浅谈《数学课程标准（2011版）》

浅谈《数学课程标准（2011版）》指导下的数学思想的教学天津市南开区长治里小学宫捷浅谈《数学课程标准（2011版）》指导下的数学思想的教学在刚刚颁布的《数学课程标准（2011版）》中，对数学课程的“总目标”表述中的第一点指出：“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基本基础、基本技能、基本思想、基本活动经验。”这也是《数学课程标准（2011版）》中的一个重要变化，即将过去的强调“双基”发展为强调“四基”。其中将“获得数学的基本思想”提到数学课程的重要目标，那是因为数学课程固然应该教会学生许多必要的数学知识，但是绝不仅仅以教会数学知识为目标，更重要的是让学生在学习这些结论的过程中获得数学思想。在当今数学教育中，数学思想可谓是个核心概念，然而，对什么是数学思想，众多数学研究者做了不同的阐述，从基础教育角度思考，数学思想是对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。数学思想是数学的灵魂和精髓，掌握数学思想对提升学生的思维品质，对数学学科的后继学习，对其它学科的学习，乃至对学生的终身发展都具有十分重要的意义。日本著名数学教育家米山国藏说：“我搞了多年的数学教育，发现学生们在初中、高中接受的数学知识在毕业了进入社会后，几乎没有什么机会应用，所以通常是出校门不到一两年就很快忘掉了。然而，不管他们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学精神，数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点（如果培养这种素质的话），却随时地发生作用，使他们受益终生。”因此，向学生渗透一些基本的数学思想，提高学生的认知水平，是培养学生分析问题和解决问题能力的重要途径。一、小学教材中几种常用的数学思想在小学教材、教参中有不少内容已经渗透了数学思想的教学。在人民教育出版社义务教育课程标准试验教科书小学阶段共十二册教师教学用书中均提及：“有步骤地渗透数学思想方法，培养学生数学思维能力和解决问题能力。”具体谈道：“本套实验教材总体设想之一是系统而有步骤地渗透数学思想方法，尝试把重要的数学思想方法通过学生可以理解的简单形式，采用生动有趣的事例呈现出来。通过教学使学生受到数学思想方法的熏陶，形成探索数学问题的兴趣与欲望，逐步发展数学思维能力。”据此，在小学各册教材中均涉及了渗透数学思想的教学内容。在小学阶段，数学思想主要有符号化思想、化归思想、类比思想、归纳思想、分类思想、方程思想、集合思想、函数思想、一一对应思想、模型思想、数形结合思想、演绎推理思想、变换思想、统计与概率思想等。现就在教学中比较常用的数学思想方法进行归纳和梳理，明晰它们在小学数学各个知识点中的应用，并就如何教学提出一些建议。⒈化归思想所谓“化归”，就是转化和归结的意思，即将数学问题进行规范化，将一个新的、有待解决的或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，从而最终求得解答的一种手段或方法。对于小学生来说，他们在学习数学的过程中所遇到的很多问题都可以应用已有的知识经验去解决未知的问题，从某种意义上来说就是不断地转化求解的过程，因此，化归思想应用非常广泛。（1）化繁为简有些数学问题比较复杂，直接解答过程会比较繁琐，如果在结构和数量关系相似的情况下，从更加简单的问题入手，找到解决问题的方法或建立模型，并进行适当检验，如果能够证明这种方法或模型是正确的，那么该问题一般来说便得到解决。在四则算式进行简便计算时，就是通过转化把繁难的计算变成比较简单的计算，有效地培养学生的运算技巧，形成良好的计算能力。例如：1956－19.6－20.4=1956－（19.6+20.4），利用减法的性质把两个减数凑整，使计算简便。又如：89×=（88+1）×，++=（1－）+（－）+（－）等，上述例子表明，一些算式不能以“貌”定算，通过运用运算定律和性质转化一下算式的表现形式，就能使计算简单化，同时能有效地培养学生的运算技巧，形成良好的计算能力。在求解一个较一般的数学问题遇到困难时，可先考虑这个问题的一种特殊情况，找出一种简单情形进行解决。例如：五年级下册教材数学广角《打电话》一课，教材内容为打电话尽快通知15名学生参加演出。教学前在对教材进行了深入研究和把握，在尊重教材知识体系的基础上，应估计到学生探索“打电话尽快通知15人”的方案比较困难，无论是画图还是拼摆，学生的操作都会很繁琐，占用的时间也会很多。因此可将例题内容简单化，先让学生探究“打电话尽快通知7人”的方案。学生在用摆、画、模拟的方法探究中更容易发现内在规律，问题更有可操作性。在这个环节中，学生经历了由“逐个通知”到“分组通知”到“人人都不空闲”，了解了图示法，并且发现并不是分组越多越省时，省时的关键在于所有人都不空闲。这样的设计分散了难点，将探究“怎样打电话最省时”的过程作了较大的铺陈。为例题的探究提供了两个基础，从而提高了探究的效率和成功率。（2）化抽象问题为直观问题数学的特点之一是它具有很强大的抽象性，这是每个想学好数学的人必须面对的问题。然而小学阶段，学生的思维尚处于形象思维为主，抽象思维逐步发展的阶段。如果能把比较抽象的问题转化为操作或者直观的问题，那么不但使得问题容易解决，经过不断地抽象→直观→抽象的训练，学生的抽象思维能力也会逐步提高。特别是在教学“空间与图形”这类知识时，常常会用到这种方法。例如在六年级上册教材中，为了帮助学生推导圆面积公式，将圆平均分成若干等份剪开，可拼成近似的平行四边形和长方形，通过观察发现长方形的长相当于圆周长的一半，而宽相当于圆的半径。当然，也可以让学生继续动手实践，尝试是否还能拼成其它学过的平面图形，实践证明，学生是可以拼成近似的梯形和近似的三角形，从而通过梯形面积公式和三角形面积公式推导出圆的面积公式（见图1）。这不仅是对教材的延伸，也充分说明了教师对划归思想的深入挖掘，使学生通过动手剪拼，将抽象的公式概念具体化、形象化，便于学生的理解，也使学生对划归思想有了进一步的认识和感悟。图1圆面积的转化示意图（3）化未知问题为已知问题小学数学中的一些数学问题，由于条件、问题或题型的设置，往往不能能用学生现已掌握的数学模型解决问题，这时，就需要超越常规思维模式，从另外的角度进行分析，找到解决问题的方法。通过在教学中充分利用划归的灵活性和多变性，为学生提供思维的广阔联想空间，使学生在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速确立自己解题的基本思路和策略，从而实现问题的解决。例：两数相加得12，这两个数相减得2，这两个数是多少？此题如果用一元一次方程或二元一次方程组解决很方便，但超出了小学生的认知范围。可以考虑既然这两个数相差2，就从和中先减去2，再除以2，就得到较小的那个数。这也恰是小学学习的和差问题。⒉统计思想统计思想是从局部观察资料的统计特征，推导整个系统的状态，或判断某一论断能以多大概率保证其正确性，它是由局部到整体，由特殊到一般的数学思想方法。《数学课程标准解读》在总体目标中提出要使学生“经历运用数据描述信息、作出推断的过程，发展统计观念”，首次将“统计观念”作为义务教育阶段数学课程的重要目标之一，这样做的最主要原因是统计与人们的日常工作和社会生活太密切相关了，生活已先于数学课程将统计推到了学生的面前。在小学阶段，学生学习统计的核心目标是发展自己的“统计观念”。统计观念可以在以下几个方面得到体现：认识到统计对决策的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程，作出合理的决策；能对数据的来源、收集和描述数据的方法、由数据得到的结论进行合理的质疑。因此，义务教育阶段数学课程应培养学生具有从纷繁复杂的情况中收集、处理数据，并做出恰当的选择和判断的能力。（1）利用统计图表渗透统计知识在统计图表内容中，教材集中介绍了统计表和统计图，让学生理解并学会简单的数据整理，会在教师指导下，将收集到的原始数据作科学的整理和归类，制作出统计表和统计图，揭示其规律。这些内容训练了学生制作统计表、看统计图、制作统计图的能力。如在教学三年级上册《统计》一课时，由于数据较大，学生通过操作发现不能用一格表示1来绘制统计图，经过讨论、对比各种绘制方案，得出可以用一格代表2解决数据较大的问题，使统计图美观清晰。本教学环节是在学生已有的知识经验的基础上，让学生进一步体验数据的收集、整理、描述和分析的过程，了解统计的意义和作用。在统计中，同时加深了对统计数据的初步分析。（2）在数学解题中体会统计思想在有关统计初步的习题求解中，应尽可能要求学生多问几个为什么，使学生不断地认识和体会。在各册教材的统计教学内容中，均结合统计图、表设计了相应的问题，以及开放性题目，如“你还能提出什么问题？”对这些问题教师在教学中要给予高度重视，让学生充分表达自己的观点。⒊集合思想集合是把指定的具有某种性质的事物看作一个整体，就是一个集合，其中每个事物叫做该集合的元素。但在小学教材中，不直接出现集合的概念、名称、符号和运算，而是结合数学基础知识的内容，通过形式多样、生动活泼的画面，让学生形象地感知集合思想。（1）以直观的形式渗透集合之间的等价关系和包含关系如在一年级上册“比多少”一课中，“同样多”、“多”、“少”儿童一般在入学前对它们都有初步认识，但是并不一定会用一一对应的方法来比较两组物体的多少，而往往是凭直觉，或者用数一数的办法来比较多少。教材通过比较小兔和砖（一只小兔对一块砖，4只小兔正好对着4块砖）、小猪和木头（把猪和木头一个一个地对起来，木头多余1根），引出“同样多”和“多”、“少”的概念。渗透了等价集合的思想。（见图2）图2集合思想等价关系又如四年级上册在教学平行四边形和梯形时，让学生观察出长方形、正方形、平行四边形和梯形特征的异同点，讨论这几种图形之间的关系，并用集合图直观地表示出来（见图3）。既体现了图形之间的从属关系，又体现了图形之间的包含关系。图3集合思想包含关系图4并集思想（2）以直观的形式渗透集合中并集、交集、差集和空集思想如一年级上册在教学加法时，常常利用图示（见图4），让学生在理解题意的基础上进行列式，既渗透了并集的思想，又有利于让学生感受到，把两个数合并起来求一共是多少，要用加法计算。又如一年级上册在教学0的认识时，通过三幅画展示一只可爱的小猴逐次把2只桃吃光的过程（见图5），来说明0可以表示没有的含义，即盘子里一个也没有，就记作“0”图5空集思想图6差集思想再如一年级上册教学减法时，也同样利用图示的方法渗透了差集的思想（如图6），差集思想的渗透有利于让学生明白从一个数里去掉一部分，求还剩多少要用减法计算的道理。在三年级下册教学“数学广角”中，首先通过统计表的方式列出参加语文小组和数学小组的学生名单，但实际上参加这两个课外小组的总人数却不是这17人，这时教材利用直观图把这两个课外小组的关系直观地表示出来（见图7），从图上可以很清楚地看出，两个集合圈重合的部分即有3名学生同时属于这两个小组，渗透了交集的思想。在教学中老师们常会利用呼啦圈，通过学生活动使交集思想更直观地呈现出来，更利于学生理解。图7交集思想⒋数形结合思想数形结合思想是指通过数形间的对应关系来研究、解决问题的思想。数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”小学生的逻辑思维能力还比较弱，在学习数学时必须面对数学的抽象性这一现实问题。如从数的认识、计算到比较复杂的实际问题，经常要借助图形来理解和分析，即数离不开形；另外，几何知识的学习中，要想知道周长和面积是多少，就需要用数来表示，即形离不开数。因此，数形结合思想在小学数学中的意义尤为重大。（1）利用图形的“一一对应”理解数学概念如一年级上册教材在认识数的教学中，在数数时，实质是先要对实物进行分类，把每一类看作一个集合，然后依次指着集合中的每一个元素分别同自然数中的一、二、三……一一对应（进行数数）（见图8），指到最后一个元素，同它对应的自然数就是这个集合中元素的个数，也就是物体的总数。图8一一对应图9数的分解（2）利用“数”与“形”的对应理解数与式的概念在教学“比大小”时，图示是按对应的方法竖排出来（见图9）排列的形式实质上就是条形统计图的雏形，以小猴和其中的一种水果为内容的两列进行数量上的比较，引入关系符号“=”、“<”、“>”，通过图示让学生认识这三种符合及其含义，同时知道三种符号的读法和作用。（3）利用数轴理解对应思想数轴是数与形的一次重要碰撞，小学数学教材从第一册开始，就出现了有原点、单位长度和正方向的数轴形象，让学生直观地感知“数”可以用直线上的“点”来表示，直线上的点的变化可以引起数的变化，从而渗透了数集与直线上点集对应的思想。在六年级学习负数时，教材中出现了用数轴表示负数，帮助学生进一步感受负数的意义，并进一步建立了数轴的模型。通过借助数轴来比较数的大小，利用学生对温度高低的亲身体验理解正数、0和负数的大小，初步体会数轴上数的顺序，完成对数的结构的初步构建。（4）利用数形结合思想分析实际问题数学问题的条件或结论的表达式如有明显的几何意义，或通过转化可以建立联系时，就可以构造几何图形显示数量关系，运用几何意义探求数量关系，利用图形性质分析数量关系。例如：四年级下册教材一道题目：根据三角形内角和是180°，你能求出四边形的内角和吗？五边形呢？六边形呢？十二边形呢？如果只看文字，学生就只能猜测，如果将数和图形结合在一起思考，就方便多了。通过把多边形分割成若干个三角形，根据三角形的内角和是180°求出多边形的内角和。在画图的过程中思考多边形内角和与它的边数有什么关系，从而归纳出多边形内角和等于180°×（n-2）。可见，解决数学问题，数形结合确实是一种好方法（见表1）。表1多边形的内角和解答方法二、在教学中渗透数学思想的途径1.在备课中教师要明确数学思想苏步青教授说：“看书要看到底，书要看透，要看到书背面的东西。”教师要通过对教材完整的分析和研究，理清和把握教材的体系和脉络，统揽教材全局，高屋建瓴，然后建立各类概念、知识点或知识单元之间的界面关系，归纳和揭示其特殊性质和内在的一般规律。具体到每一节课，教师要在备课预设时抓住数学知识与思想方法的有效结合点，在教学目标中体现每个数学知识所渗透的数学思想方法。如三年级下册数学广角的例2（见图10）中，利用了天平的原理，使学生初步体会等量代换的思想方法，为以后学习简单的代数知识做准备。教师在备课中要明确知道例题所要渗透的是等量代换的数学思想方法，清楚等量代换是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。才能在备课中予以提炼，在教学中予以渗透，从而使学生逐步体会等量代换思想，进而归纳出用等式的性质来体现等量代换思想就是等式的传递性：如果a＝b,b＝c,那么a＝c。图10等量代换思想2.在教学过程中让学生体验数学思想数学思想蕴含在数学知识之中，尤其蕴含于数学知识的形成过程中。在教学过程中，要注意知识的形成过程，特别是定理、性质、公式的推导过程和例题的求解过程，基本数学思想都是在这个过程中形成和发展的。在学习每一数学知识时，教师应尽可能挖掘出蕴含其中的数学思想，即在数学知识形成过程中，让学生充分体验。学生在经历知识形成的同时，通过观察、实验、抽象、概括等活动体验到知识负载的方法、蕴涵的思想，那么学生所掌握的知识就是鲜活的、可迁移的，学生的数学素质才能得到质的飞跃。例如在六年级教学阴影面积时，我做了如下对比：在一个班中对图11进行讲解，容易看出，问题解决的基本思路是将空白部分转化为圆，学生理解起来也并不困难，很快明确是用正方形面积减去圆的面积。而在另一班中，我组织学生进行了如下操作（见图12），分小组将圆与正方形拼成一个新图形（不准减少圆形面积），比一比哪组同学拼出的图形最有新意。想一想你所拼图形的阴影面积怎样计算。图11求阴影面积图12拼图操作中，学生不仅能拼出以上图形，还拼出了其它的图形，从而总结出解题方法。这一操作，意在彰显学生通过动手操作体验并归纳知识，体会数学内容和数学方法所隐含的本质思想，对化归思想有了较深的认识。而第一个班学生的认识还停留在浅显层面。其后我对图13求阴影面积进行了测验，结果第一个班有31.7%的同学能完成，而第二个班有69.2%的同学能完成。通过将空白部分的位置进行转化，把图像归纳为（图14）来解决。图13求阴影面积图14求阴影面积通过案例可清楚地获得，是否在教学过程中体验数学思想，其教学效果的差异还是很明显的。教师与其做到一题一讲，不如在教学中有意规划教学过程，教会学生对相类似问题进行归纳，体验到数学实质与逻辑结构，于是内在的数学思想也就浮出水面了。3.在反思中提炼数学思想反思是获得提高的重要途径，这里的反思不只是指教师教学后的反思，也包括学生学后的反思。教师可有意识地引导学生自觉地反思自己的思维活动，反思的内容有：解决问题的关键在哪里？运用了哪些基本的思考方法、技能？是否能找到其它更快捷的解题办法？教师可组织学生开展如下反思活动：在独立的观察思考中进行反思；在学习小组中通过交流进行反思。4.在练习中自觉运用数学思想在练习与复习中应用数学思想是一个从模糊到清晰的飞跃，数学思想的教学过程首先是从模仿开始的，学生按照例题示范的程序与格式解答和例题相同类型的习题，实际上是数学思想的机械运用，此时，并不能肯定学生已领会了所用的数学思想，只有当学生将它用于新的情景，解决其他有关的问题并有创意时，才能肯定学生对这一教学本质、数学规律有了深刻的认识。因此学生通过练习，不仅对已经掌握的数学知识以及数学思想会起到巩固和深化的作用，而且还会从中归纳和提炼出新的数学思想。例如在教学了如图15这道题后，明确了阴影面积占正方形面积的57%的推导过程后，进行如（见图16）的练习，这些图形都是形如叶子阴影的拓展延伸题目，将所学的推导过程进行再应用，通过操练实现顺势运用数学思想方法，解决数学学习中的众多问题，使学生有意运用数学思想方法的意识也得以增强。图15求阴影面积图16求阴影面积当然，教师对习题的设计也应该从数学思想的角度加以考虑，尽量多安排一些能使各种学习水平的学生深入浅出地作出解答的习题，它既有具体的方法或步骤，又能从一类问题的解法去思考或从思想观点上去把握，形成解题方法，进而深化为数学思想。这样做不仅可以让学生领会到转化的数学思想，对提高学生的