒可约分，不妨设分子与分母有公因数乩显餓应有a>l,并且设分子：n-13=ak1，①分母：5n+6=ak2.②其中k,k为自然数.由①得n=13+ak,将之代入②得5(13+ak)+6二ak,12112即71+5ak=ak，所以a(k-5k)=71.1221由于71是质数，且a>1,所以a=71，所以n二k•71+13.故n最小为84.1例5甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为2923，21和17，这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？(a-Hb+c)33+d+3©17Cd+b+c解设四个人的年龄分别记为a,b,c,d,根据题意有+<1=29,(a-Hb+c)33+d+3©17Cd+b+c解设四个人的年龄分别记为a,b,c,d,根据题意有+<1=29,心+b+<0〕+b=2fh由上述四式可知£之十b十匚十d）由上述四式可知£之十b十匚十d）-〔m亠b+C+d〕1（.辿十b十c十dj-t.a+b+c+d）十|也二纠+a='2-3,+|b=2L+fc=17-比较⑤，⑥，⑦，⑧知，d最大，c最小,所以⑤-⑧得12.所以d-c=18，即这四个人中最大年龄与最小年龄的差为18.说明此题不必求出a,b,c,d的值，只须比较一下，找出最大者与最小者是谁,作差即可求解.例6设有n个数x,x,…，x,它们的值只能是0,1,2三个数中的一个,12n如果记葺二衍+®+…+耳，G二辽"总+…痕右试用f和f表示12解设在x，x,-,x这几个数中取值为0的有S个，取值为1的有t个，取值为2的有r个，则s+t+r=n,OWtWn,OWsWn,OWrWn,由此得f=t+2r,f=t+4r.所以耳二迸+誚+…+瓷=t+20=©疋一①-2）f.12k-12k-11说明本题借助于s,t,r找到了f与f,f的关系表达式.k12例孑设自然数62.C1P427対於旳倍数，试求P分析与解62CXP427*99®倍数，表明62ab427能被99=9汐1整除.根据一个数能被9整除的特征有6+2+a+B+4+2+7=9m（m为自然数）,即a+B+3=9ml（m1为自然数）.又由于0<a<9,0WBW9，则有3Wa+B+3W21，从而有a+B=6或a+B=15.①同理，按照一个数被11整除的特征有a-B=-2或a-B=9.②①与②相结合，并考虑0<a<9,0WBW9,故只有a=2,B=4.所以原自然数为6224427．例8我手中的卡片上写有一个三位数，并且个位数不为零，现将个位与百位数字对调，取两数的差(大数减小数)，将所得差的三位数与此差的个位、百位数字对调后的三位数相加，最后的和是多少？W不妨设原数为abc(a>c)?对调后的差为k,所以k=abcSa'二aX100+bX10+c-(cX100+bX10+a)=99Xa-99Xc=100Xa-100Xc-100+90+10-a+c=100(a-c-l)+9X10+(10-a+c).因k是三位数，所以2Wa-cW8,lWa-c-lW7.所以2W10-a+cW8.差对调后为k/=(10-a+c)X100+9X10+(a-c-1),所以k+k，=100(a-c-1)+9X10+(10-a+c)+(10-a+c)X100+9X10+(a-c-1)=1089.说明本例中a,b,c作为参数被引进，但运算最终又被消去了，而无须求出它们的值.这正是“设而不求”的未知数的典型例子.在列方程解应用题中，更是经常用到增设参数的方法，下面再举几个例题.例9从两个重量分别为12千克(kg)和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等.求所切下的合金的重量是多少千克？分析由于已知条件中涉及到合金中含铜的百分数，因此只有增设这两个合金含铜的百分数为参数或与合金含铜的百分数有关的其他量为参数，才能充分利用已知，为列方程创造条件.解法1设所切下的合金的重量为x千克，重12千克的合金的含铜百分数为p,重8千克的合金的含铜百分数为q(pHq)，于是有•笛q+[12.—签):p_zp(8-整理得5(q-p)x=24(q-p).因为pHq,所以q-pH0,因此x=4.8,即所切下的合金重4.8千克.解法2设从重12千克的合金上切下的x千克中含铜m千克，从重8千克的合金上切下的x千克中含铜n千克(mHn)，则这两个合金含门十(12—对「一m+(8--铜的百分数分别为巴和匕于是有一—=—-—曲z整理得5x(n-m)=24(n-m).

因为mHn,所以n-nHO,因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克.说明在解含参数的方程时，一般情况下可以把参数消去，转化成只含有待求未知数的一般方程,也就是说应用题的解答与参数的数值无关.例10某队伍长1998米(m)，在行进中排尾的一个战士因事赶到排头，然后立即返回,当这个战士回到排尾时,全队已前进1998米,如果队伍和这个战士行进的速度都不改变，求这个战士走过的路程.解法1设这个战士走过的路程为s米，所需要的时间为t小时(h),则这.个战士行进的速度为f米/小时；队伍行进的速度为宁】米f小吋，战士追上排头所需吋间为小吋，从排头回到排尾所需敢1993间为小时.于是有—+tt19981998719亟十—弓匚19981998———+消去参数t得s-解之得窗=19歿+19亦/冬S2=1998-19937?(.舍去)■即这个战士走过的路程为(19紀+1跆2庞_)氷.解法2设这个战士的行进速度为V1米/小时，队伍行进的速度为1993V*附则这个战士斓尾赶到排头所需时间为二初从排头返回排尾所需时闫为"的小时,臥伍行进199区米所需时间为巧+叫丄竺■小时-于是有5519981998_1998射1一甘2+v2所以整理得11所以整理得十=V1V2Jv；_缶洌-=0因此巧二（1±忑）巧（舍去负值）-19981993厂厂5P+72）v2=1998十199S4^.所以这个战士所走距离为巾'^即这个战士走过的路程为匕9呢+\9呢肱）/r