中考中的最值问题选讲

8中考中的最值问题选讲武汉六中上智中学程松青结论1：直径是圆中最大的弦.〖例1〗如图，AB是00的一条弦，点C是00上一动点，且ZACB=30。，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与0O交于G、H两点.若00的半径为7,则GE+FH的最大值为简答：由点E、F分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定理得出EF=2AB=3.5为定值，则GE+FH=GH-EF=GH-3.5，所以当GH取最大值时，GE+FH有最大值.而直径是圆中最长的弦，故当GH为00的直径时，GE+FH有最大值14-3.5=10.5.结论2：过圆内一点的弦中，与过该点的直径垂直的弦最短.〖例2〗在平面直角坐标系x0y中，以原点0为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx-3k+4与00交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为简答：y=kx-3k+4过定点D（3,4）,连接0D,过点D作弦CB丄0D,则CB为最短的弦，因为0B=13,0D=5，所以BD=12，所以BC=24结论3：弓形上的点到弦的距离中，最大距离是该弧的中点到弦的距离（或者过圆心的一条垂线段）〖例3〗如图，已知00的半径为2,弦BC的长为2耳3，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B,C两点除外）.（1）求ZBAC的度数；（2）求厶ABC面积的最大值.

〖例4〗如图，直线y=2x+2与两坐标轴交于A、B两点，以AB为直径作OM,P(a,b)为OM上一动点，则b-a的最大值是结论4：如图，若点P不在上，射线0P交。0于M,射线0P的反向延长线交00于N,则点P到圆上各点中，PM的长最小，PN的长最大.MM〖例5〗如图，在RtAABC〖例5〗如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,点D是平面内的一个动点，且AD=4,M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的最大值是小值为K例6〗在矩形ABCD中，BC=&AC=10,点P为边BC上一动点，连接AP,点E为AP上一点，且AE,AP的长为一元二次方程2ax2+(a+1)x+18a=0(a丰0)的两个根，则CE的最K例7〗等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDP中，AC=BC=<5,CD=CP,且PB=、込，则BD的最大值是,BD的最小值是PB=、込，则BD的最大值是,BD的最小值是AB〖例8〗如图，00的直径为4,C为00上一个定点，ZABC=30°,动点P从A点出发沿半圆AB向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧），当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于点D.则AD的最大值为〖例9〗如图，已知△ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,点D是BC的中点.作正方形DEFG,连接AE,若BC=DE=2,在正方形DEFG绕点D旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值.简答如图：AF=<13结论5:如图，直线L与。0相离，线段0P丄L,垂足为P,交。0于点M,PO的延长线交。0于点N,则。0上各点到直线L的相离中，最小距离是PM的长，最大距离是PN的长.〖例10〗在平面直角坐标系xOy中，已知点A(6，0)，点B(0,6),动点C在以半径为3的00上,当点C在00上运动到什么位置时，AABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值.xx简答：由AOAB为等腰直角三角形得AB二P20A二6迈,根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时，AABC的面积最大，过0点作0E丄AB于E,0E的反向延长线交00于C，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出0E,然后计算厶ABC的面积为9迈+18；〖例11〗如图，点P为半圆上任意点，E为BP的中点，AB=8,AD=6,则四边形ADCE面积的最小值为

结论6：直线L与半径为r的圆相离，圆心0到直线L的距离为d,点P为直线L上任意一点，PA与。0相切于点A,则PA的最小值是fd2r2,此时ZOPA最大.〖例12〗如图，在RtAAOB中，0A=0B=^2,00的半径为1,点P是AB边上的动点，过点P作00的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为2J2.，，0P=AB，，0P=AB简答:首先连接OP、0Q，根据勾股定理知PQ2=0P2-0Q2，可得当0P丄AB时，线段0P最短,即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案解：连接0P、0Q.•••PQ是00的切线，.•・0Q丄PQ；根据勾股定理知PQ2=0P2-0Q2,・•.当P0丄AB时，线段PQ最短,••在RtAA0B中，0A=0B=3'.-;2,.•・AB=l20A=6,0A-0BQ=3，〖例14〗如图，在矩形ABCD中，CD是00的直径，E是BC中点，P是直线AE上任意一点,AB=4,BC=6,PM,PN是00的切线，M,N是切点，当ZMPN最大时，PM的长为.结论7：弦与弦心距的关系：弦心距越大，弦越小；弦心距越小，弦越大.弓形的弦与所对的圆周角的关系：圆周角越大，所对的弦越大.〖例15〗0A经过00的圆心0,M、N分别在00和OA上，且MN丄N0,已知两圆的半径分别是3、1.则MN的长的最小值.CCK例16〗如图，点C是00上一点，00的半径为2迈,D、E分别是弦AC、BC上一动点,且OD=OE=<2,则AB的最大值为.结论8：取水问题、轴对称问题〖例17〗已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8,M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值为〖例18〗在厶ABC中，已知ZA=60°，ZC=75°，AB=10，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，则△DEF的周长的最小值为（5J6）.K例19〗如图，在菱形ABCD中，设AE丄BC于点E,cosB=5,EC=2,点P为边AB上一动点,则PE+PC的最小值为(则PE+PC的最小值为(彳；)〖例21〗△ABC中，ZABC=90°,AB=BC,0为AC的中点，AABE是等边三角形，M为OB上一点，当AM+BM+CM的最小值是J3+1时，BC=结论10:垂线段最短.〖例22〗如图，在RtAABC中,AC=3,BC=4,点D为斜边AB上一点，DE丄BC,DF丄AC，垂足分别为E、F.当线段EF最小时，cosZEFD=K例23〗如图，两个同心圆的半径分别为1,4，则矩形ABCD的面积最大值为

结论11：二次函数型〖例24〗如图，已知AB为00的直径，CD平分ZACB，与00交于点D,AB与CD交于点E.若AC+BC=14，则CE的最大值为./r