82020河北中考数学分层刷题训练.数学 第7讲 一元二次方程

8第7讲一元二次方程河北中考怎么考河北中考怎么考(2019,河北)小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(aZ0)时，只抄对了a=l,b=4,解出其中一个根是x=—l.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是(A)不存在实数根有两个不相等的实数根有一个根是x=—1有两个相等的实数根【解析】把X1代入方程X2+4x+c-2=0，得c—5，则原方程为x2+4x+5—0,A二42-4X5<0,所以原方程没有实数根.(2016,河北)a,b,c为常数，且(a—c)2>a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是(B)有两个相等的实数根有两个不相等的实数根无实数根有一根为0【解析】由(a-c)2>a2+c2得出-2ac>0，•仏—方2-4ac>0.•:方程有两个不相等的实数根．(2015,河北)若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是(B)A.a<1B.a>1C.aW1D.a三1【解析】•・•关于x的方程x2＋2x＋a—0不存在实数根，Ab2-4ac—22-4X1Xa<0.解得a>1.4.(2014,河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)的求根公式时，对于b2—4ac>0的情况，她是这样做的：由于aM0,方程ax2+bx+c=0变形为：…第一步bcx2十~x=—_,…第一步aax2+^x+2bx2+^x+2b2—4ac，…第三步4a2…第二步x+2a='"la""(x+2a='"la""(b2—4ac>0)，…第四步—b+i：b2—4acx=•…第五步=0(aM0)的求根公式是(——b±'Jb2——4acx=2a(2)用配方法解方程：x2—2x—24=0.)；2a(1)嘉淇的解法从第四步开始出现错误;事实上，当b2—4ac>0时，方程ax2+bx+c解：⑴四x=兰尹⑵移项，得x2-2x=24.配方，得x2—2x+l=24+l,即(x—1)2=25.开方，得x—1=±5.••X]=6,兀2=—4.(S角三一元二次方程的解法例1(1)(2019，常德)解方程：x2—3x—2=0(2)(2019，无锡)解方程：x2—2x—5=0；⑶(2019，绍兴)x为何值时，两个代数式X2+1,4x+1的值相等?解：(1)Va=1，b=—3，c=—2,/.b2—4ac=(—3)2—4X1X(—2)=9+8=17.x=——b土寸x=——b土寸b2—4ac3土寸172a2.=3+吋巧••X]23—；x2=2⑵移项，得X2—2x=5.配方，得x2—2x+1=5+1，(x—1)2=6.由此可得x—1=±,'6.•x1=1+h.'6，x2=1—■'6.(3)由题意，得x2+1=4x+1.移项、合并同类项，得x2—4x=0.因式分解，得x(x—4)=0.于是得x=0，或x—4=0.•・兀1=0，兀2=4・针对训练1(2019,石家庄新华区质检)将一元二次方程x2—6x+5=0配方后，原方程变形为(D)A.(x—3)2=5B.(x—6)2=5C.(x—6)2=4D.(x—3)2=4【解析】移项，得x2_6x5•配方，得疋-6x+9=-5+9,(x-3)2=4.针对训练2解下列方程：x2—2x—1=0；x2—1=2(x+1)；x2+3x=—4.解：(1)a=1，b=—2，c=—1.△=b2—4ac=4+4=8>0.

・••方程有两个不相等的实数根.•x==1土迈,——b±\''b2——4ac2±•x==1土迈,2a2即X]=1+冷2,x2=1-边.⑵移项，得X2——1——2(x+1)=0.因式分解，得(x+1)(x——3)=0.于是得x+1=0,或X—3=0.••X]=—1,兀2=3・x+3)2x+3)2=2.(3)配方,得X2＋3X＋——M,3由此可得x+3=±V2.33・X]=——㊁2,x2=——2——S'2.角:二一元二次方程根的判别式例2(2019,保定二模)已知关于X的一元二次方程x2+(k-1)x+k-2=0.求证：方程总有两个实数根；若方程有一个根为正数，求实数k的取值范围.(1)证明：J=(k-1)2-4(k-2)=k2-2k+1-4k+8=k2-6k+9=(k-3)2.•.•(k—3)2^0,・方程总有两个实数根(2)解：x(2)解：x=—(k—1)土(k—3)2•・兀1=一1,x?=2一k.••方程有一个根为正数，・・・2—k>0.解得k<2.针对训练3(2019，石家庄质检)已知关于x的一元二次方程x2+4x-k=0.当一6VkV0时，该方程解的情况是(D)A.有两个不相等的实数根B.没有实数根有两个相等的实数根D.不能确定【解析】力二16+4k.当-6<k<0时，不能确定/的正负，因此不能确定根的情况.针对训练4(2019，聊城)若关于x的一元二次方程(k—2)x2—2kx+k=6有实数根，则k的取值范围为(D)A.k20C.k三3【解析】A.k20C.k三3【解析】3D.k三㊁且k^2原方程化为一般形式为(k-2)x2-2kx+k-6=0方程有实数根，则△二(-2k)2-4(k-2)(k-6)二32k-4820,解得k現因为二次项系数k-2^0,即E,所以k的取值范围为k23且kH2.〔匸反二：一元二次方程的实际应用例3(2019，唐山路北区一模)某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元．已知两次降价的百分率相同.设每次降价的百分率为X,根据题意列方程得(B)A.168(1+x)2=108B.168(1—x)2=108C.168(1—2x)=108D.168(1—x2)=108【解析】原价为168元，降价一次为168(1-x)元，在此基础上再降价一次为168(1-x)2元，就是108元.针对训练5(2019,新疆)在某篮球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛36场•设有x个队参赛，根据题意，可列方程为(A)A.2x(x-1)=36B.2x(x+1)=36C.xG-1)=36D.x(x+1)=36【解析】有x个队参赛，每队参加(x-1)场比赛，这样每场比赛就算了两次，因此可列方程1x(x-1)二36.针对训练6(2019，徐州)如图，有一块矩形硬纸板，长30cm,宽20cm.在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出的小矩形部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当解：设剪去正方形的边长为xcm,则做成无盖长方体盒子的长为(30—2x)cm，宽为(20—2x)cm，高为xcm.依题意，得2X[(30—2x)+(20—2x)]x=200.解得x1=2，工2=10.当x=10时，20—2x=0，不合题意，舍去.答：当剪去正方形的边长为2cm时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2.中考者场卖战诫练、选择题(2019，甘肃)若一元二次方程x2-2kx+k2=0的一个根为x=-1,则k的值为(A)A.－1B.0C.1或－1D.2或0【解析】把x=-1代入原方程，得k=-1.(2019，滨州)用配方法解一元二次方程x2-4x+1=0时，下列变形正确的是(D)A.(x-2)2=1B.(x-2)2=5C.(x+2)2=3D.(x-2)2=3【解析］移项，得x2_4x―-1-配方，得x2-4x+4二-1+4,(x-2)2—3.(2019,保定竞秀区质检)下列方程中，没有实数根的是(B)A.x2-6x＋9=0B.x2-2x＋3=0C.x2-x=0D.(x＋2)(x-1)=0【解析】分别算出每个方程的根的判别式的值，只有选项B的力<0.(2019，盐城)关于x的一元二次方程x2-kx-2=0(k为实数)根的情况是(A)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定【解析】*.*J—(-k)2-4X1X(-2)—k2+8>0，•:方程有两个不相等的实数根•(2019，淮安)若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(B)A.kV—1B.k>—1C.k<1D.k>1【解析】方程有两个不相等的实数根，则/—22-4X1X(-Q—4+4k>0.解得k>-1.(2019,石家庄43中质检)已知关于x的一元二次方程2x2—kx+3=0有两个相等的实数根，则k的值为(B)A.+\'6B.±2<6C.2或3D.<2或V3【解析】方程有两个相等的实数根，则J—k2-4X2X3—k2-24—0•解得k二±2®(2019,自贡)关于x的一元二次方程x2-2x+m=0无实数根，则实数m的取值范围是(D)A.m<1B.m三1C.mW1D.m>1【解析】方程无实数根，则J—4-4mv0.解得m>1.(2019，宁波)能说明命题“关于x的方程x2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例为(D)A.m=-1B.m=0C.m=4D.m=5【解析】方程有实数根的条件是J—16-4m^0，解得mW4.所以当m—5时，方程没有实数根，可以作为该命题是假命题的反例.(2019，哈尔滨)某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为(A)A.20%B.40%C.18%D.36%【解析】设平均每次降价的百分率为x.由题意，得25(1-x)2—16・解得x1—1(舍去),x2—丄二20%.5

11.(2019,广西北部湾经济区)扬帆中学有一块长30m、宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学的设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm,的宽度为xm,贝9可列方程为(D)第11题图A.(30A.(30-x)(20-x)=4X20X30B.(30-2x)(20-x)=4X20X30C.30xC.30x+2X20x=|x20X30D.(30-2x)(20-x)=4X20X30【解析】新空地是矩形，长是(30-2x)m,宽是(20-x)m题中等量关系是种花之后的新空地面积是原来的4,由此可得方程.12.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，贝这种植物每个支干长出的小分支个数是(C)A.4B.5C.6D.7【解析】设这种植物每个支干长出x个小分支•依题意，得1+x+x2二43.解得xi=-7(舍去),x2二6.二、填空题(2019，扬州)一元二次方程x(x-2)=x-2的根是x±=2,x2=1•【解析】移项，得x(x-2)-(x-2)=0.因式分解，得(x-2)(x-1)=0.于是得x-2=0,或x-1=0.所以x1=2,x2二1.(2019，南京)已知2+岳是关于x的方程x2-4x+m=0的一个根，则m=1.【解析】把x二2+V3代入方程，可解得m二1.(2019，连云港)已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有两个相等的实数根,则1+c的值为【解析】方程有两个相等的实数根，则八22-4a(2-c)二0•该等式可变形为1+C二2.a16.(2019，枣庄)已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(a>-*且aM0).【解析】由关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根，得aH0,且J=b2-4ac—4+12a>0•解得a>-1且aH0.17.(2019，宜宾)某产品每件的生产成本为50元，原定销售价为65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%.若要使半年以后的销售利润不变，设平均每个季度降低成本的百分率为X,根据题意可列方程是65X(1—10%)X(1+5%)—50(1—x)2=65—50.【解析】半年后的销售价为65X(1-10%)X(1+5%)元，成本为50(1-x)2元，两者之差等于原来的销售价与成本之差．三、解答题(2019,北京)关于x的方程X2—2x+2m—1=0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．解：•.•x2—2x+2m—1=0有实数根，.•・△三0,即(一2)2—4(2m—1)三0.解得mW1.'：m为正整数，・：m=1.故此时关于x的方程为X2—2x+1=0，即(x—1)2=0..x1=x2=(2019，保定莲池区一模)(2019，保定莲池区一模)若关于X的一元二次方程ax2+2x—5=0的两根中有且仅有一个根在0和1之间(不含0和1)，则a的取值范围是(B)A.a<3B.a>3C.a<—3D.a>_3【解析】若方程只有一个根在0和1之间，则当x二0与x二1时，ax2+2x-5的值的符号应该相异.因为x二0时，ax2+2x-5=-5<0，所以x二1时，ax2+2x-5=a+2-5>0.解得a>3.(2019,十堰)对于实数a，b,定义运算“◎"如下:a©b=(a+b)2—(a—b)2.若(m+2)^(m—3)=24，则m=—3或4.【解析】根据题意，得[(m+2)+(m-3)]2-[(m+2)-(m-3)]2—24.解得化二-3,二4.(2019，衡阳)关于x的一元二次方程x2—3x+k=0有实数根.(1)求k