中考复习 因动点产生相似三角形

因动点产生的相似三角形问题例1如图1,在平面直角坐标系2)•中，顶点为M的抛物线y=X+加(Q0)经过点A和x轴正半轴上的点3,A0=B0=2,ZAOB=120。.求这条抛物线的表达式；连结0M,求ZAOM的大小；如果点C在x轴上，且zMBC与ZkAOM相似，求点C的坐标.第(2)题把求ZAOM的人小，转化为求ZBOM的犬小.因为ZBOM=ZABO=30°,因此点C在点B的右侧时，恰好有ZABC=ZAOM.根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与ZVIOM相似.如图2,过点A作4H丄y轴，垂足为H.在RtAAOH中，A0=2,ZAOH=3O0,所以AH=1,OH=书.所以因为抛物线与x轴交于0、B(2,0)两点，设y=ax(x—2),代入点A(-1,Q,可得«=—.所以抛物线的表达式为尸纽〜卑宀琴厂⑵心影辱呼7乎得抛物线的顶点M的坐标为(1,-£).所以tanZBOM=£

所以ZB0M=3(r・所以ZAOM=150^・得tanZABO=3所以ZABO=30<>,OA~OM(3)FhA(-1,>/3).得tanZABO=3所以ZABO=30<>,OA~OM因此当点C在点3右侧时，ZABC=ZAOM=15OC・△ABC与ZiAOM相似，存在两种情况:=2・此时C(4,0)・①如图=2・此时C(4,0)・①如图3'当鈔船砂BC=*BA=*x2怎=6・此时C(&0)・在本题情境下，如果△ABC与ABOM相似，求点C的坐标.如图5,因为ABOM是30°底角的等腰三角形，ZABO=3Q°,因此zMBC也是底角为30°的等腰三角形，AB=AC,根据对称性，点C的坐标为（一4.0）.例2如图1,已知抛物线），=丄/一丄0+］）丫+匕（b是实数且b>2）与x轴的正444半轴分别交于点A、B（点4位于点3是左侧），与y轴的正半轴交于点C.（1）点3的坐标为，点C的坐标为（用含b的代数式表示）；

请你探索在第一彖限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面枳等于2b,且APBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；请你进一步探索在第一彖限内是否存在点Q,使得△0CO、AQOA和△0AB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)？如果存在，求出点Q的坐标：如果不存在，请说明理由.2428解得“竺.所以点P的坐标为(竺■竺)・2428解得“竺.所以点P的坐标为(竺■竺)・4444①如图4,以04、OC为邻边构造矩形OAQC,那么△OQC^AQOA.思弘点拨第(2)题中，等腰直角三角形PBC示了点P到两坐标轴的距离相等.联结0P,把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示.第(3)题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点0最人的可能在经过点A与x轴垂直的直线上.B的坐标为&0),点C的坐标为(0,-).如图2,过点P作PD丄x轴，PE丄y轴，垂足分别为D、E,那么△PDB空HPEC.因此PD=PE.设点P的坐标为(x,X).如图3,联结OP・所以SnaiKpcob=S^pco4-S^pbo=—x—•xH"—xb・x=—bx=2b・QAOA当聖=廻，即QA1=BAOA时，^BQA^AQOA.QAOA所以(纣"-1・解得b=8±4芾.所以符合题意的点0为(L2+V3).4②如图5,以0C为直径的圆与直线尤=1交于点0那么ZO0C=9(r。因此△OC0SA0OA.当£|=号|时，\BQks此时ZO03=9O".所以C、0B三点共线.因此竺=型，即匕=笑.解得04=4.此时2(1,4).COOAbI考点伸爰第(3)题的思路是，A、C、0三点是确定的，3是x轴正半轴上待定的点，而ZQOA与ZQOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况.这样，先根据△004与相似把点0的位置确定卞来，再根据两直角边对应成比例确定点3的位置.如图中，圆与直线x=l的另一个交点会不会是符合题意的点0呢？如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB=40C矛盾.例3如图1，已知抛物线的方程Cl：y=-—(x+2)(x-m)(m>0)与x轴交于点B、mC,与v轴交于点&且点B在点C的左侧.9T若抛物线C1过点M(2,2),求实数m的值；在(1)的条件下，求△BCE的面积；在(1)的条件卞，在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小，求出点H的坐标；在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F,使得以点3、C、F为顶点的三角形与相似？若存在，求加的值；若不存在，请说明理由.图1

第(3)题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BH+EH最小.第(4)题的解题策略是：先分两种情况画直线BF,作ZCBF=ZEBC=45°,或者作BF//EC.再用含加的式子表示点F的坐标.然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于加的方程.将M(2,2)代入y=_丄(兀+2)(x_w?)，得2=-丄x4(2-〃7)•解得m=4.mm当加=4时，),=一丄(兀+2)(.¥—4)=一丄”+丄¥+2・所以C(4,0),E(0,2)・442所以Sasce=丄BC・OE=—x6x2=6・22如图2,抛物线的对称轴是直线x=l,当H落在线段EC上时，BH+EH最小.设对称轴与x轴的交点为P，那么竺=竺.CPco因此¥=扌.解得HP气.所以点H的坐标为(1,|).①如图3,过点3作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FF±x轴于F.由于ZBCE=ZFBC,所以当空=竺，即BC2=CEBF时，ABCE^AFBC.得存75得存75/x+2m设点F的坐标为（x,-—（x+2）（x-m）），由空1=竺?mBF第(第(2)题用含S的代数式表示X2-X1，我们反其道而行之，用M，上表示S.再注意平移过程中梯形的高保持不变，即山一八=3.通过代数变形就可以了.解得x=m+2.所以F（加+2,0）.由竺=竺CEBF得_川+4所以bf=W+4）&i：+4

后+4BF由竺=竺CEBF由BC'CEBF,得（加+2），=+4x（〃‘+时J仪土m②如图4,作ZCBF=45°交抛物线于F,过点尸作FF丄x轴于几由于ZEBC=ZCBF,所以竺=竺，即BC1=BEBF时，HBCEs/\BFC.BCBF在RtABFF^h，由FF=BF,得l(x+2)(x-/»)=%+2・m解得x=2m.所以F(2加,0).所以EF=2加+2,BE=^2(2m+2).由BC‘=BEBF,得(in+2)1第(3)题最人的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证.第(3)题的示意图，不变的关系是：直线4B与x第(3)题最人的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证.第(3)题的示意图，不变的关系是：直线4B与x轴的夹角不变，直线AB与抛物综合①、②，符合题意的加为2+2>/2.考点伸畏第(4)题也可以这样求EF的长：在求得点F、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长.例4如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O、A】、G、B“得到如图2的梯形OlAiBtCi.设梯形OlAiBiCi的面积为S,的坐标分别为(Xi，力)、(兀2,V2)-用含S的代数式表示x2—X!，并求出当S=36时点儿的坐标；在图1中，设点D的坐标为(1,3),动点P从点3出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点0从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、0两点同时出发，当点0到达点M时，P、0两点同时停止运动.设P、0两点的运动时间为/,是否存在某一时刻f，使得直线PQ、直线AB、x轴【韦I成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴闱成的三角形相似？若存在，请求出f的值；若不存在，请说明理由.

线的对称轴的夹角不变.变化的直线P0的斜率，因此假设直线P0与AB的交点G在只轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方.满分解冬（1）抛物线的对称轴为直线x=l,解析式为）,=丄疋一丄1顶点为M（1,-A）.848（2）梯形0淤的面枳S=2（儿_1+亠_U%3=3（兀+兀）_6,由此得到23=yl>2于由72T-43=yl>2于由72T-421-00=3.因此得到花一不得整尢+x.=14,尢+x.=14,当S=36时，-x2-xk=2.解得£1此时点旳的坐标为（6,3）・&=&（3）设直线AB与P0交于点G,直线AB与抛物线的对称轴交于点£,直线P0与x轴交于点F，那么要探求相似的AGAF与△G0E,有一个公共角ZG.在△GE0中，ZGEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值.在AGAF中，ZGAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且ZGEQHZGAF.因此只存在ZGQE=ZGAF的可能，“GQEsHGAF.这时ZGAF=ZGQE=ZPQD.由吋―扌，论倒琲=占,所畤占解得心琴第（3）题是否存在点G在只轴上方的情况？如图4,假如存在，说理过程相同，求得的F的值也是相同的.爭实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3・

例5如图1,抛物线经过点A(4,0)、B(1,0)、C(0,-2)三点.求此抛物线的解析式；P是抛物线上的一个动点，过P作PM丄x轴，垂足为M,是否存在点P,使得以A、P、M为顶点的三角形与△O4C相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标：若不存在，请说明理由；在直线AC上方的抛物线是有一点D,使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标.已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便.数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长.按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程.把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA.满分解冬因为抛物线与x轴交于A(4,0)、B(1,0)两点，设抛物线的解析式为y=a(x-l)(x-4),代入点C的坐标(0,-2),解得a=--.所以抛物线的解析式为2y=_*(兀-1)(兀_4)=_扌开+討_2•设点P的坐标为(x--^(x-l)(x-4)).①如图2,当点P在x轴上方时，1<xV4,PM=-|(x-l)(x-4),AM=4-x.AMAO_扣_1)(乳_4)PMCO如果如=也显，那么仝口丄解得“2.PMCO24-x2此时点P的坐标为(2,PMCO如果如=也显，那么仝口丄解得“2.PMCO24-x2此时点P的坐标为(2,1).—(x-l)(x-4)解方程=2,得x=5・此时点P的坐标为(5-2)・x-4-(x-l)(x-4)]解方程=-,得x=2不合题意.x-42③如图4,当点P在点B的左侧时，x<bPM=*(x—l)(x—4),AM=4-x.—(x_l)(x_4)解方程=2,得x=—3・此时点P的坐标为(-3-14)・4-x-(x-l)(x-4)]解方程=-,得x=0・此时点P与点0重合，不合题意.4-x2综上所述,符合条件的点P的坐标为(2,1)或(-3,-14)或(5,-2).设点D的横坐标为in(1<m<4),那么点£>的坐标为(in--nr+-m-2)，点E的2坐标为(m,—m-2).所以DE=(-—nr+—m-2)-(-m-2)=-—nr+2m.222因此Ssm=—w2+2m)x4=-m2+4/m=-(in-2)2+4.22当m=2时，ADG4的面积最人，此时点D的坐标为(2,1).

考点伸爰第(3)题也可以这样解：如图6,过D点构造矩形OAMN,那么△DCA的面枳等于直角梯形CAMN的面枳减去△CDN和ZXADM的面积.设点D的横坐标为(〃?，")(1<m<4),那么S=—(2n+2)x4--m(n+2)/?(4一m)=-m+2〃+4.222由于n=-—m2+—w-2,所以S=-nr+4/w.22例61•枪物线—5)与x轴的交点为M、N.血线+6与工轴交于P(-2.0).与y轴交于C.若A、B购点在血线+・RAO-BO-72.AO丄BO.D为线段MN的中点・OH为RtAOPC边上的岛.(DOH的长度审于▲』=▲.6=▲・(2)霆否專在实便鮒拋物线>-a(x4-l)(x-5)上布一点E・満足以D、N、E为頂点的三角形与AAOB相似？若不存庄，说明理由：若仔在•求所有符合条件的抛務线的解析式•同时探索所求得的抛物线上是否还右符合条件的E点(简耍说明理由卄并进一步探索对符合条件的毎一个E点•血线NE与血线的交点G是否总滞足P/3・PGVIOQ.写岀探索过程.求等腰直角三角形OAB斜边上的高OH,解直角三角形POH求R、b的值.以DN为边画正方形及对角线，可以体验到，正方形的顶点和对角线的交点中，有符合题意的点£，写出点E的坐标，代入抛物线的解析式就可以求出a.当E在x轴上方时，ZGNP=45°,'POBs^PGN,把PB・PG转化为PO・PN=\4.当E在x轴下方时，通过估算得到PB・PG人于10^2.

(2)由抛物线的解析式y=a(x+l)(x-5),得点M的坐标为(-1,0)，点N的坐标为(5,0).因此MN的中点D的坐标为(2,0),DN=3.因为AAOB是等腰直角三角形，如果ADNE与ZkAOB相似，那么ADNE也是等腰直角三角形.如图2,如果DN为直角边，那么点£的坐标为(2,3)或忌(2,—3).将巴(2,3)代入y=o(x+l)(x-5),求得a=-i.1/