【新教材】数学人教B版必修第二册教学案：5.1.3 数据的直观表示

5・1・3数据的直观表示学案设tn—)+++—++—+・++十―十―"■学习目标能够在图形中读出相关信息,会画频率分布直方图,会用频率分布直方图估计总体.培养学生利用数学方法分析数据、解决实际问题的能力.能够在图形中读出相关信息,会画频率分布直方图,会用频率分布直方图估计总体.培养学生利用数学方法分析数据、解决实际问题的能力.通过画图培养学生耐心细致,严谨认真的科学态度.1.能够读懂柱状图、折线图及扇形图.会画茎叶图,能通过茎叶图求中位数、众数以及能够比较方差的大小.会画频率分布直方图,能通过频率分布直方图求中位数.【问题一】2015年7月6日的《中国青年报》报道:根据调查,有担当(76.5%)和踏实(74.5%)的年轻人最被受访者欣赏.奋进(54.7%)、坚毅(54.1%)、有梦想(50.2%),有闯劲(40.1%)、沉稳(36.7%)、直率(34.6%)、幽默(33.4%)、活泼(27.2%)、庄重(20.3%)、洒脱(20.0%)也是受访者欣赏的品质.你能将这一调查结果用图表进行形象化表示吗?如何使杂乱无章的数字更加直观,让人一目了然受访者更欣赏什么品质?【思考】柱状图的特点是什么?优点是什么?常考题型某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2016年和2019年的高考升学情况,得到如下柱图.■m则下列结论正确的是()计了该校2016年和2019年的高考升学情况,得到如下柱图.■m则下列结论正确的是()—本二本艺怆不上达娃率达圾率适绘率线率2016年高考数据统计2019年高考数据统计A.与2016年相比,2019年一本达线人数有所增加B.与2016年相比,2019年二本达线人数增加了0.5倍与2016年相比,2019年艺体达线人数相同与2016年相比,2019年不上线的人数有所增加问题二】国家统计局网站显示,2011~2015年高中在校学生数信息如下:年份2011年年份2011年2012年高中在校2学生数/万454.822467.17人2013年2014年2015年2435.8812400.4722374.399732如何形象的表示近几年高中在校学生数的变化趋势?折线图的特点是什么?优点是什么?常考题型某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如下,已知:利润=收入-支出,根据该折线图,下列说法正确的是()A.该企业2019()A.该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润B.该企业2019年第一季度的利润约是60万元H他图1图H他图1图2C.该企业2019年4月至7月的月利润持续增长D.该企业2019年11月份的月利润最大【问题三】情境与问题2016年12月17日至21日期间,北京市空气质量呈现重度及以上污染水平,经北京市政府批准,12月16日20时至21日24时,北京市启动了空气重污染红色预警,期间实行了机动车“单双号”限行等措施.《中国青年报》对2002人进行了调查,数据如下:647人非常支持,891人支持,348人态度一般,116人不支持.如果你是一名记者你会怎么整理和报道这些数据?请你用简单易懂的图表表示出上述问题.扇形图也称饼形图、饼图,同学们思考一下扇形图的优点是什么?常考题型小吴一星期的总开支分布如图1所示,一星期的食品开支如图2所示,则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）A.1%B.2%C.3%D.5%问题四】某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下（单位:分）:甲:12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50乙:8,13,13,14,16,23,26,29,33,35,38,39,51大家可以想象一下在学校篮球比赛的时候记分牌是什么样的?当你想到记分牌是什么时候,你能否想到一种更合适的表示方法?你能说出上述图是怎样构造出来的吗?有图中可以得出甲、乙两名运动员得分的信息吗?能否得出众数、中位数?能否看出方差及平均数的大小?能否不计算数据就能比较平均数及方差的大小?常考题型如图,茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员的5次训练成绩(单位:环),则成绩较为稳定的运动员成绩的方差为-甲乙97893109012【问题五】情境与问题课本72页是某学校全体学生一次政治考试的成绩(成绩省略,具体数据看课本).能否直接用前面提到过的图来表示上述数据?为什么?怎样才能直观地表示出上述数据的大致分布情况(比如指出哪个分数段的分数比较多,哪个分数段的分数比较少)?自己总结绘制频率分布直方图的步骤(2)(2)例题讲解例1为了了解学生的课业负担,甲、乙两所学校分别抽200名在校学生,了解他们完成作业所需的时间,并分别作出了频率分布直方图如图(1)(2)所示,其中分组的区间都为[0.5,1),[1,1.5),[1.5,2),[2,2.5),[2.5,3],记甲学校所得的中位数为x,乙学校所得的中位数为y,判断X与y的相对大小.例2例2某射击远动员一次射击训练的成绩可以整理成如图所示的频率分布直方图,试计算这次成绩的平均数与方差.常考题型某校高二理科学生期末数学考试成绩的频率分布直方图如图,则本次考试中该校高二理科学生数学成绩的中位数的估计值为•（精确到0.01）某校为了了解学生每天平均课外阅读的时间（单位:分钟）,从本校随机抽取了100名学生进行调查,根据收集的数据,得到学生每天课外阅读时间的频率分布直方图,如图所示,若每天课外阅读时间不超过30分钟的有45人.⑴求a,b的值;（2）根据频率分布直方图,估计该校学生每天课外阅读时间的中位数及平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.1.1.（2019•江西九江高三模拟）如图所示的是甲、乙、丙三个企业的产品成本（单位:万元）及其构成比例，则下列判断正确的是（）■朋料费口工资口扛他1:■朋料费口工资口扛他1:fc瞥-一他25¥--'乙企业支付的工资占成本的比重在三个企业中最大由于丙企业生产规模最大，故它的其他费用占成本的比重也最大甲企业本着勤俭创业的原则，将其他费用降到了最低乙企业用于工资和其他费用的支出额比甲、丙都高（2019•河南开封高三模拟）空气质量指数AQI是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差•某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数AQI，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图,则下列说法错误的是（）该地区在该月2该地区在该月2日空气质量最好该地区在该月24日空气质量最差该地区从该月7日到12日AQI持续增大该地区的空气质量指数AQI与这段日期成负相关为全面地了解学生对任课教师教学的满意程度,特在某班开展教学调查.采用简单随机抽样的办法,从该班抽取20名学生,根据他们对语文、数学教师教学的满意度评分(百分制),绘制茎叶图如图.设这20名学生对语文、数学教师教学的满意度评分的中位数分别为a,b,则()數学75gS7552604457986521070357S76531856993]093469A.a<bB.a>bC.a=bD.无法确定4•某地区100位居民的月用水量(单位:t)的分组及各组的频数如下:[0,0.5),4;[0.5,1),8;[1,1.5),15;[1.5,2),22;[2,2.5),25;[2.5,3),14;[3,3.5),6;[3.5,4),4;[4,4.5],2.列出样本的频率分布表;画出频率(或频数)分布直方图,并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数;当地政府制定了人均月用水量为3t的标准，若超出标准则加倍收费，当地政府解释说,85%以上的居民不超出这个标准,这个解释对吗?为什么?L_l参考答案自主预习略~课堂探究问题一略常考题型—:根据柱状图给出的信息，做差比较即可.解析:依题意，设2016年高考考生人数为x,则2019年高考考生人数为1.5x.由24%・1.5x-28%・x=8%・x>0,故选项A正确；由(40%・1.5x-32%・x)-32%・x=z,故选项b不正确；8由8%・1.5x-8%・x=4%・x>0,故选项C不正确；由28%・1.5x-32%・x=10%・x>0,故选项D正确.故选AD.问题二略常考题型~:由企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图直接求解.解析:由企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图,得在A中,该企业2019年1月至6月的总利润约为x1=(30+40+35+30+50+60)-(20+25+10+20+22+30)=118.该企业2019年7月至12月的总利润约为(80+75+75+80+90+80)-(28+22+30+40+45+50)=265.••该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润，故A正确;在B中,该企业2019年第一季度的利润约是(30+40+35)-(20+25+10)=50(万元)，故B错误；在C中,该企业2019年4月至7月的月利润分别为(单位:万元):10,28,30,52,•••该企业2019年4月至7月的月利润持续增长，故C正确；在D中,该企业2019年7月和8月的月利润比11月份的月利润大，故D错误.故选AC.问题三略常考题型~:由图1知食品开支占总开支的30%,由图2知鸡蛋开支占食品开支的丄，由此求得鸡蛋开支占总开支的百分比.10解析:由图1知,食品开支占总开支的30%,由图2知,鸡蛋开支占食品开支的30=130+40+100+80+5010’••鸡蛋开支占总开支的百分比为30%x丄=3%.10故选C.问题四略常考题型—:根据茎叶图中的数据判断乙的成绩较为稳定，计算乙的平均数和方差即可.解析:根据茎叶图中的数据知,甲的成绩为87,89,90,91和93；乙的成绩为88、89、90、91和92,乙的成绩分布均匀些.乙的平均成绩为壬="(88+89+90+91+92)=90,5方差为S2=］［(88-90)2+(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(92-90)2］=2.5故答案为2.问题五略例题讲解略~常考题型~:由频率分布直方图求出数学成绩在［50,110)的频率为0.36，数学成绩在［110,130)的频率为0.48,由此能求出本次考试中该校高二理科学生数学成绩的中位数的估计值.解析:由频率分布直方图得数学成绩在［50,110)的频率为(0.0016+0.008+0.0084)x20=0.36,数学成绩在［110,130)的频率为0.024x20=0.48,本次考试中该校高二理科学生数学成绩的中位数的估计值为:110+05036x20u115.83.0.48故答案为115.83.6.分析:(1)由频率分布直方图的性质列出方程组,能求出a,b.(2)由频率分布直方图,能估计该校学生每天课外阅读时间的中位数及平均值.解:(1)由题意得{(0.005+u+b+0.025+0.020+a)X10=1,{100X(0.005+a+b)x10=45,解得仔:0:03:⑵课外阅读时间在［0,30)的频率为(0.005+0.01+0.03)x10=0.45,课外阅读时间在［30,40)的频率为0.025x10=0.25,••中位数为30+g^x10=32(分钟).0.25平均数为5x0.05+15x0.1+25x0.3+35x0.25+45x0.2+55x0.1=32.5(分钟).核心素养专练

分析:先对图表的数据分析处理,再结合进行简单的合情推理逐一检验即可得解.解析:三个企业中甲企业工资所占成本的比重最大,故A错误,虽然丙企业生产规模大,但它的其他费用开支所占成本的比重与乙企业是一样的,故B错;甲企业其他费用开支最低,故C正确;甲企业的工资和其他费用开支额为4000万元,乙企业为5400万元,丙企业为6000万元,所以丙企业用于工资和其他费用支出额比甲、乙都高,故D错误.故选C.分析:由折线图可以观察出结果.解析:由折线图可知，该月2日指数AQI值最小，因此空气质量最好；该月24日指数AQI值最大，因此空气质量最差；该地区从该月7日到12日AQI值是持续增大；该地区的空气质量指数AQI与这段日期成正相关.故选D.分析:由茎叶图分别求出该班学生对语文、数学教师教学的满意度评分的中位数,由此能比较a,b.解析:由茎叶图得a=72+71=71.5,b=75+77=76」a<b故选A.224•分析:⑴由100位居民的人均月用水量(单位:t)的分组及各组的频数能作出频数分布表•由频率分布表能画出频率分布直方图,由频率分布直方图能求出这组数据的平均数、中位数、众数.大约有12%的居民月均用水量在3t以上,88%的居民月均用水量在3t以下，因此，政府的解释是正确的.解:(1)作出频数分布表,如下:分组频数频率[0,0.5)40.04[0.5,1)80.08[1,1.5)150.15[1.5,2)220.22[2,2.5)250.25[2.5,3)140.14[3,3.5)60.06[3.5,4)40.04[4,4.5]20.02合计1001.00(2)由频率分布表画出频率分布直方图，如下:0,500,406300,200.1000,500,406300,200.1001512-5耳3』1512-5耳3』44一5月均用水帥由频率分布直方图得这组数据的平均数为%=0.25x0.04+0.75x0.08+1.25x0.15+1.75x0.22+2.25x0.25+2.75x0.14+3.25x0.06+3.75x0.04+4.25x0.02=2.02.••月用水量在［0,2)的频率为0.04+0.08+0.15+0.22=0.49,月用水量在［2,2.5)的频率为0.25,••中位数为2+05049x0.5=2.02(t),0.25众数为4=2.25(t).2⑶人均月用水量在3t以上的居民的比例为6%+4%+2%=12%,即大约是有12%的居民月均用水量在3t以上,88%的居民月均用水量在3t以下，因此，政府的解释是正确的.学案设计(二)1.通过具体实例,掌握常用的五种统计图表的功能及其特点.2.通过自己参与能根据实际问题的特点,选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述,体会合理使用数据图表的重要性.3.通过将初中学的统计知识和现在学的统计图表知识进行联系,正确运用图表解决问题,培养学生数据分析和直观想象的核心素养.任务一:阅读课本68~74页,完成以下问题.一、阅读课本68页【情境与问题】,完成以下问题.将这一调查结果如何用图表进行形象化表示?柱形图有什么特点?二、阅读课本69页【情境与问题】,完成以下问题.(1)如何形象的表示上述数据,以便发现这几年高中在校学生数的变化趋势?(2)折线图有什么特点?三、阅读课本70页【情境与问题】,完成以下问题.(1)如果你是《中国青年报》的记者,你会怎样整理和报道这些数据?(2)扇形图有什么特点?四、阅读课本71页【情境与问题】,完成以下问题.(1)你能说出上述图是怎样构造出来的吗?(2)由图中可以得出甲、乙两名运动员得分的哪些信息?茎叶图有什么特点?五、阅读课本72页【情境与问题】,完成以下问题.(1)能否直接用前面提到过的图来表示上述数据?为什么?(2)怎样才能直观地表示出上述数据的大致分布情况?(3)频数分布直方图和频率分布直方图有什么特点?它们有什么区别?作频率分布直方图有哪些步骤?任务二:通过所学五种统计图表知识,解决以下实际问题.【应用1】课本74页例1和例2,同学们自学.【应用2】随着通信技术的迅猛发展,人与人之间的沟通方式更多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷(每人必选且只选一种),在全校范围内随机调查了部分学生,将统计结果绘制了如下所示两幅不完整的统计图,请结合图中所给信息,解答下列问题.1呱$10D.6S1呱$10D.6S(1)本次调硏活动共调查了名学生，表示"QQ”的扇形圆心角的度数是度;⑵请你补充完整条形统计图；(3)如果该校有2500名学生,请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名?【应用3】"义乌•中国小商品城指数”简称"义乌指数”•如图是2019年3月19日至2019年4月23日的"义乌指数”走势图，下面关于该指数图的说法正确的是()+罠乌搞数.5|；:|1m月19口3月為口4月2口4P39口4JI1U口4月加口4月2日的指数为图中的最高指数4月23日的指数为图中的最低指数3月19日至4月23日指数节节攀升4月9日的指数比3月26日的指数高【应用4】某中学甲、乙两名同学最近几次的数学考试成绩情况如下:甲的得分:95,81,75,89,71,65,76,88,94,110,107;乙的得分:83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.画出两人数学成绩的茎叶图,并根据茎叶图对两人的成绩进行比较.【应用5】为了了解高一年级学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形的面积之比为2:4:17:15:9:3,第二小组的频数为12.1频事第二小组的频率是多少?样本容量是多少?若次数在110以上(含110次)为达标,则该校全体高一年级学生的达标率是多少?■■■■■■亥心素养专练1.如图是某足球队全年比赛情况统计图:比赛场庆30120:V20%平25%2.下面的图表是护士统计的一位病人一天的体温变化情况:63K.0比赛场庆30120:V20%平25%2.下面的图表是护士统计的一位病人一天的体温变化情况:63K.037.610141822时铀时时间6:00体温/°C37.610:0014:0018:0022:0038.338.039.137.9胜负平出赛结果根据图中信息，该队全年胜了场.A.45B.50C.55参考答案D.60A.45B.50C.55参考答案D.60通过图表,估计这个病人下午16:00时的体温是()A.38.0CB.39.1CC.37.6CD.38.6C作品A89923jt2143•某校开展"爱我海西，爱我家乡”摄影比赛,9位评委给参赛作品A打出的分数如茎叶图所示,记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91,复核员在复核时,发现一个数字(茎叶图中的x)无法看清•若记分员计算无误，则数字x应该是.4•某班的全体学生参加英语测试成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]•若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是自主预习任务一：一、(1)柱形图(也称为条形图)可以形象地比较各种数据之间的数量关系,因此上述情境与问题的结果可以用柱形图表示.(2)柱形图中,一条轴上显示的是所关注的数据类型,另一条轴上对应的是数量、个数或者比例,柱形图中每一矩形都.是等宽的二、(1)用折线图来表示上述情境与问题中的数据.(2)折线图是用折线的升降来表示统计数据的变化趋势,通常用横轴上的数字表示样本值,用纵轴上的单位长度表示定的数量,根据样本值和数量的多少描出相应各点,然后把各点用线段顺次连接,得到一条折线.折线图可以表示数量的多少,也可以反映数据的增减变化情况.三、(1)用扇形图(也称为饼图、饼形图)来形象地表示这一结果.

(2)扇形图(也称为饼图、饼形图)就是用一个圆表示总体,圆中各扇形分别代表总体中的不同部分,每个扇形的大小反映了占总体的百分比.通过扇形统计图可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况.扇形图中,每一个扇形的圆心角以及弧长,都与这一部分表示的数据大小成正比.四、(1)中间的数字表示两位运动员得分的十位数,两边的数字表示得分的个位数.(2)甲得分的最大值是50,最小值是12,中位数为36;乙得分的最大值是51,最小值是8,中位数为26;甲的得分大多数集中在［30,40),而且小于31分和大于39分的次数相差不多,因此可以估计出甲的平均数应该在［30,40);乙的得分的平均数应该在［20,30),从茎叶图中我们可以估计出甲的平均数大于乙的平均数,还能看出甲得分的数据比较集中,乙得分的数据比较分散,两者的数据个数相等,因此可以估计出甲得分的方差小于乙得分的方差.(3)茎叶图是能保留原始数据且能简化数据进而表现数据分布的一种统计图.茎叶图中间的数字表示十位数,两边的数字表示个位数.一般来说,茎叶图中,所有的茎都竖直排列,而叶沿水平方向排列.茎叶图也可以只表示一组数.将一组数整理成茎叶图后,如果每一行的数都是按从大到小(或从小到大)顺序排列,则从中可以方便地看出这组数的最值、中位数等数字特征.茎叶图不但能够保留原始数据,而且从茎叶图中还可以看出一组数的分布情况,从而能够得到一些额外的信息.五、(1)不能,所得数据的个数比较多时,要在图中体现每一个数字的大小,麻烦也没必要.(2)利用直方图:频数分布直方图与频率分布直方图表示出上述数据的大致分布情况.频数分布直方图的纵坐标是频数,每一组数对应的矩形高度与频数成正比;频率分布直方图的纵坐标是频率，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于这一组数对应的组距频率,从而可知频率分布直方图中,所有矩形的面积之和为1.作频率分布直方图有的步骤:找出最值，计算极差；合理分组，确定区间；整理数据(列频率分布表)；画频率分布直方图.课堂探究［应用1】例1由5-1-12(1)可以看出,xe［2,2.5);由5-1-12(2)可以看出,y曰1.5,2).因此x>y.例2设运动员共射击了n次，则由图可知，射中7环与10环的次数为0.2n，射中8环与9环的次数为0.3n.因此平均数为o.2"x7+o.3"x8+o.3"x9+o.2"xio=o.2x7+O.3x8+O.3x9+O.2x1O=8.5.n类似的,可以算出方差为0.2x(7-8.5)2+0.3x(8-8.5)2+0.3x(9-8.5)2+0.2x(10-8.5)2=1.05.【应用2】解:⑴电话占比20%，共40人，所以共调查了学生数为皿=200(名).20%QQ占比血=30%,圆心角为如x360°=108°.200100⑵短信人数:5%x200=10(名)，微信人数:200-40-10-60-10=80(名).补全条形统计图如下:⑶最喜欢用微信沟通所占百分比为皿，200皿x2500=1000(名